【高考数学学习数学必修五】高中数学必修五:3.3《二元一次不等式组与简单的线性规划问题(1)》课件_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
不等式

第三章
3.3 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

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课 时 作 业

课前自主预习

景泰蓝是我国古老而又令很多人喜 欢的手工艺品, 它制作的关键一步是在制 好的铜胎上, 用扁铜丝依据图案要求把铜 胎表面划分为若干个小的区域.例如,一 片树叶就需要两条铜丝围成树叶形的封 闭区域, 一个三角形需要三条铜丝围成一 个封闭区域,??.铜丝有直有曲、有长有短,区域形状各异, 然后再经“点蓝”等工艺就制作成功.那么在制作过程中,这 些区域是如何确定的呢?

? ?

观察下列不等式: (1)x+y-1>0;

?
?

(2)x+2y-1>0且2x-3y+2<0.
以上不等式,各有________个未知数,并且未知数的最高次 数是________. [答案] 2 1

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1.二元一次不等式(组)的概念 两个 未知数,并且未知数的次数是____ 1 的不等 (1)含有_______ 式称为二元一次不等式. (2)把由几个二元一次不等式组成的不等式组,称为二元一 次不等式组. (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式 (组) 的 x 和 y 的取值构成有序数对(x、y),所有这样的有序数对(x、 y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

下列不是二元一次不等式(组)的是( A.-x-y+2<0 B.2x+y-1>0 C.y2≥2x
? ?3x+2y-1≥0 D.? ? ?2x-y+1≤0
? ?

)

[答案] C [ 解析 ] 选项 C 中, y 的最高次数是 2 ,不符合二元一次不等 式的定义,故选C.

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?

2.二元一次不等式(组)表示的平面区域.
(1) 在平面直角坐标系中,画出直线 l : x + y - 2 = 0 ,和点 A(0,1)、B(0,2)、C(1,2)、D(2,3)、E(-1,-2)、F(-3, 0)、G(0,-5)、H(3,5)、M(0,0)、N(4,0), 观察这些点,哪些在直线l的上方?哪些在直线l的下方?并 将点的坐标代入F(x,y)=x+y-2中,看在l上方的点,与 在l下方的点,使F(x,y)的值都取怎样的符号,你能由此得 出什么结论? 自己再取一些点试试看,为什么会有这种现象?

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如图:

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C、D、H、N都在直线l的上方,它们都使F(x,y)>0,A、M、 E、F、G都在直线下方,它们都使F(x,y)<0,这是因为由x +y-2=0,得y=-x+2,使y=-x+2成立的点都在直线l 上,使y>-x+2成立的点都在 l的上方,使y<-x+2成立的 点都在l的下方.

?

(2)由上面探索可知,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的 平面区域,对于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x、 y),实数Ax+By+C的符号都_______,所以只需在此直线的 相同 某一侧任取一点 ( x 0 , y0 )把它的坐标代入 Ax +By +C,由其 值的符号可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧.特别地当 C≠0时,常把原点作为测试点.C=0时常取(1,0)作为测试 点.

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(3) 直线 Ax + By + C = 0 把平面内不在直线 l 上的点分成两部 分.我们把直线l叫做这两部分的边界.不等式Ax+By+C> 0( 或< 0) 表示的平面区域不包括边界 ,我们把直线画成 _______;不等式Ax+By+C≥0(或≤0)表示的平面区域包括 虚线 边界,把边界画成_______. 实线

画出下列不等式表示的平面区域: (1)3x-y>0;(2)y≤-2x+3.
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[ 分析] (1) 中的直线3 x - y =0过原点,判断区域时可代入 点(1,0).(2)中方程先变形为2x+y-3≤0后再求解.

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[解析] (1)画出直线3x-y=0(画成虚线),将点(1,0)代入 3x-y得3×1-0>0,∴不等式3x-y>0表示的平面区域与点 (1,0)位于直线3x-y=0的同侧,如图所示.

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(2)将y≤-2x+3变形得2x+y-3≤0,先画出直线2x+y-3 =0(画成实线).
将点(0,0)代入2x+y-3得-3<0, ∴2x+y-3≤0表示的区域与点(0,0)位于直线2x+y-3=0 的同侧,如图所示.

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课堂典例探究

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二元一次不等式表示的平面区域

画出不等式 2x+y-6≤0 表示的平面区域.
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[解析] 先画直线2x+y-6=0(画成实线),把原点(0,0), 代入2x+y-6. 因为2×0+0-6=-6<0, 所以(0,0)在2x+y-6≤0表示的平面区 域内,不等式2x+y-6≤0表示的区域如图所示.

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[方法总结] 由于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x, y),使实数Ax+By+C的符号相同,所以只须在此直线的某 侧任取一点 ( x 0 , y 0 ) ,把它的坐标代入 Ax+ By+ C ,由其值 的符号即可判断Ax+By+C>0(或<0)表示直线的哪一侧, 当C≠0时,常把原点作为此特殊点.此题也可先把不等式- x+2y-4<0化为x-2y+4>0,因为A>0,B<0,所以x- 2y+4>0表示直线x-2y+4=0右下方的平面区域.

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画出不等式-x+2y-4<0 表示的平面区域. [解析] 先画直线-x+2y-4=0(画成虚线),取原点(0,0), 代入-x+2y-4,因为0+2×0-4<0,所以,原点在-x+ 2y-4<0表示的平面区域内,所以,不等式-x+2y-4<0 表示的区域如图所示.

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二元一次不等式组表示的平面区域

画出下列不等式组表示的平面区域. ?x-y+5≥0 ? ?x+y+1≥0 ?x≤3 ?
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.

[分析] 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面 点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分.

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[解析] 不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方 的点的集合,x+y+1≥0表示直线x+y+1=0上及右上方的 点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合,所以不 等式组表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界).

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?2x-y-1≥0 ? 画出不等式组?x>-y 表示的平面区域. ?x≤3 ? [ 解析 ] 不等式 2 x - y - 1 ≥ 0 表示的平面区 域是直线 2 x - y - 1 = 0 下方区域 ( 包括直线 上的点 ) ;不等式 x > - y 即 x + y >0 ,表示的 区域是直线 x+y=0上方区域(不包括直线); x≤3表示的区域为直线x=3的左侧区域(包 括直线) ;不等式组表示的区域为三个平面 区域的公共部分,如图中的阴影部分.

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二元一次不等式组表示的平面区域

?y≤x ? 不等式组?x+2y≤4 ?y≥-2 ? ( ) 25 A. 3 100 C. 3
?

表示的平面区域的面积为

50 B. 3 10 D. 3

[答案] B

[ 解析]

?y≤x ? 不等式组?x+2y≤4 ?y≥-2 ?

表示的平面区域如图所示.

? ?y=-2 由? ? ?x-y=0

? ?x=-2 ,得? ? ?y=-2

. .

? ?y=-2 由? ? ?x+2y-4=0

? ?x=8 ,得? ? ?y=-2

? 4 x=3 ? ? x - y = 0 ? 由? ,得? . ? ?x+2y-4=0 ?y=4 ? 3 4 4 ∴A(3,3)、B(-2,-2)、C(8,-2). 4 10 ∴BC=10,点 A 到边 BC 的距离 d=3-(-2)= 3 . 1 10 50 ∴平面区域的面积为 S=2×10× 3 = 3 .

?x≤0 ? 不等式组?y≥0 ?y-x≤2 ?
?

表示的平面区域的面积为________.

[答案] 2

[ 解析]

画出不等式组表示的平面区域如图,

1 其面积 S=2×2×2=2.

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由平面区域求二元一次不等式(组)

画出以 A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3)为顶点的△ ABC 的区域(包括边界),写出该区域所表示的二元一次不等式 组.
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[分析] 利用直线方程的点斜式,可求得边界所在的直线方 程,取△ABC内的特殊点检验,可得所求不等式组.

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[解析] 如图所示,则直线AB、BC、CA所围成的区域就是所 求△ABC的区域,直线AB、BC、CA的方程分别为x+2y-1=0, x-y+2=0,2x+y-5=0.

在△ABC 内取一点 P(1,1),代入 x+2y-1,得 1+2×1-1 =2>0.所以直线 x+2y-1=0 对应的不等式为 x+2y-1>0. 把 P(1,1)代入 x-y+2,得 1-1+2>0; 代入 2x+y-5,得 2×1+1-5<0. 因此对应的不等式分别为 x-y+2>0,2x+y-5<0. 又因为所求区域包括边界, ?x+2y-1≥0 ? 所以所求区域的不等式组为?x-y+2≥0 ?2x+y-5≤0 ? .

[ 方法总结] 般是

已知平面区域,用不等式(组)表示,其步骤一

①求出边界的直线方程; ②确定不等号,在所有直线外任取一点,将其坐标代入直 线方程即可.

试用不等式组表示由 x+y+2=0,x+2y+1=0 和 2x+y +1=0 围成的三角形区域(包括边界).
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[ 解析] 直线x+y +2= 0,x +2 y+ 1 = 0,2x+ y+ 1=0 表示 的三角形区域如图阴影部分所示.

3 取区域内的点(-2,0)验证: 3 1 -2+0+2=2>0 3 1 -2+0+1=-2<0 3 2×(-2)+0+1=-2<0. ?x+y+2≥0 ? ∴所求区域用不等式组表示为?x+2y+1≤0 ?2x+y+1≤0 ? .

画出二元一次不等式 2y -5x -10>0 表示的区 域.
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[错解] 作出直线 2y-5x-10=0, 即5x-2y+10=0. 将(0,0)代入5x-2y+10可得5×0- 2×0+10>0,

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∴所示区域为含有(0,0)的一侧,如 图所示.

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[辨析] 取特殊点检验时,应代入原式(2y-5x-10),而不 能代入变形后的(5x-2y+10)进行检验. [正解] 设F(x,y)=2y-5x-10,作出直线2y-5x-10=0.

? ?

∵F(0,0)=2×0-2×0-10=-10<0,

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∴所求区域为不含(0,0)的一侧,如图所示.

二元一次不等式?组?及其解集 ? ? 二元一次不 ?二元一次不等式?组?的几何意义 等式?组? ? ?二元一次不等式?组?表示的平面区域 与平面区域? ?二元一次不等式?组?表示平面区域的步骤

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