[首发]辽宁省沈阳铁路实验中学2019届高三10月月考理科数学试题

“沈阳铁路实验中学 2018-2019 学年度上学期月考(1)试题”

高三数学
时间:120 分钟 分数:150 分 命题人:刘岩峰,审题人:张传胜
第 Ⅰ 卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.若 A ? x | 0 ? x ? A.

依次记为 A1 , A2 , …A14 , 如图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法 流程图,那么算法流程图输出的结果是( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7.函数 f ? x ? ? a
x?1

? 2 ? a ? 0, a ? 1? 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ?1 ? 0 上,其中
1 2 ? 的最小值为 m n
D. 3 ? 2 2 ( ) ( )

m ? 0 , n ? 0 ,则
A. 4 B. 5 C. 7

?

2 , B ? ?x |1 ? x ? 2? ,则 A ? B ? ;

?





[来源:学科网 ZXXK]

?x | x ? 0?

B.

?x | x ? 2?
2018

C.

?

0? x? 2

?

D.

?x | 0 ? x ? 2?
( )

8.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是

? i ?1 ? 2.已知复数 zi ? ? ? ? i ?1 ?
A. 1 B. -1

( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部 C. i D. -i

A. 2 ? 3 C. 1 ? 2 2

B. 1 ? 3 D. 2 2

3.已知 ,则 ( ) A. - B. - 4.下列说法正确的是

等于 C.
x

D. ( )

? 1 ?3 ? 1 ?2 ?3? 9.设 a ? ? ? ,b ? ? ? ,c=ln ? ?, 则 ?2? ? 3? ?? ?
A. B.
x

1

1





A. 命题“ ?x ? R, e x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, e ? 0 ” B. 命题“已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题
2 C. “ x ? 2 x ? ax 在 x ? 1, 2 上恒成立” ? “ x ? 2 x

C.

D.

? ?

?

2

?

10.已知函数 f ? x ? ? e ? x2 , ( e 为自然对数的底数) ,且 f ?3a ? 2? ? f ? a ?1? ,则实数 a 的取 值范围是 A. ? ) ( B. ? ??, )

min

? ? ax ?min 在 x ??1, 2? 上恒成立”

D. 命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2x ?1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

?1 ? , ?? ? ?2 ?

? ?

1? ? 2?

C. ? ??, ? ? ?

? ?

1? 2?

?3 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? 0,

? ?

1? ?3 ? ? ? ? , ?? ? 2? ?4 ?

5.已知 ? 为锐角,且 cos ? ? ? A. C.

? ?

3 5? ? ,则 cos ? ?? ? ? ?? ? 12 ? 3 12 ? ?

? ?



(0<? < 11.将函数 f ? x ? ? sin 2x 的图像向右平移 ?
f ? x ? ? g ( x) ? 2的x1,x2 ,有 x1 ? x2 min ?
A.

?
2

) 个单位后得到函数 g ? x ? 的图像,若对满足
( )

6? 2 4

1 B. 2

?
3

,则 ? = D.

6 6 D. ? 3 3 6.如图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考 试成绩的茎叶图,第 1 次到第第 14 次的考试成绩

5? 12

B.

? 3

C.

? 4

? 6

12. 定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 2x ,当 x ? ? ??,0 时 f ? ? x ? ? 3x ,
3 2

?

实数 )

1 8. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x sin( x ? (II)当 x ? ?0, ? ? 时,求函数 f ( x) 的值域. ? ? 2? ?

a 满足 f ?1? a ? ? f ? a ? ? ?2a3 ? 3a2 ? 3a ?1 ,则 a 的取值范围是
A. ? , ? ?? ?2 ?



6 (I)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

? . )

?3

?

B. ? ??, ? 2

? ?

3? ?

C. ? , ? ?? ?2 ?

?1

?

D. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

第 Ⅱ 卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分。) 13.直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? 1nx( x ? 0) 的一条切线,则实数 b ? __________. 2

? ?? 14. 关于 x 的方程 cos2x-sinx+a=0 在 ? 0, ? 上有解,则 a 的取值范围为_____. ? 2?
15. ?
1

19. (本小题 12 分)已知函数 (1)讨论函数 (2)若函数 在 在定义域内的极值点的个数; 处取得极值,对任意的

.

?? x ?

3

?1

2 ? 1 ? ? x ? 2? ? dx ? __________. ?



恒成立,求实数 的取值范围.

16.已知函数 f ? x ? ?

x ,在下列命题中,其中 正确命题的序号是_________. ex

(1)曲线 y ? f ? x ? 必存在一条与 x 轴平行的切线; (2)函数 y ? f ? x ? 有且仅有一个极大值,没有极小值; (3)若方程 f ? x ? ? a ? 0 有两个不同的实根,则 a 的取值范围是 ( ? ?, ) ; (4)对任意的 x ? R ,不等式 f ? x ? ? (5)若 a ? ? 0, 20(本小题 12 分)已知函数 f ? x ? 对任意实数 x, y 恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且当 x ? 0 时,

1 e

f ? x ? ? 0 ,又 f ?1? ? ?2 .
(1)判断 f ? x ? 的奇偶性; (2)求 f ? x ? 在区间[-3,3]上的值域; (3)若?x∈R,不等式 f ax 2 ? 2 f ? x ? ? f ? x ? ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 恒成立; 2

? ?

1? ,则 ?x1 , x2 ? R? ,可以使不等式 f ? x ? ? a 的解集恰为 ? x1 , x2 ? ? 2e ?

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置.) 17. (本小题 12 分) 已知 p : 关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有 实根; q : 关于 x 的函数 y ? 2 x 2 ? ax ? 4 在区间 ?3, ?? ? 上是增函数,若“ p 或 q ”是真命题, “ p 且 q ”是假命题,求实数 a 的取值范围;

? ?

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6ln x ,其中 a ? R . x

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

[来源:学科网]

(1)解不等式 f(x)≥4; 2 (2)若关于 x 的不等式 a +2a+|1+x|>f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.

(Ⅱ)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 h( x) ? x 2 ? mx ? 4 ,当 a ? 2 时,若 ?x1 ? (0,1) ,?x2 ?[1, 2] ,总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成 立,求实 数 m 的取值范围.

22. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 {

x ? ?1 ? tcos? ( t 为参数) ,以坐标原点 O 为 1 y ? ? tsin? 2
4 . 4sin ? ? cos 2?
2

极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? (1)写出曲线 C 的直角坐标方程;

1? ? (2)已知点 P 的直角坐标为 ? ?1, ? ,直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A, B ,求 PA · PB 2? ?
的取值范围.

[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z*xx*k.Com]

23. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|1﹣2x|﹣|1+x|.

1.D 2. A 3.D 4.B 5.C 6.A

参 考答案 7.D 8.B

9.B

10.C 11.D 12.D

13. 1n 2 ? 1

14.

? ?1,1?

15. ln3 ?

?
2

16. (1) (2) (4) (5)

处有极小值. 综上:当 时, 在 上没有极值点;当 时, 在 上有一个极值点.

17. (1) ? ??, ?12 ? ? ? ?4, 4 ? ; 解: (1)若 p 真,则 ? ? a 2 ? 4 ? 4 ? 0 ,∴ a ? ?4 或 a ? 4 ,…………3 分 若 q 真,则 ?

a ? 3 ,∴ a ? ?12 ,…………6 分 4 由“ p 或 q ”是真命题, “ p 且 q ”是假命题, 知 p 、 q 一真一假, 当 p 真 q 假时: a ? ?12 ; …………8 分 当 p 假 q 真时: ?4 ? a ? 4 . …………10 分
综上,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?12 ? ? ? ?4, 4 ? ;…………12 分

(2)因为函数



处取得极值,所以

.因为

,令



可得



上递减,在

上递增.∴



.

18.解: (I) f ( x) ? 2sin x( 3 sin x ? 1 cos x) ? 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x …………2 分 2 2 2 2
3 . )? 3 2 函数 f ( x) 的最小正周期为 T= ? . ? sin(2 x ?

?

…………4 分 …………6 分

因为 ?

?
2

12 ? 5 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 [? ? k? , ? ? k? ], k ? Z . 12 12
3 2

? 2k? ? 2 x ?

?

?

?

? 2k? , 解得 ?

?

? k? ? x ?

5 ? ? k? , k ? Z , 12
………… 8 分
[来源:学科网 ZXXK]

20.解:(1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0. 取 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 恒成立,∴f(x)为奇函数. …………3 分 (2) 任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2,则 x2-x1>0 ,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<-f(-x1),又 f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).∴f(x)是 R 上的减函数.…………5 分 ∴对任意 x∈[-3,3],恒有 f(3)≤f(x)≤f(-3), ∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6, ∴f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. …………8 分 2 2 (3)f(x)为奇函数,整理原式得 f(ax )+f(-2x)<f(x)+f(-2),则 f(ax -2x)<f(x-2), 2 ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴ax -2x>x-2, 当 a=0 时,-2x>x-2 在 R 上不是恒成立,与题意矛盾;
2 9 当 a>0 时,ax -2x-x+2>0,要使不等式恒成立,则Δ =9-8a<0,即 a> ; 8 2 当 a<0 时,ax -3x+2>0 在 R 上不是恒成立,不合题意.

? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ?? (II) x ? ?0, ? , 2 x ? ? ? ? , ? ? ,sin(2 x ? ) ? ?? ,1? , 3 ? 3 3 ? 3 ? 2 ? ? 2?
? 3? f ( x) ? ?0,1 ? ?. 2 ? ?

…………10 分

9 综上所述,a 的取值范围为( ,+∞). 8
…………12 分 21.解: (1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ?
'

…………12 分

x?a , x2

19. 试题解析:

①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;由 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;
' '

(1) 当 点; 时, 在

. 上恒成立,函数 在 单调递减,所以 在 上没有极值

故 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减,在 (?a, ??) 上单调递增. (2) g ( x ) ? ax ?

…………4 分

a 5 ax 2 ? 5 x ? a a ? 5ln x , g ( x) 的定义域为 (0, ??) . g ' ( x) ? a ? 2 ? ? . x x x x2



时, 由



, 由



所以



上递减, 在

递增, 即



因为 g ( x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ? (0, ??) , g ' ( x) ? 0 .

? 5x ? ? 5x ? ? ax 2 ? 5x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5x ? a ? ? 2 ? ? a ? ? 2 ? . ? x ?1 ? ? x ? 1 ?min


2 ?1 ? ? ? , 2? . ?1 ? 3sin ? ? t ? ? 4sin? ? 2cos? ? t ? 2 ? 0 ,则 PA ? PB ? 1 ? 3sin ? 2
2 2

2

?

?

5x 5 5 5 ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取等号,所以 a ? . x ?1 x ? 1 2 2 x
2

…………8 分

23.解: (1)∵ f ? x ? ? 1 ? 2x﹣ ﹣ 2x ? 1 ? x ? 4 . 1 ? x ,故 f ? x ? ? 4 ,即 1

(3)当 a ? 2 时, g ( x ) ? 2 x ? 由 g ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x ? ? 0,

2 x ? 5x ? 2 2 . ? 5ln x , g ' ( x) ? x x2
2

1 1 ?1 ? x ? x? x ? ?1 ∴{ ①或 { ②或 { ③, 2 2 1 ? 2x ? x ?1 ? 4 1? 2x ? x ?1 ? 4 2x ?1 ? x ?1 ? 4
2, 解①求得 x ?﹣
解②求得 x ?? , 解③求得 x ? 6 ,

1 或x ? 2 . 2

综上可得,云不等式的解集为 {x | x ?﹣ 2 或 x ? 6} . (2)关于 x 的不等式 a ? 2a ? 1 ? x ? f ? x ? 恒成立,
2

? ?

1? ?1 ? ' ' ? 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? ? 2 ,1? 时, g ( x) ? 0 . 2? ? ? ?1? ?2?

所以在 (0,1) 上, g ( x) max ? g ? ? ? ?3 ? 5ln 2 . 而“ ?x1 ? (0,1) , ?x2 ?[1, 2] ,总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立”等价于“ g ( x) 在 (0,1) 上的最大值不

即 a ? 2a ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ,
2

而 2 x ?1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ?1 ? (2x ? 2) ? 3,
2 故有 a ? 2a ? 3 ,求得 a ? ?3 ,或 a ? 1 .

小于 h( x) 在 [1, 2] 上的最大值”. 而 h( x) 在 [1, 2] 上的最大值为 max{h(1), h(2)} ,

即实数 a 的取值范围为 {a|a ? ?3 或 a ? 1? .

? ?1? ? g ? 2 ? ? h(1), ??3 ? 5ln 2 ? 5 ? m, ? ? ? ?? ? m ? 8 ? 5ln 2 . 所以有 ? ? g ? 1 ? ? h(2). ??3 ? 5ln 2 ? 8 ? 2m. ? ? ? ? ?2?
所以实数 m 的取值范围是 [8 ? 5ln 2, ??) . 22.解: …………12 分

x2 ? y2 ? 1. (1) 4 ? sin ? ? ? cos ? ? 4 ? 4 y ? x ? 4 ? 4
2 2 2 2 2 2

(2)因为点 P 在椭圆 C 的内部,故 l 与 C 恒有两个交点,即 ? ? R ,将直线 l 的参数方 程 与椭圆 C 的直角 坐标方程联立,得 ? ?1 ? tcos? ?
2

?1 ? ? 4 ? ? tsin? ? ? 4 ,整理得 ?2 ?

2


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