2019年高考数学一轮复习: 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 理 北师大版

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 [考纲传真] (教师用书独具)1.能根据给定直线、 圆的方程判断直线与圆的位置关系; 能根 据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 .3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. (对应学生用书第 136 页) [基础知识填充] 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系. d<r?相交;d=r?相切;d>r?相离. >0?相交; 判别式 ? ? (2)代数法: ― ― ― ― → ?=0?相切; 2 Δ =b -4ac? ?<0?相离. 2.圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1,r2,d=|O1O2|) 相离 图形 |r1-r2|<d <r1+r2 外切 相交 内切 内含 量的关系 [知识拓展] d>r1+r2 d=r1+r2 d=|r1- r2|(r1≠r2) d<|r1- r2|(r1≠r2) 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r . (2)过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点 P(x0, y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0 -b)(y-b)=r . (3)过圆 x +y =r 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x0x +y0y=r . 2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0 条;②内切:1 条;③相交:2 条; ④外切:3 条;⑤相离:4 条. (2)当两圆相交时, 两圆方程(x , y 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x +y =1 相交”的必要不充分条件. ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和,则两圆相交.( ) ) (4)若两圆相交, 则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直 线的方程.( 2 ) 2 2 2 (5)过圆 O:x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r .( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2 2 ) (5)√ ) 2.直线 x-y+1=0 与圆(x+1) +y =1 的位置关系是( A.相切 C.直线不过圆心,但与圆相交 B B.直线过圆心 D.相离 [依题意知圆心为(-1,0),到直线 x-y+1=0 的距离 d= 0 1 +(-1) 2 2 =0,所 以直线过圆心.] 3.(教材改编)圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( A.内切 C.外切 B B.相交 D.相离 [两圆圆心分别为(-2,0), (2,1), 半径分别为 2 和 3, 圆心距 d= 4 +1= 17. 2 2 2 2 2 ) ∵3-2<d<3+2,∴两圆相交.] 4.直线 3x+4y=b 与圆 x +y -2x-2y+1=0 相切,则 b 的值是( A.-2 或 12 C.-2 或-12 D B.2 或-12 D.2 或 12 2 2 ) |3×1+4×1-b| 2 2 [由圆 x +y -2x-2y+1=0,知圆心(1,1),半径为 1,所以 2 2 3 +4 =1,解得 b=2 或 12.] 5.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2) +(y+1) =4 截得的弦长为 __________. 2 55 [圆心为(2,-1),半径 r=2. 5 |2+2×(-1)-3| 3 5 圆心到直线的距离 d= = , 5 1+4 所以弦长为 2 r -d =2 2 2 2 2 ?3 5? 2 55 2 -? ? = 5 .] ? 5 ? 2 2 (对应学生用书第 137 页) 直线与圆的位置关系 (1)(2017·豫南九校联考)直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x +(y-1) =5 的位置 关系是( A.相交 C.相离 2 2 2 2 ) B.相切 D.不确定 (2)(2017·大连双基测试)圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是 ________. (1)A (2) - 3 < k < 3 [(1) 法一:∵圆心 (0,1) 到直线 l 的距离 d = |m| m2+1 <1< 5. 故直线 l 与圆相交. 法二:直线 l:mx-y+1-m=0 过定点(1,1),∵点(1,1)在圆 C:x +(y-1) =5 的内部,∴直线 l 与圆 C 相交. (2)法一:将直线方程代入圆方程,得(k +1)x +4kx+3=0,直线与圆没有公共点 的充要条件是 Δ =16k -12(k +1)<0,解得- 3<k< 3. 法二:圆心(0,0)到直线 y=kx+2 的距离 d= 条件是 d>1. 即 2 2 2 2 2 2 2 2 k2+1 ,直线与圆没有公共点的充要 k2+1 >1,解得- 3<k< 3.] [规律方法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 几何法:利用 d 与 r 的关系. 代数法:联立方程之后利用 Δ 判断. 点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. [跟踪训练] 圆(x-3) +(y-3) =9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点的个数为 ( A.1 C.3 C ) B.2 D.4 |9+12-11| [因为圆心到直线的距离为 =2, 又

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