江苏省南京市、盐城市2013届高三数学一模试题(含解析)苏教版

2013 年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1. 分) (5 (2013?盐城一模)已知集合 U={﹣1,0,1,2},A={﹣1,1},则?UA= {0,2} . 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 直接利用补集的概念进行运算. 解答: 解:由 U={﹣1,0,1,2},A={﹣1,1}, 所以?UA={0,2}. 故答案为{0,2}. 点评: 本题考查了补集的概念及运算,是基础的会考题型. 2. 分) (5 (2013?盐城一模)复数(1﹣2i) 的共轭复数是 ﹣3+4i . 考点: 复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 先利用两个复数代数形式的乘法法则求得 z,再根据共轭复数的定义求得它的共轭复 数. 2 2 2 解答: 解:∵复数(1﹣2i) =1﹣4i+4i =﹣3﹣4i,故复数(1﹣2i) 的共轭复数是﹣3+4i, 故答案为﹣3+4i. 点评: 本题主要考查复数的基本概念, 两个复数代数形式的乘法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题. 3. 分) (5 (2013?盐城一模)已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8,9,10,10,8, 2 则该组数据的方差 s =0.8 . 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: 先计算数据的平均数,然后利用方差公式直接计算即可. 解答: 解:8,9,10,10,8 的平均分为 9 ∴该组数据的方差 s = [(8﹣9) + (9﹣9) +(10﹣9) +(10﹣9) + (8﹣9) ]= =0.8 故答案为:0.8 点评: 本题主要考查了方差公式,解题的关键是正确运用方差公式,同时考查了计算能力, 属于基础题. 4. 分) (5 (2013?盐城一模)袋中装有 2 个红球,2 个白球,除颜色外其余均相同,现从中 任意摸出 2 个小球,则摸出的两球颜色不同的概率为 .
2 2 2 2 2 2 2

1

考点: 排列、组合及简单计数问题;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数, 让两个球颜色不相同的情 况数除以总情况数即为所求的概率. 解答: 解:从袋中任意地同时摸出两个球共 种情况,其中有 C C 种情况是两个球颜 色不相同; 故其概率是 = = .

故答案为: . 点评: 此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中 事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= .

5. 5 分) 2013?盐城一模) ( ( 在等差数列{an}中, a3+a5+a7=9, 若 则其前 9 项和 S9 的值为 27 . 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由条件可得 3a5 =9,由此可得 a5 的值,再根据前 9 项和 S9= 果. 解答: 解:在等差数列{an}中,若 a3+a5+a7=9,故有 3a5 =9,a5 =3. 则其前 9 项和 S9= =9a5 =27, =9a5 求得结

故答案为 27. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质, 等差数列的前 n 项和公式的应用, 属于中档题.

6. 分) (5 (2013?盐城一模)设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+3y

的最大值为 26 . 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域, 得如图的△ABC 及其内部, 再将目标函数 z=2x+3y 对应的直线进行平移,可得当 x=4,y=6 时,z=2x+3y 取得最大值 26.

2

解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部, 其中 A(2,0) ,B(4,6) ,C(0,2) 为坐标原点 ,O 设 z=F(x,y)=2x+3y,将直线 l:z=2x+3y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(4,6)=26 故答案为:26

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=2x+3y 的最大值,着重考查了二元一次不 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 7. 5 分) 2013?盐城一模) ( ( 如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 3 .

考点: 伪代码. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,可知当 s<15 时,用 s+n 的值代替 s 得到新的 s 值,并且用 n﹣1 代替 n 值得到新的 n 值,直到条件不能满足 时结束循环体并输出最后的值,由此即可得到本题答案. 解答: 解:根据题中的程序框图,可得 该程序经过第一次循环,因为 s=0<15,所以得到新的 S=0+6=6,n=5; 然后经过第二次循环,因为 s=6<15,所以得到新的 S=6+5=11,n=4; 然后经过第三次循环,因为 s=11<15,所以得到新的 S=11+4=15,n=3; 接下来判断:因为 s=15,不满足 s<15,所以结束循环体并输出最后的 n, 综上所述,可得最后输出的结果是 3 故答案为:3 点评: 本题给出程序框图,求最后输出的 n 值,属于基础题.解题的关键是先根据已知条件
3

判断程序的功能,构造出相应的数学模型再求解,从而使问题得以解决. )的图象向左平移 ? (? >0)个单位 .

8. 分) (5 (2013?盐城一模)将函数 y=sin(2x﹣

后,所得到的图象对应的函数为奇函数,则 ? 的最小值为

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;正弦函数的奇偶性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin ω x+φ ) ( 的图象变换规律, 变换后所得函数的解析式为 y=sin 2x+2? ( ﹣ ],再由它是奇函数,可得 =kπ ,k∈z,由此求得 ? 的最小值. )的图象向左平移 ? (? >0)个单位后, ]=sin(2x+2? ﹣ ], ,

2? ﹣

解答: 解:将函数 y=sin(2x﹣

所得到的图象对应的函数解析式为 y=sin[2(x+? )﹣ 再由 y=sin (2x+2? ﹣ 故答案为 . ]为奇函数, 可得 2? ﹣

=kπ , k∈z, ? 的最小值为 则

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的奇偶性,属于中档 题. 9. 分) (5 (2013?盐城一模)现有如下命题: ①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直; ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; ③如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行; ④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一 个平面内. 则所有真命题的序号是 ①③④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 证明题. 分析: ①过平面外一点可作唯一一条直线与该平面垂直; ②过平面外一点有无数条直线与该 平面平行;③由平面与平面平行的性质定理可得;④由平面与平面垂直的性质定理可 得. 解答: 解:①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直,正确; ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行,错误,应该是有无数条直线与该平 面平行; ③如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行,正确,由平面与 平面平行的性质定理可得; ④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必
4

在第一个平面内,正确, 由平面与平面垂直的性质定理可得. 故答案为:①③④ 点评: 本题考查命题真假的判断,涉及空间中的线面的位置关系,属基础题.

10. 分) (5 (2013?盐城一模)在△ABC 中,若 9cos2A﹣4cos2B=5,则

的值为



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件 9cos2A﹣4cos2B=5 利用二倍角公式求得 = ,从而得到答案.

= ,再由正弦定理可得

解答: 解:在△ABC 中,∵9cos2A﹣4cos2B=5,∴9(1﹣2sin A )﹣4(1﹣2sin B)=5, 化简可得 9sin A=4sin B,故有 由正弦定理可得 故答案为 . = = ,
2 2

2

2

= .

点评: 本题主要考查二倍角公式、正弦定理的应用,属于中档题.

11. 分) (5 (2013?盐城一模)如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2, 若 = ,则 = 0 .



=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,因此可取 BC 的中点 O 作为坐标原点距离平面直角 坐标系.利用向量的坐标运算解决共线与数量积即可得出答案. 解答: 解:∵在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,∴可取 BC 的中点 O 作为坐标原点距离平面 直角坐标系. 则 B(﹣1,0) ,C(1,0) , 设 A(0,a) (a>0) .∵ ,∴D .

5

∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴

= = ,∴



=(1,﹣a) . ,解得 .

. ,∴ = . = = =0. , = .

故答案为 0.

点评: 熟练掌握通过建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标运算解决共线和数量积是解题的 关键.

12. 分) (5 (2013?盐城一模)已知 F1、F2 分别是椭圆

的左、右焦点,点 P 是椭圆

上的任意一点,则

的取值范围是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的性质:当|PF |=a+c=
2



时,即

取得最大值,即可得出. 解答: 解:∵椭圆 ,∴a= ,b=2=c.

6

设 k=

=



则当|PF1|=|PF2|时,k 取得最小值 0; 当|PF2|=a+c= , 时, 即 时,

k= 取得最大值. ∴k 的取值范围是 . 故答案为 . 点评: 熟练掌握椭圆的性质:当|PF |=a+c=
2



时,则

取得最大值是解题的关键.

13. 分) (5 (2013?盐城一模)已知向量 a=( (ω >0) ,函数 (1)求 ω 值; (2)若 (3)若 时,

sinω x,cosω x) ,b=(cosω x,﹣cosω x) , .

的图象的两相邻对称轴间的距离为

,求 cos4x 的值;

,x∈(0,π ) ,且 f(x)=m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值.

考 三角函数的周期性及其求法;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数;两角和 点:与差的正弦函数. 专 计算题. 题: 分 (1)先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理,然后利用两相邻对称轴 析:间的距离求得函数的周期,进而根据周期公式求得 ω . (2)根据(1)中整理函数解析式,依据 cos(4x﹣ 案. (3)根据 和余弦函数的单调性求得 x 的范围,令 g(x)=m,则可作出,f(x) )的值,进而根据 和同角三角函数的基本关系求得 利用两角和公式求得答

和 g(x)的图象,利用数形结合的方法求得 m 的值. 解 解:由题意, 答: =

7

=

= ,



(1)∵两相邻对称轴间的距离为 ∴ ,

∴ω =2. (2)由(1)得, ∵ ∴ ∴ ∴ , = , ,



= π )上是减函数, ∴ 令 数的图象, 可知 m=1 或 m=﹣ . , =

=

. (3)∵

,且余弦函数在(0,

,g(x)=m,在同一直角坐标系中作出两个函

点 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法, 两角和公式的化简求值, 正弦函数和余弦 评:函数的单调性.考查了三角函数基础知识的综合运用.

14. 分) (5 (2013?盐城一模)已知函数 f(x)=

,若关

于 x 的方程 f(x)=kx(k>0)有且仅有四个根,其最大根为 t,则函数 g(t)= 的值域为 [﹣ ,﹣1) .

﹣6t+7

考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 同一坐标系内作出函数 y=f(x)的图象和直线 y=kx,因为两图象有且仅有四个公共 点,得出最大根 t 的取值范围.再利用二次函数的性质,即可得到函数 g(t)=

8

﹣6t+7 的值域. 解答: 解:作出函数 f(x)=

,当 0≤x<4 时的图象,如

右图中红色的三个半圆. 将直线 y=kx 围绕坐标原点进行旋转,可得当直线介于与第二个半圆相切和与第三个 半圆相切之间时,两图象有且仅有四个不同的公共点, 此时,其最大根 t∈( , 则函数 g(t)= 故答案为:[﹣ ) , )的值域为[﹣ ,﹣1) .

﹣6t+7,t∈( , ,﹣1) .

点评: 本题以分段函数为例,求方程的最大根,并且用这个根来求值域,着重考查了函数与 方程的关系,以及数形结合思想,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (14 分) (2013?盐城一模)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥BC,D 为棱 CC1 上任一点. (1)求证:直线 A1B1∥平面 ABD; (2)求证:平面 ABD⊥平面 BCC1B1.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据直棱柱的性质判定线线平行,再由线线平行证线面平行即可;
9

(2)先由线线垂直证线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直即可. 解答: 证明: (1)由直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,得 A1B1∥AB, 又 EF?平面 ABD,AB? 平面 ABD, ∴EF∥平面 ABD. (2)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,∴AB⊥BB1,AB⊥BC, ∴AB⊥平面 BCC1B1, 又∵AB? 平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BCC1B1.

点评: 本题考查面面垂直及线面平行的判定. 16. (14 分) (2013?盐城一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 cos(A+ )=sinA,求 A 的值;

(2)若 cosA= ,4b=c,求 sinB 的值.

考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)在△ABC 中,由 cos(A+ )=sinA,求得 tanA= (2)若 cosA= ,4b=c,由余弦定理可得 a=

,从而得到 A 的值.

b,利用同角三角函数的基本关系求

得 sinA 的值,再由正弦定理求得 sinB 的值. 解答: 解: (1)在△ABC 中,若 cos(A+ )=sinA,则有 cosAcos 化简可得 cosA= sinA,显然,cosA≠0,故 tanA=
2 2 2

﹣sinAsin .

=sinA,

,所以 A=

(2)若 cosA= ,4b=c,由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA,解得 a= 由于 sinA= = ,再由正弦定理可得

b.

,解得 sinB= .

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,同角三角函数的基本关系、正弦定理 和余弦定理的应用,属于中档题. 17. (14 分) (2013?盐城一模)近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元,为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费 (单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 0.5.为了
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保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业 每年消耗的电费 C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位:平方米)之 间的函数关系是 C(x)= (x≥0,k 为常数) .记 F 为该村安装这种太阳能供电设

备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和. (1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时,F 取得最小值?最小值是多少万元? 考点: 函数最值的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用,依题意, C(0)= =24,可求得 k,从而得到 F 关于 x 的函数关系式;

(2)利用基本不等式即可求得 F 取得的最小值及 F 取得最小值时 x 的值. 解答: (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用, 解: 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费?(2 分) 由 C(0)= 所以 F=15× (2)因为 当且仅当 =24,得 k=2400 ?(3 分) +0.5x= +0.5x,x≥0?(7 分) ﹣2.5=57.5,?(10 分)

+0.5(x+5)﹣2.5≥2

=0.5(x+5) ,即 x=55 时取等号 ?(13 分)

所以当 x 为 55 平方米时,F 取得最小值为 57.5 万元?(14 分) 点评: 本题考查函数最值的应用,着重考查分析与理解能力,考查基本不等式的应用,属于 难题.

18. (16 分) (2013?盐城一模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

=1

(a>b>0)经过点 M(3



) ,椭圆的离心率 e=

,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦

点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A、B. ①若直线 MA 过坐标原点 O,试求△MAF2 外接圆的方程; ②若∠AMB 的平分线与 y 轴平行,试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是,请给予证明; 若不是,请说明理由.

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考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的离心率化简方程,根据椭圆过点 M(3 , ) ,即可求椭圆 C 的方 程; (2) ①求得 MA 的中垂线方程、 2 的中垂线方程, MF 从而可得圆心与半径, 即可求△MAF2 外接圆的方程; ②直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合斜率公式,即可得到结论. 解答: 2 2 解: (1)由椭圆的离心率 e= ,可得 a =9b ,故椭圆方程为 ?(3 分) 又椭圆过点 M(3 , ) ,则 ,解得 b =4,
2

所以椭圆的方程为

?(5 分)

(2)①记△MAF2 的外接圆的圆心为 T. 因为 又由 M(3 而 ,所以 MA 的中垂线方程为 y=﹣3x, , ) 2( ,F ,0) ,得 MF1 的中点为 ,

=﹣1, , ) ?(8 分)

所以 MF2 的中垂线方程为 由 ,得 T(

所以圆 T 的半径为 故△MAF2 的外接圆的方程为

=

, ?(10 分)

(3)设直线 MA 的斜率为 k,A(x1,y1) ,B(x2,y2)(x2>x1) . 由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反数, ∴直线 MB 的斜率为﹣k. 联立直线 MA 与椭圆方程,可得(9k +1)x + ∴x1+x2=﹣ , ?(13 分)
2 2

x+162k ﹣108k﹣18=0

2

12





=

= 为定值?(16 分)

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查三角形的外接圆,考查直线与椭圆的位置关系,考查 学生的计算能力,属于中档题. 19. (16 分) (2013?盐城一模) 对于定义在区间 D 上的函数 f (x) 若任给 x0∈D, , 均有 f 0) (x ∈D,则称函数 f(x)在区间 D 上封闭. (1)试判断 f(x)=x﹣1 在区间[﹣2.1]上是否封闭,并说明理由; (1)若函数 g(x)=
3

在区间[3,10]上封闭,求实数 a 的取值范围;

(1)若函数 h(x)=x ﹣3x 在区间[a,b[(a,b∈Z)上封闭,求 a,b 的值. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 新定义. 分析: (1)由函数 f(x)=x﹣1 在区间[﹣2,1]上是增函数求出在[﹣2,1]上的值域,不 满足在区间上封闭的概念; (2)把给出的函数 g(x)= 变形为 3+ ,分 a=3,a>3,a<3 三种情况进

行讨论,利用函数在区间[3,10]上封闭列式求出 a 的取值范围; 3 (3)求出函数 h(x)=x ﹣3x 的导函数,得到三个不同的单调区间,然后对 a,b 的 取值分类进行求解. 解答: (1)f(x)=x﹣1 在区间[﹣2,1]上单调递增,所以 f(x)的值域为[﹣3,0] 解: 而[﹣3,0]?[﹣2,1],所以 f(x)在区间[﹣2,1]上不是封闭的; (2)因为 g(x)= =3+ ,

①当 a=3 时,函数 g(x)的值域为{3}? [3,10],适合题意. ②当 a>3 时,函数 g(x)=3+ , 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为

13



? [3,10],得

,解得 3≤a≤31,故 3<a≤31.

③当 a<3 时,在区间[3,10]上有

,显然不合题意.

综上所述,实数 a 的取值范围是 3≤a≤31; 3 ′ 2 (3)因为 h(x)=x ﹣3x,所以 h (x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) , ′ ′ 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,h (x)>0,当 x∈(﹣1,1)时,h (x)0. 所以 h(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,在(﹣1,1)上递减,在(1,+∞)上递 增. ①当 a<b≤﹣1 时,h(x)在区间[a,b]上递增,所以 ,



,解得﹣2≤a≤0 或 a≥2,b≤﹣2 或 0≤b≤2,又 a<b≤﹣1,此时

无解. ②当 a≤﹣1 且﹣1<b≤1 时,因 h(x)max=h(﹣1)=2>b,矛盾,不合题意 ③当 a≤﹣1 且 b>1 时,因为 h(﹣1)=2,h(1)=﹣2 都在函数的值域内,故 a≤﹣ 2,b≥2, 又 ,得 ,解得﹣2≤a≤0 或 a≥2,b≤﹣2 或 0≤b≤2,

从而 a=﹣2,b=2. ④当﹣1≤a<b≤1 时,h(x)在区间[a,b]上递减, ,即

(*) 而 a,b∈Z,经检验,满足﹣1≤a<b≤1 的整数组 a,b 均不合(*)式. ⑤当﹣1<a<1 且 b≥1 时,因 h(x)min=h(1)=﹣2<a,矛盾,不合题意. ⑥当 b>a≥1 时,h(x)在区间[a,b]上递增,所以 ,



,解得﹣2≤a≤0 或 a≥2,b≤﹣2 或 0≤b≤2,又 b>a≥1,此时无

解. 综上所述,所求整数 a,b 的值为 a=﹣2,b=2. 点评: 本题是新定义题,考查了利用导数求闭区间上的最值,考查了分类讨论得数学思想方 法,解答此题的关键是正确分类,因该题需要较细致的分类,对学生来说是有一定难 度的题目.

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20. (16 分) (2013?盐城一模)若数列{an}是首项为 6﹣12t,公差为 6 的等差数列;数列{bn} n 的前 n 项和为 Sn=3 ﹣t. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{bn}是等比数列,试证明:对于任意的 n(n∈N,n≥1) ,均存在正整数 Cn,使 得 bn+1=a ,并求数列{cn}的前 n 项和 Tn;

(3)设数列{dn}满足 dn=an?bn,且{dn}中不存在这样的项 dt,使得“dk<dk﹣1 与 dk<dk+1”同 * 时成立(其中 k≥2,k∈N ) ,试求实数 t 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的通项公式,可得 an=6n﹣12t;再由数列前 n 项和与第 n 项的关 系,即可算出{bn}的通项公式; n﹣1 (2)由{bn}是等比数列,结合(1)的通项公式可得 bn=2?3 ,算出出 t=1 从而得到 n﹣1 n﹣1 * an=6n﹣12t.通过变形整理,得到 bn+1=6(3 +2)﹣12,从而得到存在 cn=3 +2∈N , 使 =bn+1 成立,由等比数列求和公式即可算出{cn}的前 n 项和 Tn;

(3)根据(1)的结论,得

,由此进行作

差,得 dn+1﹣dn=8[n﹣(2t﹣ )]?3 (n≥2) .因此,分 t< 、2 m

n



(m∈N 且 m≥3)三种情况加以讨论,分别根据数列{dn}的单调性解

关于 t 的不等式,最后综合即可得到实数 t 的取值范围. 解答: (1)∵{an}是首项为 6﹣12t,公差为 6 的等差数列, 解: ∴an=(6﹣12t)+(n﹣1)×6=6n﹣12t?(2 分) n 而数列{bn}的前 n 项和为 Sn=3 ﹣t,所以 n n﹣1 n﹣1 当 n≥2 时,bn=(3 ﹣1)﹣(3 ﹣1)=2?3 , 又∵b1=S1=3﹣t, ∴ ?(4 分)
1﹣1

(2)∵数列{bn}是等比数列,∴b1=3﹣t=2?3 =2,解之得 t=1, n﹣1 因此,bn=2?3 ,且 an=6n﹣12 ?(5 分) n n﹣1 n﹣1 对任意的 n(n∈N,n≥1) ,由于 bn+1=2?3 =6?3 =6(3 +2)﹣12, 令 cn=3
n﹣1

+2∈N ,则

*

=6(3

n﹣1

+2)﹣12=bn+1,所以命题成立 ?(7 分)

数列数列{cn}的前 n 项和为:Tn=2n+

= ?3 +2n﹣

n

?(9 分)

(3)根据(1)的结论,得



15

由于当 n≥2 时,dn+1﹣dn=4(n+1﹣2t)?3 ﹣4(n﹣2t)?3 =8[n﹣(2t﹣ )]?3 , 因此,可得 ①若 2t﹣ <2,即 t< 时,则 dn+1﹣dn>0,可得 dn+1>dn, ∴当 n≥2 时,{dn}是递增数列,结合题意得 d1<d2, 即 6(3﹣t) (1﹣2t)≤36(2﹣2t) ,解之得 ②若 2 ,即 ≤t≤ ,?(13 分)

n+1

n

n

,则当 n≥3 时,{dn}是递增数列,
2 3

∴结合题意得 d2=d3,4(2t﹣2)×3 =4(2t﹣3)×3 ,解之得 t= (14 分) ③若 m (m∈N 且 m≥3) ,即 + ≤t≤ + (m∈N 且 m≥3) ,

则当 2≤n≤m 时,{dn}是递减数列,当 n≥m+1 时,{dn}是递增数列, 结合题意,得 dm=dm+1,即 4(2t﹣m)×3 =4(2t﹣m﹣1)×3 ,解之得 t= 分) 综上所述,t 的取值范围是 ≤t≤ 或 t= (m∈N 且 m≥2)?
m m+1

?(15

(16 分) 点评: 本题给出成等差数列和成等比数列的两个数列, 求它们的通项公式并找出由它们的公 共项构成的新数列规律,并依此求新数列的前 n 项和.着重考查了等差数列、等比数 列的通项公式,等差数列、等比数列的前 n 项和公式,考查了分类讨论的数学思想和 数列中的猜想、类比与递推的思想,对数学的综合能力要求较高,属于难题. 三、[选做题]在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案 写在答题纸的指定区域内. 21. (10 分) (2013?盐城一模)[A. (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,求线段 AE 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 连接 OC,BE,AC,由圆的直径所对圆周角为直角的性质可得 BE⊥AE.由 BC=4=OB=OC, 可得△OBC 为正三角形,因此∠ABC=60°,可得∠COB=60°.又直线 l 切⊙O 于 C,利 用切线的性质可得 OC⊥l,于是 OC∥AD,可得∠EAB=∠COB=60°.在 Rt△BAE 中,由 ∠EBA=30°,即可得出 AE.

16

解答: 解:连接 OC,BE,AC,则 BE⊥AE. ∵BC=4,∴OB=OC=BC=4,即△OBC 为正三角形, ∴∠CBO=∠COB=60°. 又直线 l 切⊙O 与 C,∴OC⊥l, ∵AD⊥l,∴AD∥OC. ∴∠EAB=∠COB=60°. 在 Rt△BAE 中,∴∠EBA=30°, ∴ .

点评: 熟练掌握圆的性质、切线的性质、等边三角形的判定、含 30°角的直角三角形的性质 是解题的关键. 22. (10 分) (2013?盐城一模)B. (选修 4﹣2:矩阵与变换) 已知矩阵 M 的一个特征值为 3,求 M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量.

考点: 特征值与特征向量的计算;二阶矩阵;矩阵特征值的定义;特征向量的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据特征多项式的一个零点为 3,可得 x=1,再回代到方程 f(λ )=0 即可解出另一 个特征值为 λ 2=﹣1.最后利用求特征向量的一般步骤,可求出其对应的一个特征向 量. 解答: 解:矩阵 M 的特征多项式为 f(λ )= =(λ ﹣1) ﹣x)﹣4. (λ

∵λ 1=3 方程 f(λ )=0 的一根, ∴(3﹣1) (3﹣x)﹣4=0,可得 x=1,M= .
2

∴方程 f(λ )=0 即(λ ﹣1) ﹣1)﹣4=0,λ ﹣2λ ﹣3=0 (λ 可得另一个特征值为:λ 2=﹣1, 设 λ 2=﹣1 对应的一个特征向量为 α = ,

则由 λ 2α =Mα ,得

得 x=﹣y,可令 x=1,则 y=﹣1,

所以矩阵 M 的另一个特征值为﹣1,对应的一个特征向量为 α =



点评: 本题给出含有字母参数的矩阵, 在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的
17

特征向量,考查了特征值与特征向量的计算的知识,属于基础题. 23. (2013?盐城一模)C. (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 2 在极坐标系中, 为曲线 ρ +2ρ cosθ ﹣3=0 上的动点, 为直线 ρ cosθ +ρ sinθ ﹣7=0 上 A B 的动点,求 AB 的最小值. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 化极坐标方程为直角坐标方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距 离, 则圆上的动点 A 到直线上的动点 B 的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径. 2 2 2 2 2 解答: 解:由 ρ +2ρ cosθ ﹣3=0,得:x +y +2x﹣3=0,即(x+1) +y =4. 所以曲线是以(﹣1,0)为圆心,以 2 为半径的圆. 再由 ρ cosθ +ρ sinθ ﹣7=0 得:x+y﹣7=0. 所以圆心到直线的距离为 d= .

则圆上的动点 A 到直线上的动点 B 的最小距离为 . 点评: 本题考查了简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了点到直 线的距离公式,是基础题. 24. (2013?盐城一模)D. (选修 4﹣5:不等式选讲) n 设 a1,a2,?an 都是正数,且 a1?a2?an=1,求证: (1+a1) (1+a2)?(1+an)≥2 . 考点: 不等式的证明. 专题: 计算题;证明题;不等式的解法及应用. 分析: 根据基本不等式,得 1+a1≥2 ,1+a2≥2

,?,1+an≥2

.再由不等式的各

项都大于 0,将此 n 个不等式左右两边对应相乘,结合 a1?a2?an=1 即可证出要证明的 不等式成立. 解答: 解:∵a1>0,∴根据基本不等式,得 1+a1≥2 同理可得,1+a2≥2 ,1+a3≥2 ,?,1+an≥2

注意到所有的不等式的两边都是正数,将这 n 个不等式的左右两边对应相乘,得 (1+a1) (1+a2) (1+a3)?(1+an)≥2 ? ∵a1?a2?an=1, n n ∴(1+a1) (1+a2) (1+a3)?(1+an)≥2 ?1=2 ,即原不等式成立. 点评: 本题给出 n 个正数 a1、a2、?an,求证关于 a1、a2、?an 的一个不等式恒成立.着重 考查了不等式的基本性质和运用基本不等式证明不等关系成立的知识,属于中档题. 四、[必做题]第 25、26 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
n

18

25. (10 分) (2013?盐城一模)某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为

,乙的

命中率为 P2,在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两 人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”; (1)若 ,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;

(2)计划在 2011 年每月进行 1 次检测,设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次 数 ξ ,如果 Eξ ≥5,求 P2 的取值范围. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式;二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 新定义. 分析: (1)根据甲的命中率为 ,乙的命中率为 ,两人命中次数相等且都不少于 一发,则称该射击小组为“先进和谐组”;我们可以求出该小组在一次检测中荣获 “先进和谐组”的概率; (2) 由已知结合 (1) 的结论, 我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组” 的概率(含参数 P2) ,由 Eξ ≥5,可以构造一个关于 P2 的不等式,解不等式结合概率 的含义即可得到 P2 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ , , 根据“先进和谐组”的定义可得 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中, 两人恰好各射中一 次, ∴该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 P=(C2 ?
1

) 2? (C

1

)+(

) (

)=

(2)该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率 P=(C2 ?
1

)[C2 ?P2?(1﹣P2)]+(

1

) 2 )= (P

2

而 ξ ~B(12,P) ,所以 Eξ =12P 由 Eξ ≥5 知, ( 解得: 点评: 本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式, 二项分布与 n 次独立重复试验的 模型, 中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性, (1) (2)的关键是要根据 Eξ ≥5,可以构造一个关于 P2 的不等式.
*

)?12≥5

26. (10 分) (2013?盐城一模)已知 (1)若展开式中含 x 项的系数为 14,求 n 的值; (2)当 x=3 时,求证:f(x)必可表示成
3

,其中 n∈N .

(s∈N )的形式.

*

19

考 二项式定理. 点: 专 计算题. 题: 3 分 (1)在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求得 r 的值,即可求得含 x 3 析:的项,再根据展开式中含 x 项的系数为 14,求 n 的值. (2)当 x=3 时,求得 f(x)的解析式,由于若 = .再由 ( ) ( = ,a、b∈N ,则
* *

)=1,令 a=s,s∈N ,则必有

b=s﹣1,从而证得结论. 解 答:解: (1)由二项式定理可知,二项展开式的通项公式为 Tr+1= 令 =3,解得 r=6,展开式中含 x 项的系数为
3

?2

n﹣r

?



?2

n﹣6

=14,解得 n=7.

(2)当 x=3 时,f(x) = = ?2 ?
n

+

+

+?+ 设 则 ∵( ) (
*

. =x+ = y= + ,由于 = ,a、b∈N ,
*

. ?(7 分) )= ? =1,

∴令 a=s,s∈N ,则必有 b=s﹣1,?(9 分) ∴ 必可表示成 的形式,其中 s∈N . ?(10 分)
*

点 本题二项式定理的应用,求展开式中某项的系数,属于中档题. 评:

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