专题五平面解析几何



阙东进
ABC(顶点A、B、C都在椭圆上)的边AB, AC分别过椭圆的焦点F。和F:,则△ABC 周长 A.总大于6n B.总等于6口 C.总小于6口 D.与6口的大小关系不确定





解析几何是高中数学的重要内容,也是





高考考查的重点内容.试题考查形式多样, 可以是选择题(江苏除外)、填空题、解答题 (难度中等以上);考查内容以直线、圆、圆锥 曲线为主;试题本质是用代数方法研究几何 问题,体现数形结合思想.其中涉及圆锥曲 线的试题多偏重于坐标运算,通常包含解决 问题的算法设计与具体的运算求解,不少同 学常因算法选择不当导致运算量太大而使 解答无法继续.因此,要求同学们在复习过 程中注意积累解决解析几何的基本问题及 典型问题的常用方法、技巧,提高解题能力, 确保复习效果. 预测在2014年高考中解析几何的命题趋 势:客观题仍以考查直线与圆、圆锥曲线的定 义及其基本量的运算为主;解答题以考查直 线与圆锥曲线的位置关系为主,主要研究运 动变化中的定点、定值等运动定常问题,或是 研究运动变化中的最值、取值范围问题,同时 可与平面向量、函数及不等式等内容自然融 合进行命题,增加试题的交汇性.

3.(2014届安徽省合肥市高三第一次 教学质量检测)过坐标原点0作单位圆z 2+ Y2—1的两条互相垂直的半径OA,OB,若在

该圆上存在一点c,使得茄一日萌+6商
(口,b∈R),则以下说法正确的是 A.点P(a,6)一定在单位圆内 B。点P(a,6)一定在单位圆上 C.点P(a,6)一定在单位圆外 D.当且仅当ab=O时,点P(a,6)在单 位圆上 4.(2014届山东省济宁市高三第一次
( )

调研测试)已知Ft,Fz是双曲线手~矿yZ=
1(口>O,6>o)的两个焦点,点P是该双曲线 和圆:z2+Y2一n2+b2的~个交点,若 sin么PFlF2=2sin么PF2Fl,则该双曲线的 离心率是


测试题
1.(2014届福建省厦门市高三质量检 查)已知点P在抛物线Y 2—4x上,且P到y






A.华B.订c.湎D.华


5.(2014届北京市朝阳区高三上学期 期末调研测试)已知正方形的四个顶点分别 为0(o,0),A(1,O),B(1,1),C(O,1),点 D,E分别在线段OC,AB上运动,且oD= BE,设AD与0E交于点G,则点G的轨迹 方程是 A.3,一z(1一z)(O≤z≤1) B.z—j,(1--y)(O≤y≤1)
( )

轴的距离与到焦点的距离之比为寺,则P到
z轴的距离是
( )

A.丢

B.丢

c.1

D.2

2.(2014届上海市奉贤区高三调研测

试)椭圆蒡+芳一1(n>6>o)的内接三角形
万方数据

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U扎i,vcrsity

E竹tm托cP'f3camination—_一震

,。?◆

厂弋

滴. \ 澎B。
彳,
y 占


瓦i一0,tan么PF,F。一去,贝lJ该椭圆的离心


17..(2014届湖南省怀化市3月高三第 一次调研测试)已知F1(一C,O),F2(c,0)是


率为



7.(2014届上海市奉贤区高三调研测 试)已知定点A(4,0)和圆z2+y2—4上的

椭圆E:xn。-+y6。-。一1(口>6>O)的焦点,点M 在椭圆E上.

动点B,动点P(z,y)满足蕊+蕊=2
则点P的轨迹方程为


o-P,

(1)若么F。MF。的最大值是詈,求椭圆
E的离心率; (2)设直线z—my+C与椭圆E交于 P,Q两点,过P,Q两点分别作椭圆E的切 线z1,z。,且z。与l。交于点R,试问:当m变 化时,点R是否恒在一条定直线上?若是,

8.(2014届江苏省苏州市高三第一次 调研测试)在直角坐标系xOy中,已知 A(~1,o),B(0,1),则满足PA2一PB2—4 且在圆z2+y2—4上的点P的个数为 9.(2014届江苏省南通市高三第一次 调研测试)已知集合M=((z,3})【z一3≤Y ≤z一1),N=(P PA≥√虿PB,A(一1,o), B(1,0)),则表示M n N的图形面积等于 10.(2014届江苏省常州市教育学会学 生学业水平监测)在平面直角坐标系xOy

写出这条直线方程,并证明你的结论;若不 是,说明理由. 13.(2014届湖北省衡阳市高三毕业班
^,2 甲2

联考(2))已知F¨F2是椭圆C?:争+争21
(口>6>o)的上下焦点,且F,是抛物线Cz: z2=4y的焦点,点M是C,与Ct在第二象

为圆O上不同的两点,且满足两?商一o.

中,已知圆0:z2+y2=16,点P(1,2),M,N

限的交点,且IMF。f一詈.
(1)求椭圆C。的方程; (2)与圆≯+(y+1)2—1相切的直线

若葡一两落+商,则J芯I的最小值为
11.(2014届江苏省南通市高三第一次

z:y—k(z+£)(£≠0)交椭圆于A,B两点,若

调研测试)如图,在平面直角坐标系z∞中,
椭圆.≯z2

椭圆上一点P满足:萌+魂=A甜(A≠
0),求实数A的取值范围. 14.(2014届江苏省泰州市高三第一次 调研测试)已知直线z:了一2x一4与抛物线 C:y2—4x相交于A,B两点,A在第一象限, T(t,0)(£>0且£≠2)为z轴上任意一点, 连结AT,BT并延长与抛物线C交于A,,B。 两点. (1)设A1B。的斜率为悬,求证:乜为定值;

Ty矿2=1(口>6>。)过点(1,譬),离

心率为等,又椭圆内接四边形ABCD(点A,
B,C,D在椭圆上)的对角线AC,BD相交于

点P(1,丢),且商一2亢,茚一2葡.
(1)求椭圆的方程; (2)求直线AB的斜率.

(2)设直线AB,A,B。与z轴分别。交于

娟日嘲飞

冀鲤銎‰—一婀∥踟M聊9匹船tm脚"-lL](__amin咖住
万方数据

i霪攀鬻豢鬻鬻
M,N两点,△A聊,△BTM,△B,丁N,
△A,TN的面积依次为S,,S:,S。,St,且S,, S:,S。,S。成等比数列,求t的值. 15.(2014届上海市金山区高三第一学

已知过点(1,i3)的椭圆c:孑Xz T矿yZ一1(n>6
>O)的右焦点为F(1,0),过焦点F且与z 轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点, 点B关于坐标原点的对称点为P,直线PA, PB分别交椭圆C的右准线f于M,N两点. (1)求椭圆C的标准方程;

期期末考试)已知曲线C,:卫1+也且一1(口
“ u

>6>o)所围成的封闭图形的面积为4√5,曲

线C。的内切圆半径为半.记曲线c:是以


9/E-

(2)若点B的坐标为(下8,挲),试求
、0 0


量量聂兰

曲线C。与坐标轴的交点为顶点的椭圆.设 AB是过椭圆C。中心的任意弦,z是线段AB 的垂直平分线,M是z上异于椭圆中心 的点. (1)求椭圆C:的标准方程;

直线PA的方程5 (3)记M,N两点的纵坐标分别为YM, YN,试问YM?YⅣ是否为定值?若是,请求出 该定值;若不是,请说明理由.
y。

(2)若I MOI—m OA{(0为坐标原 点),当点A在椭圆C。上运动时,求点M的
轨迹方程; (3)若M是z与椭圆C:的交点,求

\\/ P—~

厂小


~■/
F/










△ABM的面积的最小值.
16.(2014届浙江省杭州市高三第一次 高考科目教学质量检测)设点P(一2,1)在抛 物线z2—2py(P>0)上,且到圆C:z2+ (y+6)2—1上点的最小距离为1.


f第17题)

18.(2014届厦门市高三第一次调研测
2 ..2

试)如图,点A,B分别是椭圆E:≥+寺一1
(n>6>O)的左、右顶点,圆B:(z一2)2+Y2 —9经过椭圆E的左焦点F,。 (1)求椭圆E的方程; (2)过A作直线z与Y轴交于点Q,与 椭圆E交于点P(异于A).


rB、

∥一




①求瓦苍?茚的取值范围;
②是否存在定圆11,使得以P为圆心, PF。为半径的圆始终内切于圆r?若存在, 求出圆r的方程;若不存在,说明理由.


(第16题)

(1)求P和b的值; (2)过点P作两条斜率互为相反数的 直线,分别与抛物线交于两点A,B,若直线

AB与圆C交于不同两点M,N.
①证明直线AB的斜率为定值; ②求APMN面积取最大值时直线AB 的方程. 17.(2014届江苏省南京、盐城高三第 一农、辛墓拟考试)在平面直角坐标系xOy中,

彳婚O
吣~


参铺 ;一
/B


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(第18题)

,。?◆

万方数据

Ne∥U儿i'ver口'ty'Entra聊旺职卅伽rio住__一,溺麟

6.譬,7.(z_2)2+y2 三蓦雾

1.8.z.

证明:当z。Y。≠0时,设切线方程为:Y --y。一点(x-x。)与椭圆E方程联立得(62+
口2k2)z2+2a2k(yo—kxo)z+n 2(∥o--kxo)2

9.詈丌+2万.10.3捂一万.
c_43

J了一虿’

一n262一o,由△一。及署+等一1得,
、解得

11.(1)依题意,{1。3


】≯十万一h
c2=口2--b2.

(a—矿yo志十等)2一。,所以志一一b万2x页o,因此切
线方程是.丁EoX+铲21.
设P(x,,Y。),Q(x:,y2),则£,的方程

{口:三4所汞椭圆明万崔力X百2b

2一. 1



+了2—1.

(2)设A(z。,了,),则等+y;一1.由静 是:等+铲一Ⅲz的方程是:等+铲一 =2茏,得c(生≯,墅等盟).代入椭圆方

1,联立方程,解得z一矧,又z,一


程譬w乩得早+(学)2乩
f 3一z1、。

myl+f,z2=my2+C,所以上1Y2一X2Yl一
(myl+f)Y2一(my2+c)Y1一c(y2一Y1),因

整理,得譬+斫一虿3(z。+y,)一黑一o,
肌。q-Y1一丢.③
一百1 ④,

此zR一生鱼笠三业三譬,故当研变化时,点 zly2一z2Y1
R恒在定直线z一生上.
13.(1)由C2:z2—4y知Fl(o,1),c一

1。设M(z。。Yo)(z。<o),因M在抛物线C2
E 9

上,故z;一4y。,又I

MF,1一号,则y。一号,

③一④得尝三尝一一1,
即直线AB的斜率为是一夏y2二--iYl一一1?
12.(1)因为MF,十MF:一2a,所以

z。一一攀,而点在椭圆上,所以2口一
MF。1+l MFz 1—4,即口2—4,b2一口2一c2

—3,故椭圆ct的方程为等+专21;

MF。XMF:≤f塑毒墼1 2=az,所以c。s

ZF,MF:一%器= 生坐柴≥喽一1,因为么F。MF。
2MF,×MF,

n2

(y+1);一1相切,所以删一1,即忌一
禹(鲫).
把y一是(z+£)代人iy2


(2)因为直线l:Y—k(z+£)与圆z2+

一”~一~



的最大值是吾,所以譬一1一o,因此椭圆E
Ⅳj训Univer矗iy q:;ntf,21tce垡0哆优妇戚f0行

3了E.2_;1并整理

得,(3愚2+4).z2+6k2tx+3k2t2一曲菇O.,设

万方数据

P坐标代入椭圆方程得。<A

寨[2眷t]2t2一痴.<…-4,pJr以
3(鲁)2+4(軎)2+(古)+,


2=最笔缶一

z2+y2=m。.黜,因为z是AB的垂
直平分线,所以直线z的方程为j,一一÷z,


代人上式消去k得,z2+y2一仇z?

120歹(x了z+丐丁yZ),又z2-t-yZ≠。,整理得,嘉+
参一l(m>o);当k=0或斜率不存在时,
上式仍然成立,综上所述,点M的轨迹方程

14.(1)由y=2x~4及y2=4z得,

A(4,4),B(1,一2),设A,(百a2,口),B,(等,
6),则由kAT

h。丁得,产一再4,即日=一

为磊+鑫。.1(优>o).
(3)当k存在且不为零时,由(2)得,
OA

t,同理由kBr一是B。1’得,b=2t,从而A,

(等,-t),B1(£2,2£),所以直线A。B。的斜
率忌一兰t,即忌£一4; (2)有(1)知直线A-B,的方程为:y一2t 一_4(3r--t2),直线AB的方程为:y一2z一4, 令y=O得,zM一2,z~一百t2;又s1:s2一s3:

2=黜,用一丢替换忌得,I
、 2

oMI



一攀等,所以S△删一OA×OB一 、^百矿孑百页1矿而7(!壁±垒2±坚曼2+5)
20(k2+1) 20(k2+1)

一箬(当且仅当4+5kz一5+4k z时,即是一±1
时,等号成立),

st一故》即蕊(2--t)×2名解
15.(1)c1是以(--a,O),(0,--b),(口,O),

当七一。或k不存在时,S△ABM一2佰>

可40,所以△ABM的面积的最小值为箬.
16.(1)依题意,p一2,6一一1; (2)①设直线PA的方程为:y一1一曼 (z+2),又z2=4y,所以z2—4kx--8k一4—

f2ab一4朽,

(o,6)为顶点的菱形,故{ 口6 249又n l、石q可 3’
>6>o,解得a2—5,b2—4,所以椭圆的方程 为了xz?了yZ=1; (2)假设AB所在的直线斜率存在且不

J————————————*

0,从而zA+zp一4志,故zA=4k+2,即有 A(4k+2,(2尼+1)2),同理得B(一4k+2, (一2k+1)2),所以直线AB的斜率为:
(2k+1)2一(~2五+1)2

(4k+2)一(一4k一2)

一1;

②设直线AB的方程为:y=x+t,则点

P到直线AB的距离为。≯,联立直线
,。-◆

万方数据

撇删,£雠佑叻啪黼P(K)oaminⅡtio挖_—一,懑麓

(一t2+2≠+1),则令导数Y7—2(t一3) (一t2+2f+1)+(t--3)2(一2t+2)一0得,t

×垫±!!鱼二!1
3"2



垡勋



《百





业丁




4y;一12—3x;,所以YMYN一一3

一生笋,(£一生笋,≠一3均舍去)-,经检验, 堕塑坠÷盟!望一一9,即y栅为
定值. 24.(1)由题意得,。=2,圆B:(z一2)2 +y2—9,令y一0,得F,(一1,o),所以62—4

—1=3,椭圆方程为车+等一1;

(2)①当直线l是z轴时,瓦茵.茚一
一4,tP

a一2,义C一1,所以b6—3,从向椭圆

0;设直线AP:z=ty一2,联立椭圆方程:等 +寺一1得,(3t2+4)y2—12ty一0,YP一
YQ 一 二堕L,却一百6t口z--万8,易得 ——’却一五马i’易得 4+2t3所,o—Qz,2 一 5- ’zQ—u,所

c的标准方程为:x百z T了yZ一1;

(2)因为B(。8一,学),所以P(~詈,
一旦宇),又F(1,o),忌AB一捂,所以直线AB:了

以F商?茚一(1,了2)?(丽6tz--8—2, 鼎)一鼎∈(o,2),综上,莉?碎 一幅。一)’联立方程组斥+等乩,二 ly一捂(z一1),
∈[o,2)5 ②假定存在定圆r满足题意,根据椭圆 的对称性知,定圆r的圆心在z轴上,当P 为点B时,圆P就是圆B:(x--2)2+y2—9, 交z轴于点D(5,0);当P无限接近点A 时,圆P就是圆A:(z+2)2+y2—1,交z轴 于点C(一3,0),所以定圆r的圆心为 (3)当愚AB不存在时,易得Y。Y。一一9


得A(。,一万),所以直线PA:y一一孚一捂;
当忌AB存在时,设A(x1,了。),B(z2,Y2),则

P(一z:,一y:),所以譬+誓=1,x4l+y3l_


1,两式相减得,鱼生生堕掣= Fz(1,。),恰为椭圆等+等一1的右焦点,所 一垃垃掣,所以等等I剡
,∥I¨/
、/

以猜想定圆r:(z一1)2+Y2—42—16,下证

一、

一~丢一是蹦?忌邶,令正仙一是一再yz,则
《∞8◇

圆P始终内切于定圆r:因为I PF。l+ PF。I一4,所以I PF:I=4--f PF,I,即证.

雾‰一 万方数据

‘航ⅢUm:vcrsiU堡intrance'?戈ammaubn


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