广东省深圳市平冈中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试卷


平冈中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高二数学试题(2012 年 11 月)
命题人:欧阳灿 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.不等式 x ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是
2

( B. ?x | x ? 5或x ? ?1? D. ?x | x ? 5或x ? ?1? (



A. ?x | ?1 ? x ? 5? C. ?x | ?1 ? x ? 5? 2. 下列说法错误的是



A.如果命题 " ?p " 与命题“ p ? q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题; B.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; C.若命题: p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ; D. "sin ? ?

1 " 是 "? ? 30? " 的充分不必要条件 2
( B.a=30,b=25,A=150 ,有一解 D.a=9,b=10,A=60o,无解
o

3.下列判断正确的是 A.a=7,b=14,A=30o,有两解 C.a=6,b=9,A=45o,有两解 4. 若 x ? 1, 则 x ? 1 ? A. ?2 5. 数列 1, x, x ,?, x
2

)

1 的最小值是 x ?1 B. 1
的前 n 项和为

( C. 2 D. 3 (



n?1



1? xn A. 1? x

1 ? x n ?1 B. 1? x

1 ? x n ?1 C. 1? x

D.以上均不正确

6. ?ABC 中, 在 三边 a, b, c 与面积 S 的关系是 S ?

a2 ? b2 ? c2 , ? C 的度数为( 则 4
C. 45
0

)

A. 30

0

B. 60
2

0

D. 90

0

7.已知 a ? R, 则"a ? 2"是" a ? 2a "的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界) 内,目标函数 z ? 2 x ? ay 取得最大值的最优解有无数 个,则 a 为 ( )

(

)

A.-2

B.2

C.-6

D.6 )

9.关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是( A. ? ?

? 3 ? ,1? ? 5 ?

B. ?? 1,1?

C. ?? 1,1?

D. ? ?

? 3 ? ,1? ? 5 ?

?x ≥ 0 ? 10.已知点 M(a, b)在由不等式组 ? y ≥ 0 确定的平面区域内,则点 N(a+b, a-b)构 ?x ? y ≤ 2 ?

成的平面区域的面积是 A.2 B.4
1 C. 2 1 D. 4





二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.命题 p : ?x ? R, f ( x) ? m 。则命题 p 的否定 ? p 是________
2 2

_______

12.若各项均为正数的数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 且 an ? an?1 ? 2 ,则此数列的通项公式

an =_______
13.已知正数 x, y 满足 2 x ? y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y

;

14.在等差数列 ?an ? 中,前四项之和为 20,最后四项之和为 60,前 n 项之和是 100,则项 数 n 为_____________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15(本题 12 分) .已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a3 ? 0, S4 ? ?4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 n 为何值时, S n 取得最小值. 16(本题 14 分) .已知 △ ABC 的周长为 3 ? 1 ,且 sin A ?sin B ? 3sin C , △ ABC 的

面积为案

3 sin C , 8

(1)求边 AB 的长; (2)求 tan( A ? B) 的值.

17. (本小题满分 14 分)如果直线 l1 : 2x ? y ? 2 ? 0,

l2 :8x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴正半轴, y

轴正半轴围成的四边形封闭区域 (含边界) 中的点, 使函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的 最大值为 8,求 a ? b 的最小值

17 题图 18. (14 分)已知数列 {an } 为等比数列, a1 ? 2 , 公比 q ? 0 ,且 a2 ,6, a3 成等差数列. ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵设 bn ? log2 an , Tn ?

6 1 1 1 1 ,求使 Tn ? 的 n 的值 ? ? ??? 7 b1b2 b2 b3 b3b4 bn bn ?1

19(本题 12 分) .已知 a ? 0, a ? 1 ,命题 p : 函数 y ? loga ( x ? 1) 在 (0, ??) 上单调递减,
2 命题 q : 曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点,若 p ? q 为假命题, p ? q 为真

命题,求实数 a 的取值范围。

20 ( 本 题 14 分 ) 设 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 对 任 意 的 n ? N ? , 都 有 .

Sn ? (m ? 1 ) man ( m 为正常数). ?
(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

平冈中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高二数学试题答案
一、选择题
1.D 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.A 9.A 10.B

二、选择题
11. ?x ? R, f ( x) ? m 12. 2n ? 1 13. 3 ? 2 2 14.10

三、解答题
15.解: (1)? a3 ? 0, S4 ? ?4 ,

? a1 ? 2d ? 0 , ? ?? 4?3 ?4a1 ? 2 d ? ?4. ?
解得 a1 ? ?4, d ? 2 .

--------------2 分

--------------4 分 -------------6 分

?an ? ?4 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ? 6 .
(2) Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d ? ?4n ? n ? n ? 1? --------------------------------------------8 分 2

? n2 ? 5n

5 ? 25 ? ? ? n ? ? ? .------------------------------------------------------------------10 分 2? 4 ?

2

? n ?N * ,
? 当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最小值 ?6 . --------------------------------------12 分

16. (1)因为 △ ABC 的周长为 3 ? 1 ,所以 AB ? BC ? AC ? 3 ? 1 .----------1 分 又 sin A ? sin B ? 3 sin C ,由正弦定理得 BC ? AC ? 3AB .--------------3 分 两式相减,得 AB ? 1 .--------------------------------------------------------------------4 分 (2)由于 △ ABC 的面积

1 3 3 BC ? AC sin C ? sin C ,得 BC ? AC ? ,-----6 分 2 8 4

由余弦定理得 cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 --------------------------------------------8 分 2 AC ? BC

?

( AC ? BC ) 2 ? 2 AC ? BC ? AB 2 1 ? ,---------------------10 分 2 AC ? BC 3

2 又 0 ? C ? 180 ,所以 sin C ? 1 ? cos C ?
? ?

2 2 .-----------------------------12 分 3

故 tan( A ? B) ? ? tan C ? ?2 2 .------------------------------------14 分

另解:由(1)得 BC ? AC ? 3 ,又 BC ? AC ? 所以 AC ? BC ?

3 , 4

3 ------------------------------------------------------------------------6 分 2 2 ,---------------------------------8 分 2

在 △ ABC 中,作 CD ? AB 于 D ,则 CD ? 所以 tan A ? tan B ?

2 -------------------------------------------------------------------10 分

故 tan( A ? B) ?

tan A ? tan B ? ?2 2 ---------------------------14 分 1 ? tan A tan B

17.解:设 P ? x, y ? 为封闭区域中的任意点

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 则 P ? x, y ? 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 …………… ?x ? 0 , y ? 0 ?
(4 分) 可行域如图所示………………(8 分) 目标函数的最优解为 B ?1, 4 ? ……………(10 分) 依题意将 B ?1, 4 ? 代入 Z ? abx ? y( a ? 0, b ? 0) 得最 大值 8,解得 ab ? 4 ……………(12 分) 有 基 本 不 等 式 得 : a ? b ? 2 ab ? 4 ( 当 且 仅 当 17 题图

a ? b ? 2 时,等号成立)

故 a ? b 的最小值为 4……………(14 分)

18.解: (1)由 a 2 ,6, a3 成等差数列,可得 12 ? a2 ? a3 又 {an } 为等比数列,且 a1 ? 2, 故 12 ? 2q ? 2q 2 解得 q ? 2, 或q ? ?3 , 又q ? 0 …… 5 分 …… 3 分

…… 2 分

?q ? 2

? an ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n
? bn bn ?1 ? 1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

…… 7 分

⑵? bn ? log2 2n ? n

…… 10 分

1 ? 1 ? 1? ? 1 1? ?1 ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ? 1?
故由 Tn ?

…… 12 分

15 16

* 可得 n ? 6 , 又 n ? N

n 的值为 1,2,3,4,5

…… 14 分

19.解: p 为真: 0 ? a ? 1 ; q 为真: a ?

5 1 或0 ? a ? 2 2

0 ? a ?1 1 (1)当 p 真 q 假 { 1 5 ? ? a ?1 2 ?a? 2 2 a ?1 1 5 5 (2)当 p 假 q 真 { 1 5 ? a ? 综上, a 的取值范围是 [ ,1) ? ( , ??) 2 2 2 0 ? a ? 或a ? 2 2
20. (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ( m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .…………………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man?1 .…………………2 分 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) .………………………3 分 an?1 1 ? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为

m 的等比数列.……………………4 分 1? m

(2)解: b1 ? 2a1 ? 2 . ………………………5 分 ∵ bn ?

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) .………………7 分 bn bn ?1 bn bn?1 1 ? bn ?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.………………………………………8 分 2 ? bn ?
2 1 1 2n ? 1 ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2 (n ? N ? ) .……………………………9

∴ 分

(3)解:由(2)知 bn ? 所以 Tn ?

2 2n?1 ,则 ? 2n (2n ? 1) . 2n ? 1 bn
…10 分 ① ……11 分 ②………12

22 23 24 2n 2n?1 , ? ? ??? ? b1 b2 b3 bn?1 bn

即 Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? ?? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) , 则 2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ? ?? 2n ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) , 分

②-①得 Tn ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2 ? 23 ? 24 ??? 2n?1 ,……………………13 分 故 Tn ? 2
n ?1

? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n?1 ) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 6 .……………………14 分 1? 2


相关文档

广东省普宁市第二中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题
2012-2013学年广东省普宁市第二中学高二上学期期中考试数学试卷
广东省深圳高级中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学理试题
广东省深圳市宝安中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题
广东省执信中学2012-2013学年七年级上学期期中考试数学试题
广东省执信中学2012-2013学年八年级下学期期中考试数学试题
广东省龙门中学2012-2013学年九年级(上)期中考试数学试题(含答案)
广东省高州市第三中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题
广东梅县东山中学2012-2013学年度第一学期期中考试高二文科数学试题
广东省龙门中学2012-2013学年九年级上册期中考试数学试题
电脑版