高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4节函数y=Asinωx+φ的图像及应用学案理北师大版(数学教案)

第四节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及应用 [考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数 y=Asin(ω x+φ )的物理意义;能画出函数的图 像,了解参数 A,ω ,φ 对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题, 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. (对应学生用书第 54 页) [基础知识填充] 1.y=Asin (ω x+φ )的有关概念 y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0,x≥0),表示一个 振动量时 振幅 周期 频率 相位 ω x+ φ 初相 φ A T= 2π ω f= = T 2π 1 ω 2.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示 x φ - ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 π -φ ω π 0 3 π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π -φ ω 2π 0 ω x+φ y=Asin(ω x+φ ) A 3.由 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图像 图 3?4?1 [知识拓展] φ 1.由 y=sin ω x 到 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ >0)的变换:向左平移 个单位长度而非 ω φ 个单位长度. 2.函数 y=Asin(ω x+φ )的对称轴由 ω x+φ =kπ + =kπ ,k∈Z 确定其横坐标. π ,k∈Z 确定;对称中心由 ω x+φ 2 1 [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的单位长 度一致.( ) π (2)将 y=3sin 2x 的图像左移 个单位后所得图像的解析式是 y= 4 π? ? 3sin?2x+ ?.( 4? ? ) π ? π? ? π? (3)y = sin ?x- ? 的 图 像 是 由 y = sin ?x+ ? 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 得 到 4? 4? 2 ? ? 的.( ) (4)函数 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 T, 那么函数图像的两个相邻对称中心之 间的距离为 .( 2 T ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ ?1 π ? 2.(教材改编)y=2sin? x- ?的振幅,频率和初相分别为( 3? ?2 π A.2,4π , 3 C.2, C 1 π ,- 4π 3 1 π B.2, , 4π 3 π D.2,4π ,- 3 ) 1 ω 1 π [由题意知 A=2,f= = = ,初相为- .] T 2π 4π 3 ) ? π? 3.为了得到函数 y=sin?x+ ?的图像,只需把函数 y=sin x 的图像上所有的点( 3? ? π A.向左平行移动 个单位长度 3 π B.向右平行移动 个单位长度 3 π C.向上平行移动 个单位长度 3 π D.向下平行移动 个单位长度 3 A [把函数 y=sin x 的图像上所有的点向左平行移动 π 个单位长度就得到函数 y= 3 ? π? sin?x+ ?的图像.] 3? ? ? π? 4.用五点法作函数 y=sin?x- ?在一个周期内的图像时,主要确定的五个点是________、 6? ? 2 ________、________、________、________. ?π ,0?;?2π ,1?;?7π ,0?;?5π ,-1?;?13π ,0? [分别令 x-π =0,π ,π , ?6 ? ? 3 ? ? 6 ? ? 3 ? ? 6 ? 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 π ,2π ,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为 0,1,0,-1,0).] 2 5.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图像如图 3?4?2 所示,则 ω =________. 图 3?4?2 3 T 2π π π [由题图可知, = - = , 2 4 3 3 3 4π 2π 4π 3 即 T= ,所以 = ,故 ω = .] 3 ω 3 2 (对应学生用书第 55 页) 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及变 换 ?1 π ? 已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2 (1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像? 【导学号:79140116】 [解] (1)列表取值: x 1 π x- 2 4 π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0 f(x) 描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图. 3 π (2)先把 y=sin x 的图像向右平移 个单位,然后把所有点的横坐标扩大为原来的 4 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图像. [规律方法] 函数 y=A ω x+ φ ω x+φ A>0,ω > 的图像的作法 五点法:用 “五点法”作 y=A 的简图,主要是通过变量代换,令 z=ω x+φ ,由 z 取 π 3 0, , π ,π , 2π 来求出相应的 x, 通过列表得出五点坐标, 描点, 连线后得出图像 2 2 图像变换法: 由函数 y=sin x 的图像通过变换得到 y=A ω x+φ 的图像有两种途径: ? φ? “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”,对于后者可利用 ω x+φ =ω ?x+ ?确定平移单 ? ω? 位. 2π ? ? [跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin?2x+ ?,则下面 3 ? ? 结论正确的是( ) A.把

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