高中数学知识点总结-新课标原创


高中数学 必胜秘诀

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素, 及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 如:集合A ? ? x | y ? lg x?,B ? ? y | y ? lg x?, C ? ?( x, y ) | y ? lg x?,A、B、C 中元素各表示什么? A 表示函数 y=lgx 的定义域, B 表示的 是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊 情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A ? x| x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?
若B ? A,则实数a的值构成的集合为 1? ? (答: ??1, 0, ?) 3? ?
显然,这里很容易解出 A={-1,3}.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是-1 或者 3。根据条件,可以得到 a=-1,a=1/3. 但是, 这里千 万小心, 还有一个 B 为空集的情况, 也就是 a=0,不要把它搞忘记了。

?

?

()集合 1 ?a1,a2,……,an ? 的所有子集个
数是 2 要知道它的来历:若 B 为 A 的子集,则 对于元素 a1 来说, 有 2 种选择 (在或者不在) 。 同样,对于元素 a2, a3,……an,都有 2 种选择, 所以,总共有 2 种选择, 即集合 A 有 2 个 子集。 当然,我们也要注意到,这 2 种情况之 中, 包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情 况,故真子集个数为 2 ? 1 ,非空真子集个数
n n n n n

3. 注意下列性质:

为2 ?2
n

( 2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A ? A ? B; ②A∪B=B ? A ? B; ③A ? B ? C uA ? C uB; ④A∩CuB = ? ? CuA ? B; ⑤CuA∪B=I ? A ? B。
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(3)德摩根定律:

CU ? A CU ? A

?C A? ?C B ?, B ? ? ?C A? ?C B ?
B? ?
U U U U

有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂

A B ? A B, A B ? A B

(4)交、并集运算的性质 ①A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A; ②A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB, Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

ax ? 5 如:已知关于x的不等式 2 ? 0的解集为M,若3 ?M且5 ?M,求实数a x ?a
的取值范围。

a· 3 ? 5 (∵ 3 ? M,∴ 2 ?0 3 ?a a·5 ? 5 ∵5 ? M,∴ 2 ?0 5 ?a

5? ? ? a ? ?1, ? ??9, 25? ) 3? ?

注意,有时候由集合本身就可以得到 大量信息,做题时不要错过; 如告诉 你函数 f(x)=ax +bx+c(a>0) 在 (??,1)
2

上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 就应该马上知道函数对称轴是 x=1.

5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有 “或”(?),“且” (?)和“非” (?).
若p ? q为真,当且仅当 p、q均为真
若p ? q为真,当且仅当 p、q至少有一个为真

若?p为真,当且仅当 p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假; 逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质(高考经常考) A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} , 若 若 若 若 ;则 p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____ B ; ;则 p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____ B ;

;则 p 是 q 的充要条件 ? A _____ B ; ;则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ? ____ ;

7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性, 哪几种对 应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 注意映射个数的求法。 如集合 A 中有 m 个元素, 集 m 合 B 中有 n 个元素,则从 A 到 B 的映射个数有 n 个。 如: 若 A ? {1,2,3,4} ,B ? {a, b, c} ; 问: A 到 B 的 映射有 个, B 到 A 的映射有 个; A 到 B 的 函数有 个,若 A ? {1,2,3} ,则 A 到 B 的一一映射 有 个。 函 数 y ? ? ( x) 的 图 象 与 直 线 x ? a 交 点 的 个 数 为 个。

8. 函数的三要素是什么?如何比较两 个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定 义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y ?

x?4 ? x? lg? x ? 3?
2

的定义域是

(答:?0, 2? ??2 , 3? ??3, 4?)

函数定义域求法: ? 分式中的分母不为零; ? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ? 指数式的底数大于零且不等于一; ? 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ? 正切函数

y ? tan x
? ?

? ? ? ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

余切函数 y ? cot x 反三角函数的定义域

?x ? R, 且x ? k? , k ? ? ?

10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f (x)的定义域是 a,b ,b ? ?a ? 0,则函数F(x) ? f (x) ? f (?x)的定
义域是_____________。

? ?

(答: a, ? a )

?

?

复 合 函 数 定 义 域 的 求 法 : 已 知 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 ?m, n? , 求

y ? f ?g ( x)? 的定义域,可由 m ? g ( x) ? n 解出 x 的范围,即为 y ? f ?g ( x)? 的定义域。



?1 ? 若 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 ? ,2? , 则 ?2 ?


f (log 2 x) 的定义域为

?1 ? 分析:由函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? 可知: ?2 ? 1 1 ? x ? 2 ;所以 y ? f (log 2 x) 中有 ? log 2 x ? 2 。 2 2 1 解:依题意知: ? log 2 x ? 2 2 解之,得 2?x?4 ∴ f (log 2 x) 的定义域为 x | 2 ? x ? 4

?

?

11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

1 例 求函数 y= 的值域 x
2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x -2x+5,x ? [-1,2]的值域。
2

3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有 一个是二次)都可通用,但这类题型有时也 可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别 式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大 家能够看懂

b 型:直接用不等式性质 a. y ? 2 k+x bx 型,先化简,再用均值不等式 b. y ? 2 x ? mx ? n x 1 1 例:y ? ? ? 2 1 2 1+x x+ x x2 ? m ?x ? n ? c.. y ? 2 型 通常用判别式 x ? mx ? n x2 ? mx ? n d. y ? 型 x?n 法一:用判别式 法二:用换元法,把分母替换掉
2 x2 ? x ? 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 例:y ? ? ? (x+1) ? ?1 ? 2 ?1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1

4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其 原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x ? 4 例 求函数 y= 值域。 5x ? 6

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数 的有界性, 来确定函数的值域。 我们所说的单调 性,最常用的就是三角函数的单调性。

e ?1 2sin ? ? 1 例 求 函 数 y= x , y? , 1 ? sin ? e ?1
x

2sin ? ? 1 y? 的值域。 1 ? cos ?

ex ? 1 1? y x y? x ?e ? ?0 1? y e ?1 2 sin ? ? 1 1? y y? ?| sin ? |?| |? 1, 1 ? sin ? 2? y 2 sin ? ? 1 y? ? 2 sin ? ? 1 ? y (1 ? cos ? ) 1 ? cos ? 2 sin ? ? y cos ? ? 1 ? y 4 ? y sin(? ? x) ? 1 ? y, 即sin(? ? x) ?
2

1? y 4 ? y2

又由 sin(? ? x) ? 1知

1? y 4 ? y2

?1

解不等式,求出y,就是要求的答案

6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考 考的较多的一个内容 例求函数 y=

2

x ?5

? log

3

x ?1

(2≤x≤10)的值域

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题 型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要 方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例 求函数 y=x+ x ? 1 的值域。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距 离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏 心悦目。 2 2 例:已知点 P(x.y)在圆 x +y =1 上,
y 的取值范围 (1) x?2 (2)y-2x的取值范围 y 解:(1)令 ? k , 则y ? k ( x ? 2), 是一条过(-2,0)的直线. x?2 d ? R(d 为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x ? b,即y ? 2 x ? b ? 0, 也是直线d d ? R

例求函数 y=

( x ? 2)

2

+

( x ?8)

2

的值域。

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) ,B(-8)间 的距离之和。 由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞)

例求函数 y=

x

2

? 6 x ? 13 +

x
2

2

? 4 x ? 5 的值域

解:原函数可变形为: y=

( x ? 3)

2

?

(0 ? 2 )

2

+

( x ? 2)

?

( 0 ? 1)

2

上式可看成 x 轴上的点 P (x, 0) 到两定点 A (3, 2) , B (-2 , -1 )的距离之和, 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min =∣AB∣=

(3? 2) ? (2?1)
2

2

= 43 ,

故所求函数的值域为[ 43 ,+∞) 。

例求函数 y= y=

x
2

2

? 6 x ? 13 2

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2

解:将函数变形为:

( x ? 3)

?

(0 ? 2 )

-

( x ? 2)

?

( 0 ? 1)

2

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0 )的距离与定点 B(-2, 1)到点 P(x,0)的距离之差。即:y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知: (1) 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时, 如点 P?,则构成△ABP?,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP?∣-∣BP?∣∣<∣AB∣= ( 3 ? 2 ) 2 ? ( 2 ? 1) 2 = 26 即:- 26 <y< 26 ( 2 ) 当 点 P 恰 好 为 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 时 , 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 26 。 综上所述,可知函数的值域为: (- 26 ,- 26 ) 。

注:求两距离之和时,要将函数 式变形,使 A,B 两点在 x 轴的 两侧,而求两距离之差时,则要 使两点 A,B 在 x 轴的同侧。

9 、不等式法 利用基本不等式 a+b≥2 ab , a+b+c≥3 3 abc(a, b ,c∈ R ? ) ,求函数的最值,其题型特征解析式是

和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值, 不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例:
2 x ? ( x ? 0) x 1 1 1 1 2 2 =x ? ? ? 3 3 x ? ? ? 3 x x x x
2

(应用公式a+b+c ? 3 3 abc时,注意使3者的乘积变成常数)

倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会 发现另一番境况 例

x?2 求函数 y= 的值域 x?3

x?2 y? x?3 x ? 2 ? 0时, 1 x ? 2 ?1 ? ? y x?2 x ? 2 ? 0时,y =0 1 ?0 ? y ? 2

x?2?

1 ?2?0? y? 2 x?2

1

多种方法综合运用 总之, 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征,然 后再选择恰当的方法,一般优先考虑直 接法,函数单调性法和基本不等式法, 然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函 数的定义域了吗? 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件, 如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯错误,与到手 的满分失之交臂

如:f

?
2

x ? 1 ? e x ? x,求f ( x).

?

令t ? x ? 1,则t ? 0 ∴x ? t ? 1 ∴ f ( t ) ? e ∴f ( x ) ? e
x 2 ?1
t 2 ?1

? t ?1
2

? x 2 ? 1 ? x ? 0?

13. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

? ?1 ? x 如:求函数 f ( x) ? ? 2 ? ?? x

?x ? 0? 的反函数 ?x ? 0?

x ? 1 x ? 1 ? ? ? ? ?1 (答:f ( x) ? ? ) ? ?? ? x ? x ? 0?

在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出 现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。 请看这个例题: (2004. 全 国理 ) 函 数 y ? 反函数是( B )

x ? 1 ? 1( x ? 1) 的

A.y=x2-2x+2(x<1) B.y=x -2x+2(x≥1) C.y=x2-2x D.y=x2-2x (x<1) (x≥1)
2

当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算, 我想, 一番心血之后, 如果不出现计算问题的话, 答案还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口, 因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一 下我的思路: 原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为 y>=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为 y>=1,则反函数定义域为 x>=1, 答案为 B. 我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来 写*书) 。思路能不能明白呢?

14. 反函数的性质有哪些? 反函数性质: 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x 对应原函数中 的 y) 2、 反函数的值域是原函数的定义域 (可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x) 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关 于直线 y=x 对称 ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y ? f(x)的定义域为A,值域为C,a ?A,b ?C,则f(a) = b ? f ?1(b) ? a ? f ?1? f (a )? ? f ?1 ( b) ? a,f f ?1 (b) ? f (a ) ? b

?

?

由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的 题目,如 ( 04. 上 海 春 季 高 考 ) 已 知 函 数

4 f ( x) ? log 3 ( ? 2 ) , 则 方 程 f ?1 ( x) ? 4 的 解 x x ? __________.1 对于这一类题目,其实方法特别简单,呵呵。 已知反函数的 y,不就是原函数的 x 吗?那代进 去阿,答案是不是已经出来了呢?(也可能是 告诉你反函数的 x 值, 那方法也一样, 呵呵。 自 己想想,不懂再问我

15 . 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义, 设任意得 x1,x2, 找出 f(x1),f(x2) 之间的大小关系

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 可以变形为求 的正负号或者 x1 ? x2 f ( x1 ) 与 1 的关系 f ( x2 )

(2)参照图象: ①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函 数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同 的单调性; (特例:奇函数) ②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称,则 函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有 相反的单调性。 (特例:偶函数)

(3)利用单调函数的性质: ①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向 变化的;当 c<0 时,它们是反向变化的。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x) 和它们同向变化; (函数相加) ④如果正值函数 f1(x), f2(x)同向变化, 则函数 f1(x)f2(x) 和它们同向变化;如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化, 则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化; (函数相乘) ⑤函数 f(x)与
1 f ( x)

在 f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数 u =φ(x),x[α,β]与函数 y = F(u) , u∈[φ(α) , φ(β)] 或 u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β] 上复合函数 y=F[φ(x)]是递增的;若函数 u = φ(x),x[α , β] 与 函 数 y = F(u) , u∈[φ(α), φ(β)]或 u∈[φ(β), φ(α)] 反向变化,则在[α,β] 上复合函数 y = F[φ(x)]是递减的。 (同增异减)

⑦若函数 y=f(x)是严格单调的,则其反函数 x=f (y)也是严格 单调的,而且,它们的增减性相同。

-1

f(g) 增 增 减 减

g(x) 增 减 增 减

f[g(x)] 增 减 减 增

f(x)+g(x) 增 / / 减

f(x)*g(x) 都是正数 增 / / 减

如:求y ? log 1 ? x ? 2x 的单调区间
2 2

?

?

(设u ? ? x 2 ? 2 x,由u ? 0则 0 ? x ? 2

16. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间?a,b?内,若总有f '(x) ? 0则f (x)为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '(x) ? 0呢?

如 : 已 知 a ?0, 函 数 f(x) ? x3 ?ax在 a 最 大 ?1,???上是单调增函数,则的
值是( A. 0 ) B. 1
2

C. 2

D. 3

? a ?? a? (令f ' ( x) ? 3x ? a ? 3? x ? ?? x ? ? ?0 3?? 3? ? a 则x ? ? 或x ? 3 a 3

a 由已知f ( x) 在[1, ? ?) 上为增函数,则 ? 1,即a ? 3 3
∴a 的最大值为 3)

17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f ( ? x) ? ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称

注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函 数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

( 2 )若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。

a· 2 x ? a ? 2 如:若f ( x) ? 为奇函数,则实数a ? x 2 ?1
(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又 0 ? R,∴f (0) ? 0

a· 2 0 ? a ? 2 即 ? 0,∴a ? 1) 0 2 ?1

2x 又如:f ( x) 为定义在( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ? x , 4 ?1

求f ( x) 在??1,1?上的解析式。
2 ?x ( 令 x ? ? ? 1 , 0 ? , 则 ? x ? ?0 , 1 ? , f ( ? x ) ? ? x 4 ?1
又 f (x)为 奇 函 数 , ∴ f (x) ? ? 2 4
?x ?x

2x ? ? ?1 1? 4

x

? 2x ?? x ? 4 ? 1 又 f (0) ? 0 , ∴ f (x ) ? ? x ? 2 ? ?4x ? 1

x ? ( ? 1, 0) x ? 0 x ? ?0 , 1 ?



判断函数奇偶性的方法 一、定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必 关于原点对称,它是函数为奇(偶)函 数的必要条件 . 若函数的定义域不关于 原点对称,则函数为非奇非偶函数.

二.奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算

f (? x) ,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) ?1 f(-x) f(x) ? ?1 f(-x) 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数

三.复合函数奇偶性

f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶

f[g(x)] 奇 偶 偶 偶

f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶

f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

18. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f? x ? T? ? f (x),则f (x)为周期
函数,T 是一个周期。 )

如:若f ? x ? a ? ? ? f ( x) ,则 (答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期)

我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来, 这时说这个函数周期 2t. 推导:

f (x) ? f (x ? t) ? 0 ? ? ?? f ( x) ? f ( x ? 2t ) f ( x ? t ) ? f ( x ? 2t ) ? 0 ?
同 时 可 能 也 会 遇 到 这 种 样 子 : f(x)=f(2a-x), 或 者 说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数 f(x)关于直 线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得 到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关 于直线 x=a 对称。

又如:若f ( x)图象有两条对称轴x ? a,x ? b 即f ( a ? x) ? f (a ? x ),f (b ? x) ? f (b ? x) ? f ( x) ? f (2a ? x) ? ?? ? ? ?? f (2a ? x) ? f (2b ? x) ? f ( x) ? f (2b ? x) ? 令t ? 2a ? x, 则2b ? x ? t ? 2b ? 2a, f (t ) ? f (t ? 2b ? 2a ) 即f ( x) ? f ( x ? 2b ? 2a) 所以,函数f ( x)以2 | b ? a | 为周期(因不知道a, b的大小关系, 为保守起见,我加了一个绝对值

19. 你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x) 与f ( ? x) 的图象关于 y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y) f ( x) 与 ? f ( x) 的图象关于 x轴 对称
联想点(x,y),(x,-y) 联想点(x,y),(-x,-y) 联想点(x,y),(y,x)

f ( x) 与 ? f ( ? x) 的图象关于 原点 对称

f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称

f ( x) 与f (2a ? x) 的图象关于 直线x ? a 对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图象关于 点 (a, 0) 对称
联想点(x,y),(2a-x,0)

左移a (a ?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) 将y ? f ( x) 图象 ? ??????? ?? 右移a (a ?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) ? b ? ??????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) ? b

(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大 家接触最多,我还是写出来吧。对于这种题目,其实根 本不用这么麻烦。 你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x) 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和 原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 ) 注意如下“翻折”变换:

f ( x) ?? ? | f ( x) | 把x轴下方的图像翻到上面 f ( x) ?? ? f (| x |)把y轴右方的图像翻到上面

如:f ( x) ? log 2 ? x ? 1?
作出y ? log 2 ? x ? 1? 及y ? log 2 x ? 1 的图象
y y=log2x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(k<0)

y

(k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?
(k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点)

k k (2) 反 比 例 函 数 : y ? ?k ? 0?推 广 为 y ? b? ?k ? 0?是中心O'(a,b) x x ?a
的双曲线。

b? 4ac ? b 2 ? 2 ( 3)二次函数y ? ax ? bx ? c ?a ? 0? ? a ? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a

2

? b 4 ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a 2a ? 2a ?

开口方向:a ? 0,向上,函数y min
a ? 0, 向 下 , y
?b ? 2a

4ac ? b 2 ? 4a
2

m ax

4ac ? b ? 4a

根 的 关 系 : x ? x1 ? x 2 ? ?

b c , x1 ? x 2 ? , | x1 ? x 2 |? a a |a |

二次函数的几种表达形式: f ( x) ? ax ? bx ? c(一般式)
2

f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n(顶点式,(m,n)为顶点 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( x1 , x2是方程的2个根) f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? h(函数经过点(x1 , h)( x2 , h)

应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系 ——二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x2 为二次函数y ? ax2 ? bx ? c的图象与x轴
的两个交点,也是二次不等式ax ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
2

②求闭区间[m,n]上的最值。

b 区间在对称轴左边(n ? ? ) f max ? f (m), f min ? f (n) 2a b 区间在对称轴右边(m ? ? ) f max ? f (n), f min ? f (m) 2a b 区间在对称轴2边 (n ? ? ? m) 2a 4ac ? b 2 f min ? , f max ? max( f (m), f (n)) 4a 也可以比较m, n和对称轴的关系, 距离越远,值越大 (只讨论a ? 0的情况)

③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?? ? 0 ? ? b 2 如:二次方程ax ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k ? 2a ? ?f ( k ) ? 0

一根大于k,一根小于k ? f ( k ) ? 0
?? ? 0 ? b ? m ? ? ?n ? 在 区 间 ( m , n) 内 有 2根 ? ? 2a ? f (m ) ? 0 ? ? ? f (n) ? 0 在 区 间 ( m , n) 内 有 1根 ? f (m ) f (n) ? 0

( 4 )指数函数:y ? a

x

?a ? 0,a ? 1?

(5)对数函数y ? log a x?a ? 0,a ? 1?
由图象记性质!
y (0<a<1) 1 O 1 x y=a x(a>1) y=log ax(a>1)

(注意底数的限定! )

(0<a<1)

k ( 6)“对勾函数” y ? x ? ? k ? 0? x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的 区别是什么?(均值不等式一定要注意等号成立的条件) y

? k
O

k

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a ? 1 (a ? 0) ,a
0

?p

1 ? p (a ? 0) a
(a ? 0)

a

m n

? a
n

m

(a ? 0) ,a

?

m n

?

1
n

a

m

对数运算: log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ? M ? 0,N ? 0 ?

log a

M 1 ? log a M ? log a N, log a n M ? log a M N n

对数恒等式:a log a x ? x
log c b n n 对数换底公式: log a b ? ? log a m b ? log a b log c a m log a x ? 1 log x a

21. 如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法)

如:(1)x ? R,f (x)满足f (x ? y) ? f (x) ? f (y),证明f (x)为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ? x,……) ( 2 )x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。 (先令x ? y ? ? t ? f ?( ? t )( ? t )? ? f ( t·t ) ∴f ( ? t ) ? f ( ? t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f ( ? t ) ? f ( t ) ……)

( 3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ? x 2 ? x 1 ? ? x 2 ? ……

?

?

(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可 以直接用死记了 1、 代 y=x, 2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 3、 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 2. 幂函数型的抽象函数

x f ( x) f(x)=x ----------------f(xy)= f(x)f(y) ;f( )= y f ( y)
a

3. 指数函数型的抽象函数

f ( x) f(x)=a ------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x-y)= f ( y)
x

4。对数函数型的抽象函数

x f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;f( ) y
= f(x)-f(y) 5。三角函数型的抽象函数

f ( x) ? f ( y ) f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)= 1 ? f ( x) f ( y ) f ( x) f ( y ) ? 1 f(x)=cotx------------------------ f(x+y)= f ( x) ? f ( y )

江苏省大丰高级中学 陈彩余


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