[首发]辽宁省沈阳铁路实验中学2019届高三10月月考理科数学试题

“沈阳铁路实验中学 2018-2019 学年度上学期月考（1）试题”

高三数学
时间：120 分钟 分数：150 分 命题人：刘岩峰，审题人：张传胜
第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．） 1．若 A ? x | 0 ? x ? A.

依次记为 A1 ， A2 ， …A14 ， 如图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法 流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7．函数 f ? x ? ? a
x?1

? 2 ? a ? 0, a ? 1? 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ? ny ?1 ? 0 上，其中
1 2 ? 的最小值为 m n
D. 3 ? 2 2 （ ） ( )

m ? 0 ， n ? 0 ，则
A. 4 B. 5 C. 7

?

2 , B ? ?x |1 ? x ? 2? ，则 A ? B ? ；

?

（

）

[来源:学科网 ZXXK]

?x | x ? 0?

B.

?x | x ? 2?
2018

C.

?

0? x? 2

?

D.

?x | 0 ? x ? 2?
（ ）

8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是

? i ?1 ? 2．已知复数 zi ? ? ? ? i ?1 ?
A. 1 B. -1

（ i 为虚数单位） ，则 z 的虚部 C. i D. -i

A. 2 ? 3 C. 1 ? 2 2

B. 1 ? 3 D. 2 2

3．已知 ，则 ( ) A. － B. － 4．下列说法正确的是

等于 C.
x

D. （ ）

? 1 ?3 ? 1 ?2 ?3? 9．设 a ? ? ? ，b ? ? ? ，c=ln ? ?， 则 ?2? ? 3? ?? ?
A. B.
x

1

1

（

）

A. 命题“ ?x ? R, e x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, e ? 0 ” B. 命题“已知 x, y ? R ，若 x ? y ? 3 ，则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题
2 C. “ x ? 2 x ? ax 在 x ? 1, 2 上恒成立” ? “ x ? 2 x

C.

D.

? ?

?

2

?

10．已知函数 f ? x ? ? e ? x2 ， （ e 为自然对数的底数） ，且 f ?3a ? 2? ? f ? a ?1? ,则实数 a 的取 值范围是 A. ? ） （ B. ? ??, ）

min

? ? ax ?min 在 x ??1, 2? 上恒成立”

D. 命题“若 a ? ?1 ，则函数 f ? x ? ? ax ? 2x ?1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

?1 ? , ?? ? ?2 ?

? ?

1? ? 2?

C. ? ??, ? ? ?

? ?

1? 2?

?3 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? 0,

? ?

1? ?3 ? ? ? ? , ?? ? 2? ?4 ?

5．已知 ? 为锐角，且 cos ? ? ? A. C.

? ?

3 5? ? ，则 cos ? ?? ? ? ?? ? 12 ? 3 12 ? ?

? ?

（

（0<? < 11.将函数 f ? x ? ? sin 2x 的图像向右平移 ?
f ? x ? ? g ( x) ? 2的x1，x2 ，有 x1 ? x2 min ?
A.

?
2

） 个单位后得到函数 g ? x ? 的图像，若对满足
（ ）

6? 2 4

1 B. 2

?
3

，则 ? = D.

6 6 D. ? 3 3 6．如图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考 试成绩的茎叶图，第 1 次到第第 14 次的考试成绩

5? 12

B.

? 3

C.

? 4

? 6

12． 定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 2x ,当 x ? ? ??,0 时 f ? ? x ? ? 3x ,
3 2

?

实数 ）

1 8. （本小题 12 分）已知函数 f ( x) ? 2 sin x sin( x ? （II）当 x ? ?0, ? ? 时，求函数 f ( x) 的值域. ? ? 2? ?

a 满足 f ?1? a ? ? f ? a ? ? ?2a3 ? 3a2 ? 3a ?1 ,则 a 的取值范围是
A. ? ， ? ?? ?2 ?

（

6 （I）求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间；

? . )

?3

?

B. ? ??, ? 2

? ?

3? ?

C. ? ， ? ?? ?2 ?

?1

?

D. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

第 Ⅱ 卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分。） 13．直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? 1nx( x ? 0) 的一条切线，则实数 b ? __________． 2

? ?? 14. 关于 x 的方程 cos2x-sinx+a=0 在 ? 0, ? 上有解，则 a 的取值范围为_____. ? 2?
15． ?
1

19． （本小题 12 分）已知函数 （1）讨论函数 （2）若函数 在 在定义域内的极值点的个数； 处取得极值，对任意的

.

?? x ?

3

?1

2 ? 1 ? ? x ? 2? ? dx ? __________． ?

，

恒成立，求实数 的取值范围.

16．已知函数 f ? x ? ?

x ，在下列命题中，其中 正确命题的序号是_________. ex

（1）曲线 y ? f ? x ? 必存在一条与 x 轴平行的切线； （2）函数 y ? f ? x ? 有且仅有一个极大值，没有极小值； （3）若方程 f ? x ? ? a ? 0 有两个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ? ?， ) ； （4）对任意的 x ? R ,不等式 f ? x ? ? （5）若 a ? ? 0, 20（本小题 12 分）已知函数 f ? x ? 对任意实数 x, y 恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ，且当 x ? 0 时，

1 e

f ? x ? ? 0 ，又 f ?1? ? ?2 .
(1)判断 f ? x ? 的奇偶性； (2)求 f ? x ? 在区间[－3,3]上的值域； (3)若?x∈R，不等式 f ax 2 ? 2 f ? x ? ? f ? x ? ? 4 恒成立，求实数 a 的取值范围．

1 恒成立； 2

? ?

1? ，则 ?x1 , x2 ? R? ,可以使不等式 f ? x ? ? a 的解集恰为 ? x1 , x2 ? ? 2e ?

三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.） 17． （本小题 12 分） 已知 p : 关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有 实根； q : 关于 x 的函数 y ? 2 x 2 ? ax ? 4 在区间 ?3, ?? ? 上是增函数，若“ p 或 q ”是真命题， “ p 且 q ”是假命题，求实数 a 的取值范围；

? ?

21． （本题满分 12 分）已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ， g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6ln x ，其中 a ? R . x

（Ⅰ）讨论 f ( x) 的单调性；

[来源:学科网]

（1）解不等式 f（x）≥4； 2 （2）若关于 x 的不等式 a +2a+|1+x|＞f（x）恒成立，求实数 a 的取值范围．

（Ⅱ）若 g ( x) 在其定义域内为增函数，求正实数 a 的取值范围； （Ⅲ）设函数 h( x) ? x 2 ? mx ? 4 ，当 a ? 2 时，若 ?x1 ? (0,1) ，?x2 ?[1, 2] ，总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成 立，求实 数 m 的取值范围.

22． （本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {

x ? ?1 ? tcos? （ t 为参数） ，以坐标原点 O 为 1 y ? ? tsin? 2
4 ． 4sin ? ? cos 2?
2

极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? （1）写出曲线 C 的直角坐标方程；

1? ? （2）已知点 P 的直角坐标为 ? ?1, ? ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A, B ，求 PA · PB 2? ?
的取值范围．

[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z*xx*k.Com]

23． （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=|1﹣2x|﹣|1+x|．

1．D 2. A 3．D 4．B 5．C 6．A

参 考答案 7．D 8．B

9．B

10．C 11．D 12．D

13． 1n 2 ? 1

14.

? ?1,1?

15． ln3 ?

?
2

16． （1） （2） （4） （5）

处有极小值. 综上：当 时， 在 上没有极值点；当 时， 在 上有一个极值点.

17． （1） ? ??, ?12 ? ? ? ?4, 4 ? ； 解： （1）若 p 真，则 ? ? a 2 ? 4 ? 4 ? 0 ，∴ a ? ?4 或 a ? 4 ，…………3 分 若 q 真，则 ?

a ? 3 ，∴ a ? ?12 ，…………6 分 4 由“ p 或 q ”是真命题， “ p 且 q ”是假命题， 知 p 、 q 一真一假， 当 p 真 q 假时： a ? ?12 ； …………8 分 当 p 假 q 真时： ?4 ? a ? 4 . …………10 分
综上，实数 a 的取值范围为 ? ??, ?12 ? ? ? ?4, 4 ? ；…………12 分

（2）因为函数

在

处取得极值，所以

.因为

，令

，

可得

在

上递减，在

上递增.∴

∴

.

18．解： （I） f ( x) ? 2sin x( 3 sin x ? 1 cos x) ? 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x …………2 分 2 2 2 2
3 . )? 3 2 函数 f ( x) 的最小正周期为 T= ? . ? sin(2 x ?

?

…………4 分 …………6 分

因为 ?

?
2

12 ? 5 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 [? ? k? , ? ? k? ], k ? Z . 12 12
3 2

? 2k? ? 2 x ?

?

?

?

? 2k? , 解得 ?

?

? k? ? x ?

5 ? ? k? ， k ? Z ， 12
………… 8 分
[来源:学科网 ZXXK]

20．解：(1)取 x＝y＝0，则 f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 取 y＝－x，则 f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)对任意 x∈R 恒成立，∴f(x)为奇函数． …………3 分 (2) 任取 x1，x2∈(－∞，＋∞)，且 x1<x2，则 x2－x1>0 ，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x2)<－f(－x1)，又 f(x)为奇函数，∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)是 R 上的减函数．…………5 分 ∴对任意 x∈[－3,3]，恒有 f(3)≤f(x)≤f(－3)， ∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6， ∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]． …………8 分 2 2 (3)f(x)为奇函数，整理原式得 f(ax )＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，则 f(ax －2x)<f(x－2)， 2 ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax －2x>x－2， 当 a＝0 时，－2x>x－2 在 R 上不是恒成立，与题意矛盾；
2 9 当 a>0 时，ax －2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ ＝9－8a<0，即 a> ； 8 2 当 a<0 时，ax －3x＋2>0 在 R 上不是恒成立，不合题意．

? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ?? (II) x ? ?0, ? , 2 x ? ? ? ? , ? ? ,sin(2 x ? ) ? ?? ,1? ， 3 ? 3 3 ? 3 ? 2 ? ? 2?
? 3? f ( x) ? ?0,1 ? ?. 2 ? ?

…………10 分

9 综上所述，a 的取值范围为( ，＋∞)． 8
…………12 分 21．解： （1） f ( x) 的定义域为 (0, ??) ，且 f ?( x) ?
'

…………12 分

x?a ， x2

19. 试题解析：

①当 a ? 0 时， f ( x) ? 0 ， f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增； ②当 a ? 0 时，由 f ( x) ? 0 ，得 x ? ?a ；由 f ( x) ? 0 ，得 x ? ?a ；
' '

（1） 当 点； 时， 在

. 上恒成立，函数 在 单调递减，所以 在 上没有极值

故 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减，在 (?a, ??) 上单调递增. (2) g ( x ) ? ax ?

…………4 分

a 5 ax 2 ? 5 x ? a a ? 5ln x , g ( x) 的定义域为 (0, ??) . g ' ( x) ? a ? 2 ? ? . x x x x2

当

时， 由

得

， 由

得

所以

在

上递减， 在

递增， 即

在

因为 g ( x) 在其定义域内为增函数，所以 ?x ? (0, ??) ， g ' ( x) ? 0 .

? 5x ? ? 5x ? ? ax 2 ? 5x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5x ? a ? ? 2 ? ? a ? ? 2 ? . ? x ?1 ? ? x ? 1 ?min
而

2 ?1 ? ? ? , 2? . ?1 ? 3sin ? ? t ? ? 4sin? ? 2cos? ? t ? 2 ? 0 ，则 PA ? PB ? 1 ? 3sin ? 2
2 2

2

?

?

5x 5 5 5 ? ? ，当且仅当 x ? 1 时取等号，所以 a ? . x ?1 x ? 1 2 2 x
2

…………8 分

23．解： （1）∵ f ? x ? ? 1 ? 2x﹣ ﹣ 2x ? 1 ? x ? 4 ． 1 ? x ，故 f ? x ? ? 4 ，即 1

(3)当 a ? 2 时， g ( x ) ? 2 x ? 由 g ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x ? ? 0,

2 x ? 5x ? 2 2 . ? 5ln x ， g ' ( x) ? x x2
2

1 1 ?1 ? x ? x? x ? ?1 ∴{ ①或 { ②或 { ③， 2 2 1 ? 2x ? x ?1 ? 4 1? 2x ? x ?1 ? 4 2x ?1 ? x ?1 ? 4
2， 解①求得 x ?﹣
解②求得 x ?? ， 解③求得 x ? 6 ，

1 或x ? 2 . 2

综上可得，云不等式的解集为 {x | x ?﹣ 2 或 x ? 6} ． （2）关于 x 的不等式 a ? 2a ? 1 ? x ? f ? x ? 恒成立，
2

? ?

1? ?1 ? ' ' ? 时， g ( x) ? 0 ；当 x ? ? 2 ,1? 时， g ( x) ? 0 . 2? ? ? ?1? ?2?

所以在 (0,1) 上， g ( x) max ? g ? ? ? ?3 ? 5ln 2 . 而“ ?x1 ? (0,1) ， ?x2 ?[1, 2] ，总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立”等价于“ g ( x) 在 (0,1) 上的最大值不

即 a ? 2a ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ，
2

而 2 x ?1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ?1 ? （2x ? 2） ? 3，
2 故有 a ? 2a ? 3 ，求得 a ? ?3 ，或 a ? 1 ．

小于 h( x) 在 [1, 2] 上的最大值”. 而 h( x) 在 [1, 2] 上的最大值为 max{h(1), h(2)} ，

即实数 a 的取值范围为 {a|a ? ?3 或 a ? 1? ．

? ?1? ? g ? 2 ? ? h(1), ??3 ? 5ln 2 ? 5 ? m, ? ? ? ?? ? m ? 8 ? 5ln 2 . 所以有 ? ? g ? 1 ? ? h(2). ??3 ? 5ln 2 ? 8 ? 2m. ? ? ? ? ?2?
所以实数 m 的取值范围是 [8 ? 5ln 2, ??) . 22．解： …………12 分

x2 ? y2 ? 1. （1） 4 ? sin ? ? ? cos ? ? 4 ? 4 y ? x ? 4 ? 4
2 2 2 2 2 2

（2）因为点 P 在椭圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个交点，即 ? ? R ，将直线 l 的参数方 程 与椭圆 C 的直角 坐标方程联立，得 ? ?1 ? tcos? ?
2

?1 ? ? 4 ? ? tsin? ? ? 4 ，整理得 ?2 ?

2