向量导学案


§2.3.1 平面向量基本定理 §2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示 学习目标 1. 掌握平面向量基本定理;了解平面向量基本定理的意义; 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P93—P96) 复习 1:向量 b 、 a a ? 0 是共线的两个向量,则 a 、 b 之间的关系可以表示为

?

?

.

复习 2:给定平面内任意两个向量 e1 、 e2 ,请同学们作出向量 3e1 ? 2e2 、 e1 ? 2e2 .

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量基本定理 问题 1:复习 2 中,平面内的任一向量是否都可以用形如 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢? 1. 平面向量的基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内两个 一对实数 ?1 , ?2, 使 面内所有向量的基底。 注意: (1) 我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解;

?

?

的向量, a 是这一平面内的任一向量,那么有且只有 。其中,不共线的这两个向量 e1 , e2 叫做表示这一平

?

? ?

?

(4) 基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量

?

问题 2:如果两个向量不共线,则它们的位置关系我们怎么表示呢?

2.两向量的夹角与垂直::我们规定:已知两个非零向量 a, b ,作 OA ? a, OB ? b , 则 则 ? 的取值范围是 。 ? ? 当 时,表示 a 与 b 同向; ? ? 当 时,表示 a 与 b 反向; ? ? 当 时,表示 a 与 b 垂直。记作: a ? b . 在不共线的两个向量中, ? ? 90 ,即两向量垂直是一种重要的情形,把一个向量分解 叫做向量 a 与 b 的夹角。如果 ?AOB ? ? ,

? ?

?

?

?

?

为_____________,叫做把向量正交分解。 问题 3:平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? 3、向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个_______ 作为基底。对于平面内的任一个 向量,由平面向量基本定理可 知,有且只有一对实数 x,y 使得 ____________,这样,平面内的 任一向量 a 都可由__________唯 一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标 表示,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标 表示 i ? ___________,j ? _________,o ? ___________ ※ 典型例题 学法引领:首先画图分析,然后寻找表示。 例 1、已知梯形 ABCD 中, AB // DC ,且 AB ? 2CD , E 、 F 分别是 DC 、 AB 的中 点,设 AD ? a , AB ? b 。试用 a, b 为基底表示 DC 、 BC .

例 2、已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, OA ? 4 3 , ?xOA ? 60 ,求向量 OA 的坐标.

三、小结反思 1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步应用向量解决实 际问题; 2、能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示 3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、已知点 A 的坐标为(2,3) ,点 B 的坐标为 (6,5) ,O 为原点,则 OA =________, OB =_______。 2、已知向量 a 的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°,且| a | ? 4 ,则 a 的坐标为_____。 3、已知两向量 e1 、 e2 不共线, a ? 2e1 ? e2 , b ? 3e1 ? 2? e2 ,若 a 与 b 共线,则实数

?= . 4. 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与 BD 的交点,下列向量组,其中可作为这个平 行四边形所在平面表示所有向量的基底是( ) ① AD 与 AB ② DA 与 BC ③ CA 与 DC ④ OD 与 OB A.①② B.③④ C.①③ D.①④
5、已知AM是△ABC的BC边上的中线,若 AB = a , AC = b ,则 AM =(

?

?



? ? ? ? 1 1 ( a - b ) B. - ( a - b ) 2 2 ? ? ? ? 1 1 C.- ( a + b ) D. ( a + b ) 2 2
A. 课后作业 1、在矩形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O ,若 BC ? 5e1 , DC ? 3e2 ,则 OC 等于多少?

2. 已知点 A(2,2) , B(-2,2) , C(4,6) , D(-5,6) , E(-2,-2) , F(-5,6) 在平面直角坐标系中,分别作出向量 AC

BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。

§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1. 掌握向量数乘运算,并理解其几何意义; 2. 理解两个向量共线的含义;掌握向量的线性运算性质及其几何意义. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P87—P90) 复习: 向量减法的几何意义是什么? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:向量数乘运算与几何意义 问题 1:已知非零向量 a ,作出: ① a ? a ? a ;② ? a ? ? a ? ? a . 通过作出图形,同学们能否说明它们的几何意义?

? ? ? ? ? ?

a
1、一般地,我们规定___________________是一个向量,这种运算称做向量的数乘记作

? a ,它的长度与方向规定如下:
(1) | ? a | =___________________________________; (2)当_________时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当_______时, ? a 的方向与 a 方向相 反,当_________时, ? a = O 。 问题 2:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意 义.

2、向量数乘运算律,设 ? , ? 为实数。 (1) ? (? a) ? _______; (2) (? ? ? )a ? _________; (3) ? (a ? b) ? _________; (4) (?? )a ? ________=___________; (5) ? (a ? b) ? ______________; (6)对于任意向量 a , b ,任意实数 ?、?1、?2 恒有 ? =_______________。 (?1 a+?2 b )

问题 3:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系? 3、两个向量共线(平行)的充要条件:向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一 个实数 λ ,使得 。

对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λ a ,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平 行,即 b 与 a 平行. 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设

|b| .接下来看 a 、 = μ (这是实数概念) |a|

b 方向如何:① a 、 b 同向,则 b = μa ,②若 a 、 b 反向,则记 b = - μa ,总而言之,
存在实数 λ ( λ = μ 或 λ = - μ )使 b = λ a . ※ 典型例题 例 1、计算: ⑴ ? ?7 ? ? 6a ;

? ? ? ⑶ ? 5a ? 4b ? c ? ? 2 ? 3a ? 2b ? c ? .
⑵ 4 a ? b ? 3 a ? b ? 8a ; 例 2:如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点,用向量方法证明:

?

1 MN // BC 2
A

N M

C B

题 2

例 3、已知两个向量 e1 和 e2 不共线, AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3e1 ? 3e2 , 求证: A 、 B 、 D 三点共线.

例 4、如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M ,且 AB ? a , AD ? b ,你 能用 a 、 b 表示 AM 、 BM 、 CM 、 DM 吗?

三、小结反思 (1) λ 与 a 的积还是向量, λ a 与 a 是共线的; (2)向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路。该结 论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、 8(a ? c) ? 7(a ? c) ? c =___________。

a ? ? 2a ? b ? a ? = ? ?

?

?



(a ? 9b ? 2c) ? (b ? 2c) =________ _。 1 ?1 ? (2a) ? 8b ? (4a ? 2b) ? =______ ___。 ? 3 ?2 ?

2、在 ?ABC 中, E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点,若 AB ? a , AC ? b ,则 EF 等于 ( ) A.

1 a?b 2

?

?

B.

1 a ?b 2

?

?

C.

1 b?a 2

?

?

D. ?

1 a?b 2

?

?
.

3、点 C 在线段 AB 上,且 AC ?

3 AB ,则 AC ? ________ CB 。 5

4、设 e1 , e2 是两个不共线向量,若 b ? e1 ? ? e2 ,与 a ? 2e1 ? e2 共线,则实数 ? 的值为 5、设两非零向量 e1 , e2 不共线,且 k (e1 ? e2 ) //(e1 ? ke2 ) ,则实数 k 的值为 课后作业 。

1 AB , DE // BC ,且与边 AC 相交于点 E , ?ABC 的中线 AM 与 3 DE 相交于点 N .设 AB ? a , AC ? b ,用 a 、 b 分别表示向量 AE, CB, DE, CE, DN , NA .
1. ?ABC 中, AD ?

2、若 AB ? 8, AC ? 5 ,则 BC 的取值范围是( ) A. ?3,8? B. ? 3,8? C. ?3,13? D. ? 3,13?

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示 学习目标 1、在理解向量共线的概念的基础上,学习用坐标表示向量共线的条件。 2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P98—P100) 复习: ⑴若点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 那么向量 AB 的坐标为 ⑵若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量共线的坐标表示 问题 1:两向量平行(共线)的条件是什么? 若 a, b ( b ? 0 )共线,当且仅当存在实数 ? ,使 。 ,a ?b ? , ?a ? .

问题 2:假设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ( b ? 0 ),用坐标该如何表示这两个向量共线 呢? 2、设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,其中 b ? 0 ,则 a // b 等价于______________________。

※ 典型例题 例 1、已知 a ? ?4,?2?, b ? ? 6, y ? ,且 a // b ,求 y .

变式:判断下列向量 a 与 b 是否共线 ① a ? (2,3) b ? (3, 4)

② a ? (2,3) b ? ( , 4)

8 3

例 2、向量 OA ? ? k ,12? , OB ? ? 4,5? , OC ? ?10, k ? , 当 k 为何值时, A, B, C 三点共线.

变式:证明下列各组点共线:

B(?3, ?4)、C (2, ) (1) A(1, 2),、
Q(1, ?3)、R(8, ) (2) P(9,1) 、 1 2

7 2

例 3、设点 P 是线段 P 1P 2 上的一点, P 1, P 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? . ⑴当点 P 是线段 P 1P 2 的中点时,求点 P 的坐标; ⑵当点 P 是线段 P 1P 2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标.

*变式: 当 PP ? ? PP2 ,点 P 的坐标是什么? 1

三、小结反思 1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式; 2.会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行; 3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

7, ? 4) 判断 AB 与 CD 是否共线? 1 已知 A(?2, ?3), B(2,1),C(1, 4) ,D( ?

2、已知 a ? ? 2, ?1?, b ? ? x,2 ?, c ? ??3, y ? ,且 a // b // c ,求 x, y 的值.

3、平面内给定三个向量 a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,1),求: (1)求 3 a + b -2 c ; (2)求满足 a =m b +n c 的实数 m,n; (3)若( a +k c ) / / (2 b - a ),求实数 k.

课后作业 1. 已知 a ? ?1,2? , b ? ? x,1? ,若 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x 的值为 .

→ → → 2、已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足OP=OA+λ(AB → +AC),λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 )

3、已知四点 A(x,0)、B(2x,1)、C(2,x)、D(6,2x). → → (1)求实数 x,使两向量AB、CD共线. → → (2)当两向量AB与CD共线时,A、B、C、D 四点是否在同一条直线上?

§2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及含义 学习目标 1. 在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念及几何意义; 2. 掌握数量积的运算式及变式;掌握并能熟练运用数量积的运算律;掌握模长公式. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P103—P105) 复习:如右图,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ,那么力 F 所做的功 W= ,其中 ? 是 F 与 s 的夹角.

二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量数量积的含义 问题 1:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一种启示,能否把 “功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢? 1、平面向量数量积的定义:已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫

a与b 的数量积。(或________)记作_________即 a ? b =___________________其中 ? 是

a与b 的夹角。__________叫做向量 a在b 方向上的______。
我们规定:零向量与任意向量的数量积为____。 问题 2:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正?什么时候为负?

2、平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非零向量: ① a ? b ? ___________ ②当 a与b 同向时, a ? b =________ 当 a与b 反向时, a ? b =_______ _, a 特别地, a ? a =______或 a = ___________。 ③ a ? b ? ___________ ④ cos ? = _______ _ ____

⑤. a ? b 的几何意义:_____________ ________。 问题 3:运算律和运算紧密相连,引进向量数量积后,自然要看一看它满足怎么样的运算 律,同学们能推导向量数量积的下列运算律吗? 3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量 a , b , c 与实数 ? 。 ① a ? b =___________; ② ? a ? b =___________; ③ a+b ? c =___________。 问题 4:我们知道,对任意 a , b ? R ,恒有 ? a ? b? ? a2 ? 2ab ? b2 ,
2

? ?

?

?

? a ? b ?? a ? b ? ? a2 ? b2

? ?? ⑵ ?a ? b?? ?a ? b? ?
⑴ a?b
2

对任意向量 a, b ,是否也有下面类似的结论? ; .

※ 典型例题
? 例 1、已知 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角 ? ? 120 ,求 a ? b .

变式 1:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a // b ,则 a ? b 是多少?

变式 2:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a ? b ,则 a ? b 是多少?

? 变式 3:若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角 ? ? 60 ,求 a ? 2b ? a ? 3b 。

?

??

?

变式 4:若 a ? 6 , b ? 4 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 ,求 a 与 b 的夹角。

?

??

?

2、在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ? 120 ,求 AB ? AD .

变式:判断下列命题的真假,并说明理由. (1) ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形; (2) ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 是钝角三角形; (3) ?ABC 为直角三角形,则 AB ? BC ? 0 .

三、小结反思 1、平面向量数量积的含义与物理意义, 2、性质与运算律及其应用。 3、平面向量数量积的概念 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、已知 a ? 2 , b ? 3 , a 与 b 的夹角为 60 ,求: ⑴ a ?b ; ⑵a ?b ;
2 2

⑶ 2a ? b ? a ? 3b ; ⑵

?

??

?

a?b .

2. 已知 a ? 6, a 与 b 的夹角为 60 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 ,则 b 为( ) A. 16 A. 60 B. 6 B. 30 C. 5 D. 4 C. 135 3 已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为( ) D. 45 , a?b = . 4. 已知 a ? 2, b ? 5, a ? b ? ?3 ,则 a ? b = 课后作业 1、已知 a ? 4, b ? 5 ,且 a 与 b 不共线, k 为何值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂 直? 2. 设 m, n 是两个单位向量,其夹角为 60 ,求向量 a ? 2m ? n 与 b ? 2n ? 3m 的夹角.

?

??

?

?

?

§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标 1. 在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式(夹角公式) ; 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P106—P107) 复习:1.向量 a 与 b 的数量积 a ? b = ① a ? b ? a ?b ? ②a ? ③ cos ? ? 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量数量积的坐标表示 问题 1:已知两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,怎样用 a 与 b 的坐标表示 a ? b 呢? 1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 ,y2 ? ,a ? b= 这就是说: (文字语言)两个向量的数量积等于 (坐标形式) 。 。 ; . ; . 2.设 a 、 b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则

问题 2:如何求向量 a ? ? x, y ? 的模 a 和两点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 间的距离? 2.平面内两点间的距离公式 (1)设 a=(x,y), 则 a = ________________或 a ________________。 (2)若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB =___________________(平面内两点间的距离 公式)。 问题 3:如何求 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? 的夹角 ? 和判断两个向量垂直? 3.两向量夹角的余弦:设 ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? =_________=_______________ 向量垂直的判定:设 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y2 ? , 则 a ? b ? _________________ 例 1、已知 A?2,1?, B?3,2?, C ?? 1,4?, (1)试判断 ?ABC 的形状,并给出证明. (2)若 ABDC 是矩形,求 D 点的坐标。 ※ 典型例题
2

例 2、已知 a ? 1, 3 , b ?

? ? ? 3,1?,求 a 与 b 的夹角 ? .
3 4

变式:已知 a=(3,0),b=(k,5)且a与b 的夹角为 ? ,则k= ______________. 三、小结反思 1、平面向量数量积的坐标表示. 2、向量数量积的坐标表示的应用. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、若 a ? ? ?4,3? , b ? ? 5,6? ,则 3 a ? 4a ? b =
2

2、已知 a ?

? ?3, ?2? , b ? ? ?4, k ? ,若 ? 5a ? b ? ? ? b ? 3a ? ? ?55 ,试求 k 的值.

3、已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时, , (1) ka ? b与a ? 3b 垂直? (2) ka ? b与a ? 3b 平行吗?它们是同向还是反向?

4、 已知 a ? ? 3, ?4 ? , b ? ? 2, x ? , c ? ? 2, y ? ,且 a // b , a ? c ,求: (1) b ? c ; (2) b 、 c 的夹角.

课后作业 1. 已知点 A?1,2? 和 B ? 4, ?1? ,问能否在 y 轴上找到一点 C ,使 ?ACB ? 90 ,若不能,说 明理由;若能,求 C 点坐标.

3? ?1 2. 已知 a =( 3,-1), b =? , ?. ?2 2 ? (1)求证: a ? b ; (2)若存在不同时为 0 的实数 k 和 t,使 x = a +(t-3) b , y =-k a +t b ,且 x ?

y ,试求函数关系式 k=f(t);
(3)求函数 k=f(t)的最小值.


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