12~13(二)高数(工)2期中考试试卷解答

上海应用技术学院 2012—2013 学年第二学期 《高等数学(工)2》期中试卷答案
一.单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) . 1.C; 2.B; 3.B; 4.B; 5.B; 6.D; 7.B; 8.D; 9.D; 10.A. 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) . 11.

20



12.

?? x ? y ? z ? 1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? z ? 0



13.

6 2 5 1 35

14.

6;

15.

cos1(?dx ? dy)



16.



三.计算题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分) .

x ?1 y ? 2 z x ? 3 y ? 2 z ?1 ? ? 并且与直线 ? ? 平行的平面方程. ?2 3 1 4 ?1 2 x ?1 y ? 2 z ? ? 的方向向量为 s1 ? (?2, 3,1) …………………………(1 分) 解:直线 L1 : ?2 3 1 x ? 3 y ? 2 z ?1 ? ? 直线 L2 : 的方向向量为 s2 ? (4, ?1, 2) ……………………… (1 分) 4 ?1 2
17.求过直线

i
所求平面的法向量 n ? sL1 ? sL2 ? ?2

j 3

k 1 ? (7, 8, ? 10) ……………………… (2 分)

4
平面过点 (?1, 2, 0)

?1 2

所以所求平面的方程: 7( x ? 1) ? 8( y ? 2) ? 10 z ? 0 ,即 7 x ? 8 y ?10 z ? 9 ……(2 分)

? z ?z ?2 z 18.设 z ? e ,求 , , . ? x ? y ?x ?y
y x

解:

y ?z ? ?y ? ? e x ? 2 ? ………………………………………………………………………(2 分) ?x ?x ?

1 ?z ?1? ? e x ? ? …………………………………………………………………………(2 分) ?y ? x?

第 1 页 共 6 页

y y y y 1 x y x x? y x ?2 z ? ?y x ? ( e ) ? ? 2 e ? 3 e ? ? 3 e ………………………………(2 分) x x x ?x?y ?y x 2

19.设 z ? f ( x y , y x ), ( x ? 0, y ? 0) ,其中 f (u , v) 是二元可微函数,求 dz . 解:令 z ? f (u, v),

u ? xy , v ? yx

?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? yx y ?1 f1?? y x ln yf 2? …………………………………………(2 分) ?x ?u ?x ?v ?x

?z ?z ?u ?z ?v ? ? ? x y ln x f1?? xy x ?1 f 2? …………………………………………(2 分) ?y ?u ?y ?v ?y dz ? ?z ?z dx ? dy ?x ?y

(2 分) ? ( yx y?1 f1?? y x ln yf2?)dx ? ( x y ln x f1?? xy x?1 f 2?)dy ……………………………… 20.求曲面 e xz ? yz ? x2 y ? 2 在 (?1,1, 0) 处的切平面与法线方程. 解:令 F ( x, y, z) ? exz ? yz ? x2 y ? 2 ……………………………………………………(1 分)

?F ?F ? ze xz ? 2 xy , ?x ?x

(? 1 , 1 , 0 )

? ?2 ………………………………………………… (1 分)
分)

?F ?F ? ? z ? x2 , ?y ?y
?F ?F ? xe xz ? y , ?z ?z

(1 ( ? 1 , 1 , 0 ) ………………………………………………………

?1

( ?1,1,0)

? ?2 ………………………………………………(1 分)

所求切平面的法向量为 (?2,1, ?2) 切平面方程: ?2( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 z ? 0 ,即 ?2 x ? y ? 2z ? 3 …………………(1 分) 法线方程:

x ?1 y ?1 z ? ? ………………………………………………………(1 分) ?2 1 ?2

21.用适当方法判别下列级数的敛散性. (1)

n ? 2 n ?1 n ? 1

?

(2)

?3? ? ? ? n! n ?1 ? 4 ?

?

n

第 2 页 共 6 页

n ? 1 解: (1) lim n ? 1 ? 1 ,又 ? 发散……………………………………………………(2 分) n ?? 1 n ?1 n n
2

由比较判别法极限形式知级数
n ?1

?n
n ?1

?

2

n 发散………………………………………… (1 分) ?1

?3? ? ? (n ? 1)! 3 4 (2) lim ? ? n ? lim (n+1)=? ……………………………………………(2 分) n ?? n ?? 4 ?3? ? ? n! ?4?
由比值判别法知级数

?n
n ?1

?

2

n 发散……………………………………………………(1 分) ?1

22.求幂级数

(?1)n 2 n?1 x 的收敛区间与和函数. ? n ? 0 2n ? 1
?

(?1) n ?1 2 n ?3 x un ?1 ( x) 2 n ? 3 ? lim ? x 2 ………………………………………(1 分) 解:由 ρ ? lim n ?? u ( x ) n ?? ( ?1) n n x 2 n ?1 2n ? 1
当 x ? 1时,级数收敛,当 x ? 1 时,级数发散, 当 x ? 1 时,级数为

(?1)n ,收敛 ? n ?0 2n ? 1
?

当 x ? ?1 时,级数为

? 2n ? 1 ,发散
n ?0

?

?1

所以收敛区间为 (?1,1) ,收敛域为 (?1,1] ……………………………………………(1 分) 当 ?1 ? x ? 1 时, ……………………………………………………………… (1 分) s( x) ? ? (?1) n ? t 2 n dt ,
x n ?0 0 ?

第 3 页 共 6 页

??
??

x ? 0
x 0

? (?1) (t
n n ?0

2 n

(1 分) ) dt ………………………………………………………………

1 dt ………………………………………………………………………(1 分) 1? t2
x

? arctan t 0 ? arctan x ……………………………………………………………(1 分)
(没有写收敛域只写收敛区间的不扣分?) 23.把函数 f ( x) ?

1 展开成 x ? 3 的幂级数. x ? 3x ? 2
2



f ( x) ?

1 1 1 ? ? ( x ? 2)( x ? 1) x ? 1 x ? 2

……………………………………………(1 分)

?

1 1 1 1 1 1 …………………………… (1 分) ? ? ? 4 ? x ? 3 5 ? x ? 3 4 1? x ? 3 5 1? x ? 3 4 5
1 ? x ?3 n 1 ? x ?3 n n (2 分) ( ? 1) ? ( ) ? ? (?1) n ? ( ) ………………………………… ? 4 n ?0 4 5 n ?0 5
?

?

? ? (?1)n (
n ?0

1 1 (1 分) ? n?1 )( x ? 3) n ………………………………………………… n ?1 4 5 x ?3 x ?3 ?1且 ?1 4 5

使上式成立范围:

所以当 x ? 3 ? 4 即 ?1 ? x ? 7 时上式成立………………………………………… (1 分)

24.交换二次积分 I ?

?

1 0

dy ? ye x dx ,并计算 I 的值.
3

1

y

解:积分区域 D ? ( x, y ) y ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ? ( x, y ) 0 ? y ? x, 0 ? x ? 1 所以 I ?

?

? ?

?

?? ye
D

x3

dxdy ? ? dx ? ye x dy ……………………………………………(3 分)
3

1

x

0

0

?? e
0

1

x3

y2 dx ……………………………………………………………………(1 分) 2 0
第 4 页 共 6 页

x

?

1 1 2 x3 1 1 3 x e dx ? ? e x dx 3 ……………………………………………………… (1 分) ? 0 2 6 0 1 31 1 ? e x ? ………………………………………………………………………(1 分) 0 6 6

四.应用与证明题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分) . 25.求 z ? xy(8 ? x ? y), ( x ? 0, y ? 0) 的极值. 解:

?z ? y (8 ? x ? y ) ? xy ? y (8 ? 2 x ? y ) ? 0 …………………………………………(1 分) ?x

?z ? x( 8 ? x ? y ) ? x y ? x ( 8 ? x ?2 y) ……………………………………………( ?0 1 分) ?y
解?

?2 x ? y ? 8 8 8 得驻点 ( , ) …………………………………………………………… (2 分) 3 3 ?x ? 2 y ? 8

A?

?2 z ?2 z ?2 z ? ? 2 y , , B ? ? 8 ? 2 x ? 2 y C ? ? ?2 x …………………………(1 分) ?x 2 ?x?y ?y 2

16 8 16 64 ? 0 且 A ? 0 (1 分) , B ? ? ,C ? ? ? AC ? B 2 ? 3 3 3 3 8 8 512 所以函数在 ( , ) 取得极大值,且极值为 .………………………………………(1 分) 27 3 3
在 ( , ) 点处, A ? ? 26.设 z ? z ( x, y ) 是由方程 F (ax ? by ? cz, bx ? ay ? cz ) ? 0 , (a, b, c ? 0) 确定的隐函数, 其中 F 是可微函数,证明

8 8 3 3

?z ?z b ? a ? ? . ?x ?y c

证明:设 G( x, y, z ) ? F (ax ? by ? cz, bx ? ay ? cz )

Gx? ? aF1? ? bF2? , ………………………………………………………………………… (1 分)

Gy? ? ?bF1?? aF2? ,………………………………………………………………………(1 分)
Gz? ? cF1? ? cF2? ,………………………………………………………………………(1 分)

第 5 页 共 6 页

G? aF ?? bF2? ?z .……………………………………………………………(2 分) ?? x ?? 1 ?x cF1?? cF2? Gz?

G? ?bF1?? aF2? ?z .……………………………………………………………(2 分) ?? y ?? ?y cF1?? cF2? Gz?
所以

F ?(a ? b) ? F2?(b ? a) b ? a ?z ?z . ? ?? 1 ? ?x ?y c( F1?? F2?) c

第 6 页 共 6 页


相关文档

12~13(二)高数(工)2期中考试试卷
13~14(二)《高数(工)2》期中考试试卷解答
13~14(二)高数(工)2期中考试试卷
(二)《高数(工)2》期中考试试卷解答
13~14(二)《高数(工)2》期中考试试卷
14-15(二)《高数(工)2》期中考试试卷解答
12~13(二)高数(工)2期末试卷(A)解答
12~13(二)高数(工)2期末试卷(B)
12-13(二)高数(工)2测试卷(多元函数微分学)解答
电脑版