【2014江门一模】广东省江门市2014届高考模拟考试数学理试题 Word版含答案


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2014 年高考模拟考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 2. 做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
独立性检验临界值表

P( K 2 ? k0 )
k0

0.50
0.455

0.25
1.323

0.10
2.706

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.Ks5u 1.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i ( i 是虚数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.从 2、3、5、7 这四个质数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ,则 f (1) ? A. 1 B. ? 1 C. 3 D. ? 3
甲 4 6 3 3 6 8 3 7 9 1 2 3 4 5 图1 乙 2 5 2 3 4 3 3 5 1 2

4.将甲、乙两个篮球队 10 场比赛的得分数据 整理成如图 1 所示的茎叶图,由图 1 可知 A.甲、乙两队得分的平均数相等 B.甲、乙两队得分的中位数相等 C.甲、乙两队得分的极差相等 D.甲、乙两队得分在 [ 30 , 39 ) 分数段的频率相等

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1 , t ) ,OB ? (2 , 2) ,若 ?ABO ? 900 , 则t ? A. 2 B. 4 C. 5 D. 8

6.已知两条不重合直线 l1 、 l 2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则“ l1 // l 2 ”是“ k1 ? k 2 ” 成立的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件

D1 C1
E

A1 B1

7.如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 棱 CC1 的中点, F 是侧面 B1 BCC1 上的动点, 并且 A1 F // 平面 AED 1 ,则动点 F 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段

D

A

B 图2 8.设函数 f ( x) ? x ? sin x ? 2 , g ( x) ? e x ? ln x ? 2 ,若实数 a , b 满足 f (a) ? 0 ,

C

g (b) ? 0 ,则

A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b)

B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 . 则命题 p 的否定 ? p : 10.执行如图 3 的程序框图,输出的 S ? 11.定积分 ? | x | dx ?
?1 1

开始

k ? 2, S ?1

. .

S ? S ? logk (k ? 1)
k ? k ?1 k ?8
否 输出 S 结束 是



12.已知直线 l 过点 A(2 , 1) 和 B(1 , m 2 ) ( m ? R ) , 则直线 l 斜率的取值范围是 倾斜角的取值范围是 . ,

13.某个部件由三个元件如图 4 方式连接而成,元件 A 或元件 B 正常工作,且元件 C 正常工作,则部件正
1 常工作.若 3 个元件的次品率均为 ,且各个元件 3
图3

A C B 图4

相互独立,那么该部件的次品率为



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的参数方程为

?x ? t 2 ( t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,直角坐标系 ? y ? 2 t ? 的长度单位为长度单位建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为
A

E

C
B

O
图5

D

4 15. (几何证明选讲选做题)如图 5, AB 是圆 O

? ? sin(? ? ) ? m .若直线 l 经过抛物线 C 的焦点,则常数 m ?



的弦, CD 是 AB 的垂直平分线,切线 AE 与 DC 的延长线相交于 E .若 AB ? 24 ,
AE ? 20 ,则圆 O 的半径 R ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) ? 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 , x ? R . 6 ⑴求 f (0) 的值; ⑵若将 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得到的曲线恰好经 过坐标原点,求 ? 的最小值. 17. (本小题满分 14 分) 随机询问某大学 40 名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得 到如下列联表:
读营养说明 不读营养说明 总计 性别与读营养说明列联表 男 16 4 20 女 8 12 20 总计 24 16 40

⑴根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前 提下认为性别与是否读营养说明之间有关系? ⑵从被询问的 16 名不读营养说明的大学生中,随机抽取 2 名学生,求抽到 男生人数 ? 的分布列及其均值(即数学期望) .
(注: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, PA ? 底面 ABCD ,
PA ? 3 , AD ? 2 , AB ? 4 , ?ABC ? 600 .

⑴求证: AD ? PC ; ⑵ E 是侧棱 PB 上一点, 记 PE ? ? PB , 是否存在实数 ? , 使 PC ? 平面 ADE ? P 若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由. E

A

B

D

图6

C

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , ?n ? N ? , an?1 ? ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵求证: ?n ? N ? , ? ai ? 3 .
2 i ?1 n

2a n . 2 ? an

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 ? 的焦点为 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ,点 M (1 ,
3 ) 在椭圆 ? 上. 2

⑴求椭圆 ? 的方程; x2 y2 ⑵设双曲线 ? : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的顶点 A 、 B 都是曲线 ? 的顶 a b 点,经过双曲线 ? 的右焦点 F 作 x 轴的垂线,与 ? 在第一象限内相交于 N ,若直 线 MN 经过坐标原点 O ,求双曲线 ? 的离心率. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数.试证明: ⑴ ?a ? R , y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条切线; ⑵ ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?
f (e) ? f (1) . e ?1

评分参考(理科)
一、选择题 二、填空题 BCAA CDDB ⒐ ?x0 ? R (3 分) , x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ( x0 写作 x 亦可,但要统一,否则 ⒑ 3 ⒔ 三、解答题 ⒗⑴ f (0) ? 4 cos 0 sin ⒒ 1 ⒕ ⒓ (?? , 1] (3 分) , [0 ,
2

只计 1 处得分; ? 写作 ? 扣 1 分)

?
4

]? (

?
2

, ? ) (1 分+1 分)

11 27

2 2

⒖ 15

?
6

? 1 ? 4 ?1?

1 ? 1 ? 1 ??4 分(代入 1 分,三角函数值 2 分,结 2

果 1 分) ⑵向右平移 ? 个单位,所得到的曲线为 y ? 4 cos( x ? ? ) sin( x ? ? ? 曲线经过坐标原点,得 4 cos( ?? ) sin( ?? ? 化简(和差化积或积化和差) ,得 sin( 2? ?

?
6

) ? 1??6 分

?
6

) ? 1 ? 0 ??7 分 ) ? 0 (或 tan 2? ?

3 )??10 分 6 3 ? ? k ? 2? ? ? k? , k ? Z ??11 分, ? ? ? ? , ? 的最小正值为 ? ? ??12 分. 12 6 2 12

?

(若学生在第⑴问化简函数,则相应的分值仍然计入第⑵问)

40 ? (16 ? 12 ? 8 ? 4) 2 ? 6.67 ? 6.635??4 分(列式 2 分,计算 ⒘⑴由表中数据,得 k ? 24 ? 16 ? 20 ? 20
1 分,比较 1 分) , 因此,能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为性别与读营养说明有关??5 分 ⑵ ? 的取值为 0,1,2??6 分
2 1 1 2 C12 C12 ? C4 C4 11 2 1 , , ??12 分 ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 5 C16 20 C16 C16 20

P(? ? 0) ?

? 的分布列为 ?
??13 分

0

1

2

P

? 的均值为
E? ? 0 ?

11 20

2 5

1 20

11 2 1 1 ? 1? ? 2 ? ? ??14 分.Ks5u 20 5 20 2

⒙⑴连接 AC ,则 AC ?

AB2 ? BC2 ? 2 ? AB ? BC ? cos?ABC ? 2 3 ??1 分

(方法一) PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC ??2 分

PB ? PA2 ? AB2 ? 5 , PC ? PA2 ? AC 2 ? 21??3 分
PB2 ? PC 2 ? BC 2 ,所以 ?PCB ? 900 , BC ? PC ??4 分
因为 AD // BC ,所以 AD ? PC ??5 分
2 2 2 0 (方法二) CD ? AD ? AC ,所以 ?CAD ? 90 , AD ? AC ??2 分

PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AD ??3 分
因为 PA ? AC ? A ,所以 AD ? 平面 PAC ??4 分 因为 PC ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC ??5 分 ⑵(方法一)过 C 作 CF ? AB 于 F ,则 CF ? 平面 PAB ??6 分 连接 PF ,由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ??7 分

又 CF ? AE ,所以 AE ? 平面 PCF ??8 分, AE ? PF ??9 分 依题意, BF ?

1 BC ? 1 ,所以 AF ? 3 , AF ? PA ??10 分, AE 是 ?PAF 的平分 2 PE PA BE AB ? ? , ??12 分 sin ?PAE sin ?PEA sin ?BAE sin ?BEA

线,从而也是 ?PAB 的平分线??11 分 在 ?PAE 和 ?ABE 中,

所以

PE 3 3 PE PA 3 ? ,即所求 ? 的值为 ??14 分. ? ? ??13 分, PB 7 7 BE AB 4

(方法二)在平面 ABCD 内过点 A 作 AF ? CD ,以 A 为原点, AF 、 AB 、 AP 所 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系??6 分 则 A(0 , 0 , 0) , B(0 , 4 , 0) , P(0 , 0 , 3) ??7 分, C( 3 , 3 , 0) ??8 分 设 E (a , b , c) ,由 PE ? ? PB 得, (a , b , c ? 3) ? ? (0 , 4 , ? 3) ??9 分 解得 a ? 0 , b ? 4? , c ? 3 ? 3? ??10 分 由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ??11 分,即 PC ? AE ? 0 ??12 分 所以 ( 3 , 3 , ? 3) ? (0 , 4? , 3 ? 3? ) ? 3 ? 4? ? 3(3 ? 3? ) ? 0 ??13 分 解得 ? ?

3 ??14 分. 7

(方法三)过 E 作 EF // BC ,交 PC 于 F ,连接 DF ,则平面 ADE 即平面 ADFE ??6 分,由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? DF ??7 分 由⑴及余弦定理得

PC 2 ? PD2 ? CD 2 9 ??9 分 cos?CPD ? ? 2 ? PC ? PD 13 ? 21
9 21
??12 分

所以 PF ? PD ? cos?CPD ?

PF ? PC

9 21 ? 21

?

PE PF 3 3 ? ? ??14 分. ??13 分,又 EF // BC ,所以 ? ? PB PC 7 7

⒚⑴由 a n ?1 ? 所以 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 ,得 ? ? ??1 分, ? ? ??2 分 a n ?1 a n 2 a n ?1 a n 2 2 ? an

?1? 1 1 ? 1 ,公差 d ? 的等差数列??3 分 ? 是首项 2 an ? an ?

2 1 n ?1 n ?1 ? ??4 分,所以 ?n ? N , a n ? ??5 分 ? 1? ? n ?1 an 2 2
⑵(方法一) a n ?
2

2 2 4 4 4 ??6 分, ? ? ??7 分 ? 2 ? 2 2 n n?2 (n ? 1) n ? 2n ? 1 n ? 2 n

n ? 4 时,由以上不等式得

?a
i ?1

n

2 i

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )?( ? ) ??9 分 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2

?

2 2 2 2 ? ? ? ??10 分, ? 3 ??11 分 1 2 n ?1 n ? 2
n ? n 2? 2 因为 ?? ai ? 是递增数列,所以 ?n ? N ? , ? a n ? 3 ??12 分. i ?1 ? i ?1 ?

(方法二) a n ?

2

4 4 4 4 ??6 分, ? ? ??7 分 ? 2 n n?2 n(n ? 1) (n ? 1)

n ? 2 时,由以上不等式得

?a
i ?1

n

2 i

n 4 4 4 4 4 4 2 ? 1 ? ? ai ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ??9 分 2 3 3 4 n n ?1 i ?2

? 1?

4 4 ? ??10 分, ? 3 ??11 分 2 n ?1

n ? n 2? 2 因为 ?? ai ? 是递增数列,所以 ?n ? N ? , ? a n ? 3 ??12 分. i ?1 ? i ?1 ?

⒛⑴椭圆 ? 的焦距 2c1 ?| F1 F2 |? 2 ??1 分 长轴 2a1 ?| MF1 | ? | MF2 |?

22 ?

9 3 ? ? 4 ??4 分 4 2
x2 y2 ? ? 1 ??6 分 4 3

椭圆 ? 的短轴 2b1 ? 2 3 ??5 分,所以椭圆 ? 的方程为 ⑵设双曲线 ? 焦距为 2c ,依题意, (方法一) N (c ,

c 2 | FN | 2 b2 ? ? 1 | FN | ? ?? 7 分, ??8 分 a a2 b2

3 b2 ) ??9 分,直线 OM 的方程为 y ? x ??10 分 2 a

O 、 M 、 N 共线,所以

1 3 b2 3 c2 ? a2 3 ? c ??11 分,即 ? ??12 分, e ? ? , e 2 a 2 ac 2

1 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ??13 分,解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ? 舍去)??14 分. 2
(方法二)依题意, ?OF2 M ~ ?OFN ??9 分,

| F2 M | | FN | ??10 分 ? | OF2 | | OF |

所以

1 3 3 b2 c2 ? a2 3 ? ? ??12 分,e ? ? ,2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ?? ??11 分, 即 e 2 2 ac ac 2
1 舍去)??14 分. 2

13 分,解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ?

21.⑴ f ( x) ? 2 x ? a(1 ?
/

1 ) ??1 分,直线 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 的斜率 k ? 2(a ? 1) ??2 x

分,由 2 x ? a (1 ?

1 ) ? 2(a ? 1) ,取 x ? 1 ??3 分 x

f / (1) ? 2a ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 的切线为 y ? f (1) ? (2a ? 2)(x ? 1) ,
即 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) ,所以 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线??4 分 ⑵直接计算知

f (e) ? f (1) a ??5 分 ? e ?1? a ? e ?1 e ?1

设函数 g ( x) ? f / ( x) ?

f (e) ? f (1) a a ??6 分 ? 2 x ? (e ? 1) ? ? e ?1 x e ?1

g (1) ? 1 ? e ? a ?

a a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ??7 分 ? e ?1 e ?1

g (e) ? e ? 1 ?

a a e(e ? 1) 2 ? a ??8 分 ? ? e e ?1 e(e ? 1)

当 a ? e(e ? 1) 2 或 a ?

(e ? 1) 2 [a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][a ? e(e ? 1) 2 ] 时, g (1) g (e) ? ? e?2 e(e ? 1) 2

? 0 ?? 10 分,因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线,所以存在 ? ? (1 , e) ,使
g (? ) ? 0 ,即 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?
f (e) ? f (1) ??11 分; e ?1



(e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时, g (1) 、 g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、 g (e) 之中至少一个为 e?2
a ? (1 , e) 2

a ? e2 ?1 正??12 分, 由均值不等式知,g ( x) ? 2 2a ? , 等号当且仅当 x ? e ?1
时成立,所以 g ( x) 有最小值 m ? 2 2a ?

a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ,且 ? e ?1 e ?1

m?

? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)]2 ? (e ? 1)(e ? 3) ? ? 0 ??13 分,此 e ?1 e ?1

时存在 ? ? (1 , e) ( ? ? (1 ,
/ 存在 ? ? (1 , e) ,使 f (? ) ?

a a ,使 g (? ) ? 0 。综上所述, ?a ? R , ) 或? ?( , e) ) 2 2
f (e) ? f (1) ??14 分. e ?1


相关文档

【2014江门一模】广东省江门市2014届高考模拟考试数学文试题 Word版含答案
广东省江门市2014届高三调研考试数学文试题 Word版含答案
广东省江门市2014年高考模拟考试数学(理)试
广东省江门市2014届高考模拟考试理综试题 Word版含答案
广东省江门市2014届高考模拟考试数学一(理数)
广东省江门市2014届高考模拟考试语文试题 Word版含解析
广东省江门市2014届高三调研考试历史试题 Word版含答案
广东省江门市2014年高考模拟考试理科数学试卷(一)
广东省江门市2014届高三调研考试数学理试题 Word版含答案
广东省江门市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
电脑版