高中数学一轮复习随堂训练 第2讲 《向量的坐标运算》人教版必修4_图文

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第 2 讲 向量的坐标运算
随堂演练巩固 1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b 等于 ( )

A.(7,3)

B.(7,7)

C.(1,7)

D.(1,3)

【答案】 A

【解析】 a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).

2.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若(a+2b)与(3a ?? b)平行,则 ? 的值等于( )

A.-6

B.6

C.2

D.-2

【答案】 B

【解析】 a+2b=(5,5),3a ?? b ? (3 ? 2??9 ? ?) .

∵(a+2b)∥(3a ?? b),

∴ 5(9 ? ?) ? 5(3 ? 2?) ? 0? 解得 ? ? 6 .

3.已知两点 A(4,1)、B(7,-3),则与向量 AB 同向的单位向量是( )

A. (3 ? ? 4) 55

C.

(?

4 5

?

3 5

)

【答案】 A

B. (? 3 ? 4) 55

D.

(

4 5

?

?

53)

【解析】 ∵ AB =(3,-4),| AB | ? 32 ? (?4)2 ? 5?

∴与

AB

同向的单位向量是

1 5

AB

?

(

3 5

??

4 5

)

.

4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC ? 2AD? 则顶点 D 的坐标为

()
A. (2? 7) 2
【答案】 A

B. (2? ? 1) 2

C.(3,2)

D.(1,3)

【解析】 设 D (x? y)? AD ? (x? y ? 2)? BC ? (4?3)? 又 BC ? 2AD



? 4 ? 2x? ??3 ? 2( y ? 2)?



?? x ? 2?

? ??

y

?

7 2

?

即点

D

坐标为

(2?

7 2

)

.

1.e 1? e 2 是平面内一组基底,那么(

课后作业夯基 )

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A.若存在实数 ?1? ?2? 使 ?1 e 1??2 e 2 ? 0,则 ?1 ? ?2 ? 0

B.空间内任一向量 a 可以表示为 a ? ?1 e 1??2 e 2 (?1? ?2 为 实数

C.对实数 ?1? ?2? ?1 e 1??2 e 2 不一定在该平面内

D.对平面内任一向量 a,使 a ? ?1 e 1??2 e 2 的实数 ?1? ?2 有无数对
【答案】 A
【解析】 对于 A,∵e 1? e 2 不共线,故 ?1 ? ?2 ? 0 正确;
对于 B,空间向量 a 应改为该平面内的向量才可以;
C 中 ? ?1 e 1??2 e 2 一定在该平面内;

D 中,根据平面向量基本定理 ? ?1? ?2 应是唯一一对.

2.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),则向量 a 与 b ( )

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且反向

D.平行且同向

【答案】 C

【解析】

1 ?2

?

2 ?4

?

∴a∥b.

又∵b=-2a,∴a、b 平行且反向.

3.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量 4a、3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,

则向量 c 为 …( )

A.(1,-1)

B.(-1,1)

C.(-4,6)

D.(4,-6)

【答案】 D

【解析】 依题可知 4a+(3b-2a)+c=0,

所以 c=2a-4a-3b=-2a-3b

=-2(1,-3)-3(-2,4)

=(4,-6).

4.已知向量 a=(-3,1),b=(1,-2),若(-2a+b)∥(a+kb),则实数 k 的值是( )

A.-17

B. 5

3

C. 19 18
【答案】 D 【解析】 易知 a+kb 为非零向量,

D.

?

1 2

故由题意得-2a+b ? ?( a+kb),



?

?

?2?1

?

?k

.∴

k

?

?

1 2

.

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5.对于非零向量 a ? (a1? a2 ) 和 b ? (b1? b2 )? “a∥b”是“ a1b2 ? a2b1 ? 0 ”的( )
A.必要不充分条件 B.充分必要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B
【解析】 由向量平行的坐标表示可得 a∥b ? a1b2 ? a2b1 ? 0? 故选 B.

6.设 OA =(1,-2), OB =(a,-1), OC =(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A、B、C 三点共线,

则 1 ? 2 的最小值是 ab

A.2

B.4

C.6

D.8

【答案】 D

【解析】 AB = OB OB - OA =(a-1,1), AC = OC - OA =(-b-1,2).
∵A、B、C 三点共线,

∴ AB ∥ AC .



a ?1 ?b ?1

?

1 2

.

∴2a+b=1.



1 a

?

2 b

?

(

1 a

?

b2 )(2a

?

b)

?

4

?

b a

?

4a b

? 4?2

b a

?

4a b

?

8?

当且仅当

b a

?

4a b

时取等号.



1 a

?

2 b

的最小值是

8.

7.已知向量 a ? ( 3?1)? b=(0,-1),c ? (k? 3) .若 a-2b 与 c 共线,则 k=

.

【答案】 1

【解析】 a-2b ? ( 3?3)? 因为 a-2b 与 c 共线,

所以

k? 3

3 3

?



k=1.

8.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=

.

【答案】 -1

【解析】 a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c 得1? 2 ? (m ? 1)=0,∴m=-1.

9.设向量 a=(1,0),b=(1,1),若向量 ? a+b 与向量 c=(6,2)共线,则实数 ? ?

.

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【答案】 2

【解析】 ? a+b ? (? ?1?1)?

∵ ? a+b 与向量 c=(6,2)共线,

∴ 2(? ?1) ? 6?1? ∴ ? ? 2 .

10.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC.已知 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),

则 D 点的坐标为

.

【答案】 (0,-2)

【解析】 设 D 点的坐标为(x,y),由题意知 BC ? AD? 即(2,-2)=(x+2,y),所以 x=0,y=-2,∴

D(0,-2).

11.若 a,b 为非零向量且 a∥b ? ?1? ?2 ?R,且 ?1?2 ? 0? 求证: ?1 a+ ?2 b 与 ?1 a ??2 b 为共线向量.

【证明】 设 a ? (x1? y1)? b ? (x2? y2 ) . ∵a∥b,b ? 0,a ? 0, ∴存在实数 m,使得 a=mb,
即 a ? (x1? y1) ? (mx2? my2 ) .

∴ ?1 a ??2 b ? ((m?1 ? ?2 )x2? (m?1 ? ?2 ) y2 )

? (m?1 ? ?2 )(x2? y2 ) .

同理 ?1 a ??2 b ? (m?1 ? ?2 )(x2? y2 )?

∴ (?1a ??2 b)∥b ? (?1 a ??2 b)∥b.

而 b ? 0,∴ (?1a ??2 b)∥ (?1a ??2 b),即 ?1 a ??2 b 与 ?1 a ??2 b 为共线向量.
12.a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 【解】 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 ? 使 ka b ?( a-3b).

由(k-3? 2k ? 2) ? ?(10? ?4) .



? k ? 3 ? 10?? ??2k ? 2 ? ?4??

解得

k

?

?

?

?

1 3

.



k

?

?

1 3

时,ka+b



a-3b

平行,这时

ka+b

?

1 3

a

b

?

?

1 3

(

a-3b).

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?

?

?

1 3

?

0?

∴ka+b 与 a-3b 反向.

13. 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3),试以 AB 、 AC 为一组基底表

AD + BD + CD

【解】 AB =(2-1,1+2)=(1,3),

AC =(3-1,2+2)=(2,4), AD =(-3,5),

BD =(-4,2), CD =(-5,1),

∴ AD + BD + CD =(-3-4-5,5+2+1)=(-12,8).

令(-12,8)=m AB +n AC ,
则有 m(1,3)+n(2,4)=(-12,8), 即(m+2n,3m+4n)=(-12,8).



?m ? 2n ? ?12, ??3m ? 4n ? 8.

解得 m=32,n=-22.

∴ AD + BD + CD =32 AB -22 AC .
14.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式;

(2)若 AC ? 2AB? 求点 C 的坐标.

【解】 (1)由已知得 AB ? (2? ?2)? AC ? (a ?1?b ? 1),

∵A、B、C 三点共线,∴ AB ∥ AC? ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2.

(2)∵ AC ? 2AB .

∴(a-1,b-1)=2(2,-2),



? a ?1 ? 4? ??b ?1 ? ?4?

解得

? a ? 5? ??b ? ?3?

∴点 C 的坐标为(5,-3).

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