2015全国高考理科数学解析几何总汇(解答题)


2015 全国高考解析几何总汇
1、 (2015·北京) 2 x2 y 2 1) 和点 A( m ,n) ( m ≠ 0) 都在 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 ,点 P ( 0 , 2 a b 椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存 在点 Q ,使得 ? OQM ? ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

2、 (2015·四川)

x2 y 2 2 如图,椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆相 a b 2
交于 A,B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2) 在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点 Q, 使得 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

QA QB

=

PA PB

恒成立?

3、 (2015·上海) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满分 8 分. 已知椭圆 x + 2 y = 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A、B和C、D .记得到 的平行四边形 ACBD 的面积为 S. (1) 设 A( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) . 用 A 、 C 的 坐 标 表 示 点 C 到 直 线 l 的 距 离 , 并 证 明
2 2

S = 2 | x1 y2 - x2 y1 |;
(2) 设 l1 与 l2 的斜率的乘积为 -

1 ,求面积 S 的值. 2

4、 (2015·山东) 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,左、右焦 2 a b 2

点分别是 F1 , F2 .以 F 1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心 1 为半径的圆相交,且焦点在椭 圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程.

x2 y2 (Ⅱ)设椭圆 E: 2 + 2 = 1 .P 为椭圆 C 上任意一点.过 P 点的直线 y = kx + m 交椭圆 E 于 A, 4a 4b
B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (ⅰ)求

| OQ | 的值; | OP |

(ⅱ)求 D ABQ 面积的最大值.

5、 (2015·浙江) (本题满分 15 分) 已知椭圆 (I) (II)

x2 1 + y 2 = 1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

求实数 m 的取值范围; 求 ? AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

6、 (2015·福建) 18. 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . 2 a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 x = my - 1 ,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (径的圆的位置关系,并说明理由.

9 ,0)与以线段 AB 为直 4

7、 (2015·湖南) 已知抛物线 C1 : x = 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 的公共弦的长为 2 6 . (1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A、B 两点,与 C2 相交于 C、D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |=| BD | ,求直线 l 的斜率
2

y 2 x2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点, C1 与 C2 a 2 b2

??? ?

??? ?

MFD 总是 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, D
钝角三角形

8、 (2015·安徽) (本小题满分 13 分) 设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (a, 0) ,点 B a 2 b2
5 . 10

的坐标为 (0, b) ,点 M 在线段 AB 上,满足 | BM |= 2 | MA | ,直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e

(Ⅱ)设点 C 的坐标为 (0, - b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标 为

7 ,求 E 的方程 2

9、 (2015·天津) (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F (- c, 0) ,离心率为 ,点 M 在椭圆上且位 2 a b 3
2 2

于第一象限,直线 FM 被圆 x + y = (Ⅰ)求直线 FM 的斜率 (Ⅱ)求椭圆的方程

b2 4 3 截得的线段的长为 c, | FM |= . 4 3

(Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值 范围.

10、 (2015·新课标Ⅰ) (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y =

x2 与直线 l : y = kx + a(a > 0) 交于 M,N 两点. 4
? OPN ?说明理由.

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 有变动时,总有 ? OPM

11、 (2015·湖北) (本小题满分 14 分) 一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN = ON = 1 ,MN = 3 .当 栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ,M ..N 绕 O 转动一周(D 不动时,N 也不动) 处的笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平 面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x - 2 y = 0 和 l2 : x + 2 y = 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

y

N
N

A

D

O

B
D

O

x

M
图 11-1

M
图 11-2

12、 (2015·新课标Ⅱ) 已知椭圆 C : 9 x + y = m (m > 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交 点 A,B,AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)若 l 过点 (
2 2 2

m , m ) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若 3

能,求此时 l 的斜率.若不能,说明理由.

13、 (2015·广东) (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x + y - 6x +5 = 0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标 (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 (3)是否存在实数 k,使得直线 l : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的 取值范围;若不存在,说明理由.
2 2

14、 (2015·陕西) (本小题满分 12 分)已知椭圆 E :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的半焦距为 c,原点 O 到经过两点 a 2 b2

1 (c,0),(0, b) 的直线的距离为 c . 2
(1) 求椭圆 E 的离心率 (2) AB 是圆 M : ( x + 2) + ( y - 1) = 的方程.
2 2

5 的一条直径,若椭圆 E 经过 A,B 两点,求椭圆 E 2

15、 (2015·重庆) 椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 a 2 b2

PQ ^ PF1 .
(Ⅰ)若 | PF 1 |= 2 + 2 , | PF 2 |= 2 -

2 ,求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若 | PF1 |=| PQ | ,求椭圆的离心率 e.

16、 (2015·江苏) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,且右焦点 F 2 a b 2

到左准线 l 的距离为 3. (1) 求椭圆的标准方程; (2) 过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.


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