高二数学选修2-2~1.3.1利用导数判断函数的单调性课件


导数的应用—函数的单调性
教学目的: 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点:利用导数判断函数单调性 教学难点:利用导数判断函数单调性 授课类型:新授课 课时安排:1课时

知识回顾

1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ?0 ?x
2 、某点处导数的几何意义 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f? (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率. 3 、导函数的定义

f(x ?Δx)? f(x) f?(x) ? lim Δx ?0 Δx

4 、求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤:
1.求增量: 2.算比值: 3.取极限:

?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) y ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

5、四个常见函数的导数公式
公式1 公式3

C ? ? 0(C 为常数)
(sin x )? ? cos x .

公式2 公式4

( x n )? ? n ? x n?1 ( n ? Q)
(cos x )? ? ? sin x .

6、导数的四则运算法则

(u ? v )? ? u? ? v?.
'

(uv )? ? u?v ? uv?.
7、复合函数的导数

? u ? u' v ? uv ' ( v ? 0) ? ? ? 2 v ?v?

f x? (? ( x )) ? f ?( u)? ?( x )
(ln x )? ? (log a x )? ? 1 x 1 log a e x

8、对数函数的导数 (1)
( 2)

9、指数函数的导数

(e )' ? e x x (a )' ? a ln a
x x

新课讲授

引例

已知函数y=2x3-6x2+7,求证:这个函数在区 间(0,2)上是单调递增的.
用定义法判断函数单调性的步骤:
(1)任取x1<x2 ( 2 ) 作差f(x1)-f(x2)并变形 (3)判断符号 (4)下结论

引入 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情 况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的
关系,于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢?

曲线y=f(x) 的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导 2 数.从函数 y ? x ? 4 x ? 3 的图像可以看到: y f?x? = ?x2-4?x?+3 y=f(x) f′(x) 切线的
=x2-4x+3
(2,+∞)

1. 函数的导数与函数的单调性的关系:

斜率
正 负 >0 <0

增函数 减函数

B O
1 2 3

(-∞,2)

A

x

在区间(2 , y=f(x) 的值随着 x的 ? ?)内,切线的斜率为正,函数 y ? >0时,函数y=f(x) 在区间(2,? ? 增大而增大,即 )内为增 y 函数;在区间( ,2 )内,切线的斜率为负,函数y=f(x) 的值 随着x的增大而减小,即 y ? 0时,函数y=f(x)在区间( ?? ,2 ) 内为减函数.
/

??

?

结论:
设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这 个区间内y ′ >0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内y ′ <0,那么y=f(x)为这个区间内的 减函数. y ′ >0 增函数
王新敞
奎屯 新疆

y ′ <0

减函数

判断函数单调性的常用方法: (1)定义法 (2)导数法

2、导数的应用:判断单调性、求单调区间
用导数法确定函数的单调性时的步骤是:

(1)求出函数的导函数
(2)求解不等式f ′(x)>0,求得其解集,

再根据解集写出单调递增区间
(3)求解不等式f ′(x)<0,求得其解集,

再根据解集写出单调递减区间
注:单调区间不以“并集”出现。

例题讲解

例1 确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个 区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2. 令2x-2>0,解得x>1. ∴当x∈(1,+∞)时, f′(x)>0,f(x)是增函数. 令2x-2<0,解得x<1. ∴当x∈(-∞,1)时, f′(x)<0,f(x)是减函数
O
1 2

y

f?x? = ?x2-2?x?+4

x

例2 确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间 内是增函数,哪个区间内是减函数. 解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x

y

令6x2-12x>0,解得x>2或x<0 f?x? = ?2?x3-6?x2?+7 ∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,

f(x)是增函数.
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,

f(x)是增函数. O 2 令6x -12x<0,解得0<x<2.

1 2

x

∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.

例3

1 证明函数f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x
证法一:(用以前学的方法证)任取 两个数x1,x2∈(0,+∞)设x1<x2.

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

1 1 x2 ? x1 ? ? f(x1)-f(x2)= x1 x2 x1 x2

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

x2 ? x1 ∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴ >0 x1 x2

1 ∴f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x

证法二:(用导数方法证)

1 1 - 2 ∵f′(x)=( )′=(-1)· x =- , x> 0, 2 x x 1 ∴x2>0,∴- <0. ∴f′(x)<0, 2 x
1 ∴f(x)= x
在(0,+∞)上是减函数. 点评:比较一下两种方法,用求导证明是不 是更简捷一些 . 如果是更复杂一些的函数,用 导数的符号判别函数的增减性更能显示出它 的优越性.

例4当x>0时,证明不等式:1+2x<e2x.
分析:假设令f(x)=e2x-1-2x.∵f(0)=e0-1-0=0, 如果能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么 f(x)>0,则不等式就可以证明. 证明:令f(x)=e2x-1-2x. ∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1) ∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0, 即f′(x)>0 ∴f(x)=e2x-1-2x在(0,+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0-1-0=0. ∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,即e2x-1-2x>0. ∴1+2x<e2x 点评:所以以后要证明不等式时,可以利用函数 的单调性进行证明,把特殊点找出来使函数的值 为0.

1 例5已知函数y=x+ ,试讨论出此函数的单调区间. 1 x
解:y′=(x+ )′=1-1· x- 2

x

y f?x? = x+ 1 x 2 -1
O1

=

( x ? 1)( x ? 1) 令 >0. 解得x>1或x<-1. 2 x

x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? 2 x x2
2

x

-2

1 ∴y=x+ 的单调增区间是(-∞,-1) x 和(1,+∞).

( x ? 1)( x ? 1) 令 < 0 ,解得- 1 < x < 0 或 0 < x < 1. x2

1 ∴y=x+ 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x

例6(2000年全国高考题)设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? ax 其中a>0,求a的取值范围,使函数 f(x) 在区间 [0, ??) 上是单调函数。
2

分析:求 f ? ? x ? ,当x∈ [0, ??) 时,看 f ? ? x ? 变化范围。

例6(2000年全国高考题)设函数

f ? x ? ? x ? 1 ? ax 其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间 [0, ??)
2
x x2 ? 1 ? a, x ? [0, ??),? x x2 ? 1 ? [0,1), 即

上是单调函数。
解:f ? ? x ? ?

x x2 ? 1

?1

故当a ? 1时,f ? ? x ? ? 0在[0, ??)上恒成立,即a ? 1时,f ? x ? 在[0, ??)递减;

又当0<a<1时,设有x1, x2 ?[0, ??),当x1 ? x2时,f ? x1 ? =f ? x2 ? ,
即 x12 ? 1-ax1 = x22 ? 1-ax2 ? x1 ? x2 x12 ? 1 ? x22 ? 1 =a,

2a ? 2a ? 令x1 =0,可求得x2 = ,所以有f ? 0 ? =f ? ,显然 ? 0, 2 2? 2 1-a 1-a ? 1-a ? 2a

? 0<a<1时,f ? x ? 在[0, ??)上,不是单调函数.

例7.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的 取值范围,并求其单调区间。
2 ? 解: f ? x ? ? 3ax ? 1,

? f ? x ? 只有一个单调区间,与题意不符.
1 ? 1 ?? 1 ? ? ? 2 若a<0,则f ? ? x ? ? 3a ? x ? x? , ? ? 3a ? x ? ?? ? ?3a ? ?3a ?? ?3a ? ? ?

若a ? 0, 则f ? ? x ? 在(-?, ??)恒正,

1 1 ? a ? 0时, f ? x ? 有三个单调区间,(-?,],[ , ??) -3a -3a 1 ? ? 1 为它的减区间,? ? , 为它的增区间. ? ? -3a -3a ?

课堂练习 1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ,(1, +∞)

2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( ? ), , 3 3 则a的取值范围为( ) (A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1 3、当x∈(-2,1)时,f(x)=2x3+3x2-12x+1是( (A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增,部分单调减 (D) 单调性不能确定 )

3

3

课堂小结

f(x)在某区间内可导,可以根据f′(x)>0或f′(x)<0求 函数的单调区间,或判断函数的单调性,或证明不 等式 . 以及当 f′(x)=0 在某个区间上,那么 f(x) 在这个 区间上是常数函数。
课后作业


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