湖北省荆州中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

荆州中学 2015~2016 学年度上学期 期 末 考 试 卷
年级:高二 科目:数学(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)

1.下面哪组变量具有相关关系( A.出租车费与行驶的里程 C.人的身高与体重

) B.房屋面积与房屋价格 D.铁的体积与质量

2.设一组数据的平均数是 2.8 ,方差是 3.6 ,若将这组数据中的每一个数据都加上 10 ,得到 一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A. 12.8 3.6 B. 2.8 13.6 C. 12.8 13.6 D. 13.6 12.8 3.“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y ) =0 的解”是“方程 f ( x, y ) =0 是曲线 C 的方程” 的( )条件. B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非

A.充分非必要 必要

π 4. 已知命题 p :? x∈(0, ), 使得 cos x≥x, 则该命题的否定 是( .. 2 π A. ? x∈(0, ),使得 cos x>x 2 C. ? x∈(0, π ),使得 cos x<x 2



π B. ? x∈(0, ),使得 cos x≥x 2 D. ? x∈(0, π ),使得 cos x<x 2

1 1 1 1 5.如图给出的是计算 ? ? ? L ? 的值的程序框图,其中判断框 2 4 6 2016 内应填入的是

A. i ? 2013 C. i ? 2017

B. i ? 2015 D. i ? 2019 )
x2 ? 2

6.下列函数是正态分布密度函数的是( A. f ( x) ?
1 2 π? e
( x ? r )2 2?

B. f ( x) ?

2π e 2π

C.

f ( x) ?

1 2 2 π

e

( x ?1)2 4

D.

f ( x) ?

1 2 π

x2

e2

7.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 且支出在[20,60) 元的样本,其频率分布直方图如图所示,根据此图估计学生 在课外读物方面的支出费用的中位数为( )元( )

A.45

B.

390 9

C.

400 9

D.46

8.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方 案共有( )
4 4 B. 3C12 C84 C4 4 4 4 3 C. C12 C8 C4 A3

4 4 A. C12 C84 C4

D.

4 4 C12 C84 C4 3 A3

9.有一个公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一时刻,有 n 个人正在 使 用 电 话 或 等 待 使 用 的 概 率 为 P ( n) , 且 P ( n) 与 时 刻 t 无 关 , 统 计 得 到

? 1 n ?( ) ? P(0) (1 ? n ? 5) P ( n) ? ? 2 ,那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率 ? ?0 (n ? 6)
P(0) 的值是(

) B.1 C.
32 63

A.

32 33

D.

16 33

10.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内的一点 P(2,?1) 的弦,恰好被点 P 平分,则这条弦所在的直线方程是() 6 5

A. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

B. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

C. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

D. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0

11.设 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ???? ? (1 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? an xn , 当

a0 ? a1 ? a2 ???? ? an ? 254 时,n 等于(
A. 5 B.6

) C.7 D.8

12.如果椭圆

x2 y2 N 是 MF1 的中点, O是 ? ? 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, 81 25

坐标原点,则线段 ON 的长为( A. 2 B. 4

) C. 8 D.
3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.下列是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 由其散点图知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系, 其线性回归方程是 y=-0.7x+a,则 a=________. 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

1 1? 14.阅读如图所示的程序框图, 如果输出的函数值在区间? 则输入的实数 x 的取值范围是____. ?4,2?内,

15.若在区间[-5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=2 有公共点的 概率为 . 16. 甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以2后再加上 12,这 样就可得到一个新的实数 a2 .对实数 a2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数

a3 , 当 a3 ? a1 时 , 甲 获 胜 , 否 则 乙 获 胜 . 若 甲 胜 的 概 率 为 a1 ?


3 , 则 a1 的 取 值 范 围 是 4

三、计算题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)若 (6 x ? 6 (1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项?若有,求出常数项,若没有,说明理由。
1 x ) n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

18. (本小题满分 12 分)某班共有 36 名学生,其中有班干部 6 名.现从 36 名同学中任选 2 名代表参加某次活动.求:(1) 恰有 1 名班干部当选代表的概率; (2) 至少有 1 名班干部当选代表的概率;
1 (3) 已知 36 名学生中男生比女生多, 若选得同性代表的概率等于 , 则男生比女生多几人? 2

19. (本小题满分 12 分)设命题 p :函数 f ( x) ? lg( x2 ? ax ? 1) 的定义域为 R;命题 q :函数
f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在 (??, ?1] 上单调递减.

(1)若命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 ( x ? m)( x ? m ? 5) ? 0(m ? R) 的解集为 M;命题 p 为真命题时, a 的 取值集合为 N.当 M ? N ? M 时,求实数 m 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分)为了解荆州中学学生健康状况,从去年高二年级体检表中抽取若 干份,将他们的体重数据作为样本。将样本的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图), 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小组的频数为 12. (Ⅰ)求样本的容量; 频率 (Ⅱ)以荆州中学的样本数据来估计全省的 组距 总体数据,若从全省高二年级的所有学生中 (人数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望。 0.037

0.013 50 55 60 65 70 75 体重

21.(本题满分 12 分)有红、黄、蓝、白 4 种颜色的小球,每种小球数量不限且它们除颜色不 同外,其余完全相同,将小球放入编号为 1,2,3,4,5 的盒子中,每个盒子只放一只小球. (1)求事件 A: “对任意的正整数 j(1≤j≤5),至少存在另一个正整数 k(1≤k≤5,且 j ≠k)使得 j 号盒子与 k 号盒子中所放小球的颜色相同”的概率; (2)记 X 为 5 个盒子中颜色相同小球个数的最大值,求 X 的概率分布和数学期望 E(X).

22. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 两点。

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的 a2 b2

(1) 若 ?AF1 F2 ? 600 ,且 AF 1 ? AF 2 ? 0 求椭圆的离心率。 (2)若 a ? 2, b ? 1 ,求 F2 A ? F2 B 的最大值和最小值。

荆州中学 2015~2016 学年度上学期 期 末 考 试 卷
年级:高二 科目:数学(文科)

参 考 答 案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A 11 B 12 B

二、填空题: 13. ( ??, ?2) 15. n ? 10000
S ? 6000

14. 双曲线靠近 B 点的那一支 16. ①③

三、计算题: 17. 解: (1)?在 20 岁至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目 ?经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的 27 3 (2)大于 40 岁的观众抽取 ? 5 ? ? 5 ? 3 (名) 45 5 18. 解: p : m ? ?1
q : ? 2? m ? 2

由已知 p, q 一真一假 当 p 真 q 假时, ?1 ? m ? 2 当 p 假 q 真时, m ? ?2
? m ? ?2 或 ?1 ? m ? 2

19. 解:设事件 A 为“方程 9 x 2 ? 6ax ? b2 ? 4 ? 0 有 2 个不相等的实数根” ,事件 B 为“方程
9 x 2 ? 6ax ? b2 ? 4 ? 0 有实数根”

(1)由题意,知基本事件有 9 个,即(1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2)其中第一个表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.

由 ? ? 36a 2 ? 36(?b2 ? 4) ? 36a 2 ? 36b2 ? 36 ? 4 ? 0 得 a 2 ? b2 ? 4 事件 A 要求 a , b 满足条件 a 2 ? b2 ? 4 ,可知包含 6 个基本文件: (1,2) , (2,2) , (2, 2) , (3,0) , (3,1) , (3,2)
6 2 ? 9 3 (2)由题意方程有实根的区域为图中阴影部分 6 ?? ? ? 1? ?所求概率为 P ( B ) ? 6 6

?方程有 2 个不同实根的概率 P ( A) ?

2

..

2 3

20. 解 : ( 1 ) 当 x ? 64 千 米 / 小 时 , 要 行 驶 1000 千 米 需 要
1 3 1000 3 ? 64 ? ? 6 4? 8 ) ? ? 1 1升 9.5 128000 80 64 (2)设 22.5 升油能使该型号汽车行驶 a 千米,由题意得 1 3 a ( ? x 3 ? x ? 8) ? ? 22.5 128000 80 x 22.5 ?a ? 1 8 3 x2 ? ? 128000 x 80 1 8 3 x2 ? ? 令 h( x ) ? 则当 h( x ) 最小时, a 取 max 128000 x 80 (

1000 小时,要耗油 64

h?( x ) ?

1 8 x 3 ? 803 x? 2 ? 64000 x 64000 x 3

令 h?( x) ? 0 ? x ? 80

当 x ? (0,80) 时, h?( x ) ? 0
h( x ) 为增函数

h( x ) 为减函数

当 x ? (80,20) 时, h?( x ) ? 0

?当 x ? 80 时, h( x ) 取最小值,此时, a 取最大值 200.

?若油箱有 22.5 升油,则最多可行驶 200 千米
21. 解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 3x ? 2 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 2

当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0

? f ( x ) 单调递增区间为 (??,1),(2, ??)

? f ( x ) 单调递减区间为 (1, 2)

1 3 (2)令 f ( x) ? 2 x ? m 即 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 5 ? 2 x ? m 3 2 1 3 3 2 ? x ? x ?5? m 3 2 1 3 令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 5 3 2

即考察函数 y ? g ( x ) 与 y ? m 何时有三个公共 令 g?( x) ? 0
?x ? 0 或 x ? 3

当 x ? 0 或 x ? 3 时, g ?( x ) ? 0 当 0 ? x ? 3 时, g ?( x ) ? 0
? g ( x ) 在 ( ??,0) , (3, ??) 上单调递增,在 (0,3) 上单调递减, g (0) ? 5
g( 3 ) ? 1 2

由图象可得

1 ?m?5 2

1 ? 1 ? ?1 2 ? 6 3 ? a b2 22. 解: (1)将 (1,1),( , ) 两点坐标代入椭圆 C ,得 ? 2 2 ? 3 ? 3 ?1 ? ? 2 a 2 4b 2

? a2 ? 3 ? ?? 2 3 b ? ? ? 2

x2 2 y2 ?1 ? 椭圆 C 的方程为 ? 3 3

(2)由 MA ? MB 知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关 于原点对称,①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时,

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OM
2

?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2( 2 ? 2 ) ? 2 2 b b a a b

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 是椭圆的一个短轴顶点,此时,

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

?

1 1 2 ? 2? 2 2 a a b

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0)

1 则直线 OM 的方程为 y ? ? x ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) k

? y ? kx ? 由 ? x2 2 y2 ? ?1 ? 3 ?3
2 2

解得 x12 ?

3 1 ? 2k 2

y12 ?

3k 2 1 ? 2k 2

? OA ? OB ? x12 ? y12 ?
2

3(1 ? k 2 ) 1 ? 2k 2

同理, OM ?
? 1 OA
2

3(1 ? k 2 ) 2 ? k2
? 2 Om
2

?

1 OB
2

? 2?

1 ? 2k 2 2(2 ? k 2 ) ? ?2 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 )



1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 Om
2

? 2 为定值.


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