安徽省2011年11月高中数学 函数的零点优质课大赛课件_图文

问题· 探究
问题1 求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次 函数图象的简图,并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方 函 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数图象与X 轴的交点

程 数

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 .
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2 1

.

. . . 1 .
2

.

0

.
-1 -2

.
x
-1

1

2

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根

(1 , 0)

无 交 点

问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系, 上述结论是否仍然成立?
判别式△ =b2-4ac
△>0 △=0 △<0 没有实数根
y

有两个相等的 两个不相等 方程 ax2 +bx+c=0(a>0)的根 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
y

函数 y= ax2 +bx+c(a>0) 的图象

y
x1 0 x2 x

0

x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数的零点
定义:
使f(x)=0的实数x 对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。

2 定义辨析: 函数 y ? x ? 2 x ? 3的零点是:

求函数零点的步骤: (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0; (3)写出零点

等价关系
方程f(x)=0有实数根

数 数

函数y=f(x)的图象与x轴有 交点


函数y=f(x)有零点

零点的求法

图象法

代数法

函数的零点的判定 例1:求证函数f(x)=2x2+3x-7有 两个不同的零点.

问题探究

零点存在性的探索

问题 3:函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? 探究: (Ⅰ)观察二次函数
f (x) ? x
2

? 2 x ? 3 的图象:
f (?2) ?

1 ○ 在区间(-2,0)上有零点______;
f (0) ?

_______,

_______,

. f ( ? 2 ) · f ( 0 ) _____0(<或>) ②在区间(2,4)上有零点______;
f (2)

·

f (4)

____0

(<或>) .

零点存在性的探索
观察函数的图象 ①在区间(a,b)上______(有/无)零点; f(a)· f(b)_____0(<或>). ② 在区间(b,c)上______(有/无)零 点;f(b)· _____ 0(<或>). f(c) ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零 点;f(c)· _____ 0(<或>). f(d)

y
y ? 1 x

O

x

零点存在性的探索
结 论

如果函数 y

? f ( x ) 在区间? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有 f ( a ) ?

f (b ) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

讨论:
(1)如果函数具备上述两个条件时, 函数有多少零点呢? (2)如果把结论中的条件“图象连续不断” 除去不要,又会怎样呢? (3)如果把结论中的条件“f(a) · f(b)<0’’去掉呢? (4)若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 一定能得出f(a) ·f(b)<0的结论吗?

(5)在什么样的条件下,零点的个数是惟一的呢?

y

y

0

a

b

x

0

a

b

x

y

y

0a

b

x

0a

b

x

零点唯一性的探索
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的,并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异(即f(a) ·f(b)﹤0),且是单调函 数那么,这个函数在(a,b)内必有惟一的 一个零点。

例2:试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间

(-2,-1)上有零点.
证明:因为:f(-2)=-3<0

f(-1)=1>0
且函数f(x)在区间( -2,-1 )上的图象是 不间断的,所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在 零点. 拓展延伸:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1) 上有零点,那么它更靠近那个端点呢?

练一练
1、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点, 则m的取值范围是( B )
A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2

2、函数f(x)=x3-16x的零点为( D )
A (0,0),(4,0) B 0,4

C (– 4 ,0), (0,0),(4,0)

D – 4 ,0,4

3、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为 ( A) A (1,2) C (0,1) B ( – 2 ,0) D (0,2 )
1

4、已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如 下的x,f(x)对应值表:

x

1

2
9

3
–7

4

5

6

7

f(x) 23

11 –5

–12 –26

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( C )个 A 5 B 4 C 3 D 2

收获与体会:

1.函数零点的定义 2.等价关系

3.函数的零点的存在性以及惟 一性的判断

作业

P81

1, 2.

谢谢大家 再见


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