高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:导数的几何意义在解题中的应用

导数的几何意义在解题中的应用 导数是研究函数增减、函数变化快慢、作曲线切线问题和求函数最值问题的 最一般、最有效的工具.函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率.下面我们运用导数的几何意义解决具体的函数问 题. 例 1. 已知函数 f(x)=x3-3x2+ax,x∈R,且曲线 y=f(x)的切线的斜率的最小值为 -1. (1)求 a 的值; (2)求 f(x)在 x=1 处的切线方程; (3)若直线 l 过原点,且与曲线 y= f(x)相切,求直线 l 的斜率 k 的值. 【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式,再根据切线方程的求法 列方程,求出 k 的值. 【解】(1)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? a =3(x-1)2+a-3 ∴切线斜率的最小值为 f ? (1)=a-3=-1,∴a=2, (2)∵ f ? (x)=3x2-6x+2, ∴曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的斜率为 f ? (1)=-1, ∴切线方程为 y=-1×(x-1)+13-3×12+2×1,即 y=-x+1. (3)∵y=x3-3x2+2x, ∴ y ? =3x2-6x+2. ∴直线和曲线均过原点, 当原点是切点时,切线斜率 k= y ? | X ?0 =2, 当原点不是切点时,设切点为 P(x0,y0),其中 x0≠0,则切线的斜率 k= y0 . x0 1 综上所述,k=2 或 k ? ? . 4 【方法技巧】(1)需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义:一是 该点的导数值等于切线的斜率;二是该点坐标满足已知曲线的方程. (2)当某点不 在曲线上求过此点的切线问题时,要先设出切点坐标,利用导数几何意义表示出 切线方程,再把已知点代入切线方程,从而得出所求方程.(3)当不能确定曲线上 的点(x0,f(x0))是否为切点时, 要注意分(x0,f(x0)) 是切点和不是切点两种情况进行讨 论. 1 例 2.已知函数 f(x)=lnx,g(x)= x2+a(a 为常数),直线 l 与函数 f(x)、g(x)的图象 2 都相切,且 l 与函数 f(x)图象的切点的横坐标为 1.求直线 l 的方程及 a 的值. 【思路点拨】由直线 l 与函数 f(x)切点的横坐标为 1,可利用导数求出函数 f(x) 在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线 l 与函数 g(x)的图象相切, 所以 l 与 g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入 g(x),通过 Δ=0,求出 a 的值. 【解】由 f′(x)|x=1=1,知 kl=1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线 l 的方程为 y=x-1. ? y ? x ? 1, ? 直线 l 与 y=g(x)的图象相切,等价于方程组 ? 只有一解,即方程 1 y ? x2 ? a ? 2 ? 1 2 x -x+(1+a)=0 有两个相等的实根, 2 1 1 ∴Δ=1-4× (1+a)=0.∴a=- . 2 2 【方法技巧】本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数 图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.

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