河南省普通高中2013年新课程高考适应性考试数学(理)试卷


河南省普通高中 2013 年新课程高考适应性考试(一)

数学(理)试题
本试题卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(必考题和选考题两部分) 。考生作答时,将答 案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡) ,在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试 题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 1 2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={ x | x ? 2 },下图中阴影部分所表示的集 合为 A.{0,1,2} C.{1}
3 2.复数 z ? i ?

B.{1,2} C.{0,1}

2i ,在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 3.若 sin ? ? cos ? ?

1? 3 , ? ? (0, ? ) ,则 tan ? = 2
B. ? 3 C.

A. 3

3 3

D. ?

3 3

4.已知命题 p : ?x ? R, 使得 x ? A.p ? q

1 ? 2, 命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,下列命题为真的是 x
C.

B. ?p) ? q (

p ? (?q)

D. (?p) ? (?q)

5.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为

A. 4 3

B. 8 3

C. 12 3

D. 24 3

6.已知△ABC 中,C=45° ,则 sin2A=sin2B 一 2 sinAsinB=

A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 4

1

?ln(? x), x ? ?2, ? 7.如图是计算函数 y ? ?0, ?2 ? x ? 3, 的值的程序框图,在①、②、③处分别应填入的是 ?2 x , x ? 3 ?
A.y=ln(一 x) ,y=0,y=2x B.y=0,y=2x,y=In(一 x) C.y=ln(一 x) ,y=2z,y=0 D.y=0,y=ln(一 x) ,y=2x 8.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a-c)· 一 c)=0,则|c|的最大值是 (b A.1 B.

2 2

C.2

D. 2

9.已知 A,B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC, AD=2AB=6 则该球的表面积为 A.16 ? 10.在二项式( x ? B.24 ? C.32 3

?

D.48 ?

3 n ) 的展开式中,各项系数之和为 M,各项二项式系数之和为 N,且 x
C.9 D.6

M+N=72,则展开式中常数项的值为 A.18 B.12

11.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x(? ? 0) ,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都 有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2012) 成立,则 ? 的最小值为 A.

1 2012

B.

?
2012

C.

1 4024

D.

?
4024

12.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为一 1 的直线,该直线与双曲线 a 2 b2

的两条渐近线的交点分别为 B,C,若 A,B,C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线 的离心率为 A. 3 B. 5 C. 10 D. 13

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 2l 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22~24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

2

?4 x ? y ? 9 ? 0 ? 13.已知函数 x, y满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ? x ? 3 y 的最大值是 ?y ? 3 ?



14. 已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 8(ab ? 0) 过坐标原点, 则圆心 C 到直线 l : 离的最小值等于 .

x y ? ? 1距 b a

15.已知函数 f ( x)是(-?,+?) 上的奇函数,且 f ( x ) 的图象关于直线 x=1 对称,当

1 x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? 1 ? ( ) x , 则f (2012) ? f (2013) ? 2
16.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 M.则 点 M 恰好取自阴影部分的概率是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }中 a1 ? 1, a2 ? 4, 满足an ? 2 ?



5 2 an ?1 ? an . 3 3

(I)设 bn ? an?1 ? an ,求证数列{ bn }是等比数列; (Ⅱ)求数列{ an }的通项公式.

18. (本小题满分 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分 成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图中的信息,回答下列问题.

(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,记[70,100] 记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 X 的分布列和数学期望。

3

19. (本小题满分 12 分) 如图。在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90° ,M 是 BC 中点。 (I)求证:A1B∥平面 AMC1; (II)求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值; (Ⅲ)试问:在棱 A1B1 上是否存在点 N,使 AN 与 MC1 成角 60° ?若存在,确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由。

2 x 2 y2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 左、右焦点分别为 a b

F1、F2,焦距为 4,点 M 是椭圆 C 上一点,满足 ?F1 MF2 ? 60?, 且S?F1MF ?

4 3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)分别作直线 PA,PB 交椭圆 C 于 A,B 两点,设直线 PA,PB 的 斜率分别为 k1,k2, 且k1 ? k2 ? 4 ,求证:直线 AB 过定点,并求出直线 AB 的斜率 k 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? f (0) x ? f '(0) x2 ? 2. (1)求 f ( x ) 的解析式及减区间;
2 (2)若 f ? x ? ? x ? ax ? b , 求

b?3 的最小值。 a?2

4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分.做 答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 在 ? ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取 D,E,F.使得 DE=BE,FE=CE,又点 O 是△ ADF 的外心。 (Ⅰ)证明:D,E,F,O 四点共圆; (Ⅱ)证明:O 在∠DEF 的平分线上.

23. (本小题满分 10 分)选修 4~4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t 为参数) 在极坐标系 (与 ? y ? 2 ? t sin ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位。且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ? ? 6sin ? . (I)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(1,2),求 | PA | ? | PB | 的最小 值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) = 2 | x ? 2 | ? x ? 5. (I)求函数 f ( x ) 的最小值 m; (II)若不等式 | x ? a | ? | x ? 2 |? m 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2013 年河南省新课程高考适应性考试(一) 理科数学试题参考答案及评分标准
5

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 B 7 B (16) 8 D
1 6

9 D

10 C

11 B

12 C

C C D A A 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) ?1 三、解答题 (14) 2 (15)

1

2 2 (17)解: (Ⅰ)递推公式可化为 an? 2 ? an?1 ? (an?1 ? an ) ,即 bn ?1 ? bn . 3 3

…………3 分

又 b1 ? a2 ? a1 ? 3 , 所以数列 {bn } 是首项为 3, 公比为
2 的等比数列. 3

……………5 分 ……………7 分

2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, bn ? 3( )n ?1 ,所以 an?1 ? an ? 3( )n?1. 3 3
an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (an ? an?1 )

2 2 2 ? 1 ? 3 ? 3( ) ? 3( )2 ? ? ? 3( )n?2 3 3 3

2 1 ? ( )n ?1 2 3 ?1? 3 ? 10 ? 9( )n ?1. 2 3 1? 3
(18)解: (Ⅰ)设分数在 ? 70,80 ? 内的频率为 x,根据频率分布直方图,

……………12 分

0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ? 10 ? x ? 1 ,可得 x=0.3. 则有 (0.01+

所以频率分布直方图如图所示:

……………4 分 (Ⅱ)平均分为: x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ………………6 分 (Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有 0.4× 60=24 人,在[70,100]的有 0.6× 60=36 人, 且 X 的可能取值是 0,1,2. 则 P( X ? 0) ?
2 C1 C1 144 C 2 105 C24 46 ? , P( X ? 1) ? 24 2 36 ? , P( X ? 2) ? 36 ? . 2 2 C60 295 C60 295 C60 295

? 71.

所以 X 的分布列为:
6

X P

0
46 295

1
144 295

2
105 295

所以 EX=0×

46 144 105 354 +1× +2× = . 295 295 295 295

……………12 分

(19)解: (Ⅰ)连接 A1C 交 AC1 于 O ,连接 OM .在三角形 A1 BC 中,
OM 是三角形 A1 BC 的中位线,

A1 B1 O

C1

所以 OM ∥ A1 B , 又因 OM ? 平面 AMC1 , 所以 OM ∥平面 AMC1 . ……………4 分 (Ⅱ) (法一)设直线 CC1 与平面 AMC1 所成角为 ? ,
C 点到平面 AMC1 的距离为 h

A M B

C

,不妨设 AA1 ? 1 ,则 AB =BC ? 2 ,

1 1 2 因为 VC1 ? AMC ? S? AMC ? CC1 , VC1 ? AMC ? ? 2 ? 1 ? , 3 3 3

所以 VC1 ? AMC ?

2 1 ? VC ? AMC1 ? S? AMC1 ? h . 3 3

……………5 分

因为 AM ? 5, AC1 ? 3, MC1 ? 2 , 所以 cos ?C1 AM ?
S? AMC1 ?

5?3?2 2 ? 3? 5

?

5 2 5 , sin ?C1 AM ? . 5 5

1 3 5 2 5 ? 3 ? 5 sin ?C1 AM ? ? ?3. 2 2 5

VC1 ? AMC ?

2 1 ? S? AMC1 ? h ? h , 3 3

z A1 B1 C
1

h?

2 2 , sin ? ? . 3 3

……………8 分

(法二)如图以 BC 所在的直线为 x 轴, 以 BA 所在 的直线为 y 轴, 以 BB1 所在的直线为 z 轴, y 以 BB1 的长度为单位长度建立空间直角坐标系. A B M C

x

则 B(0,0,0) , C (2,0,0) , A(0, 2,0) , M (1,0,0) ,C1 (2,0,1) , B1 (0,1,0) , A1 (0, 2,1) . 设直线 CC1 与平面 AMC1 所成角为 ? , 平面 AMC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

7

???? ? ???? ? ????? ? 则有 CC1 ? (0,0,1) , AM ? (1, ?2,0) , C1M ? (?1,0, ?1) ,
????? ? ?n? 1M ? 0, ? x ? 2 y ? 0, ? C 令 x ? 2 ,得 n ? (2,1, ?2) , ?? ? ? ???? ?n?AM ? 0, ?? x ? z ? 0. ?

设直线 CC1 与平面 AMC1 所成角为 ? ,
???? ? ?2 2 ? . 则 sin ? ? cos ? n, CC1 ? ? 3 3

……………8 分

(Ⅲ)假设直线 A1 B1 上存在点 N ,使 AN 与 MC1 成角为 60? .

???? ????? 设 N (0, b,1) ,则 AN ? (0, b ? 2,1) , MC1 ? (1,0,1) . A1 设其夹角为 ? ,
所以, cos ? ?
1 (b ? 2) 2 ? 1 12 ? 12

z N B1 xx C1

y
? 1 2 (b ? 2)2 ? 1 ? ? 1 , 2

A B

M

C

1 2 (b ? 2) ? 1
2

1 , ? 2 (b ? 2)2 ? 1 ? 2 ? b ? 1 或 b ? 3 (舍去) , 2

故 N (0,1,1) .所以在棱 A1 B1 上存在棱 A1 B1 的中点 N ,使 AN 与 MC1 成角 60? . 12 分 (20) (Ⅰ) ?F1MF2 中,设 F1M ? r1 , F2 M ? r2 ,由余弦定理得 4c2 ? r12 ? r22 ? 2r1r2 cos60? , 解: 在 即 4c2 ? (r1 ? r2 )2 ? 2r1r2 ? 2r1r2 cos60? , 4c2 ? (r1 ? r2 )2 ? 3r1r2 , 3r1r2 ? 4b 2 . 即 得 又因为 S ?F1MF2 ?
1 4 3 16 r1r2 s in60? ? , r1r2 ? , b 2 ? 4 , 2 3 3

又因为 2c ? 4, 所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 8 , 所以所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. 8 4

……………5 分

(Ⅱ)显然直线 AB 的斜率 k 存在,设直线方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
? y ? kx ? m, 由? 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , x ? 2 y2 ? 8 ?

? ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 8) ≥ 0 , x1 ? x2 ?

2(m2 ? 4) ?4km , , x1 x2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

8

由 k1 ? k2 ? 4 得, 则

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? 4 ,又 y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , x1 x2

kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? ? 4 , 2k ? ?4, x1 x2 x1 x2

2k ?

(m ? 2)

?4km 2k 2 ? 1 ? 4 ? m ? k ? 2 , 2(m2 ? 4) 2k 2 ? 1
……………10 分

那么 y ? kx ? m ? y ? kx ? k ? 2 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 , 则直线 AB 过定点 (?1, ?2) . 因为 ? ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 8) ≥ 0 , m ? k ? 2 ,

[4k (k ? 2)]2 ? 4(2k 2 ? 1)[2(k ? 2)2 ? 8] ≥ 0 4k 2 (k ? 2)2 ? (2k 2 ? 1)(2k 2 ? 8k ) ≥ 0 , 2k 2 (k ? 2)2 ? (2k 2 ? 1)(k 2 ? 4k ) ≥ 0 , k[2k (k ? 2)2 ? (2k 2 ? 1)(k ? 4)] ≥ 0 ,
4 k (7k ? 4) ≥ 0 ,所以 k ≥ 0 或 k ≤ ? . 7



……………12 分

(21)解: (Ⅰ)令 x ? 0 得 f (0) ? 2 , f '( x) ?
? f ( x) ? ln( x ? 1) ? 2x ? x2 ? 2 ,

1 ? 2 ? 3 f '(0) x ,所以 f '(0) ? ?1 , x ?1

……………3 分

1 2 x2 ? 1 , ? 2x ? 2 ? x ?1 x ?1 2 2 2 2 ?x? , 由 f '( x) ? 0 得 ? , ? f ( x) 的减区间为( ? ). ……5 2 2 2 2 f '( x) ?
分 (Ⅱ)由题意

ln( x ? 1) ? 2x ? x2 ? 2 ≤ x2 ? ax ? b ,

? b ? 2 ≥ ln( x ? 1) ? (a ? 2) x ,

1 ? (a ? 2) . x ?1 当 a ? 2 ≤ 0 时, g '( x) ? 0 恒成立, g ( x) 无最大值;

设 g ( x) ? ln( x ? 1) ? (a ? 2) x , g '( x) ?

……………7 分

当 a ? 2 ? 0 时,由 g '( x) ? 0 得 ?1 ? x ?
? g ( x) 在 (?1 , ? g ( x) ≤ g ( ?

1 1 ? 1 , g '( x) ? 0 得 x ? ?1 . a?2 a?2

1 1 ? 1) 上为增函数,在 ( ? 1, ??) 上为减函数. a?2 a?2

1 ? 1) ? a ? 1 ? ln(a ? 2) ,? b ? 2 ≥ a ? 1 ? ln(a ? 2) , a?2

b?3 a ln(a ? 2) , ≥ ? a?2 a?2 a?2

……………10 分

9

设 h(a) ?

1 ? ln(a ? 2) a ln(a ? 2) , h '(a ) ? , ? (a ? 2) 2 a?2 a?2

1 1 由 h '(a) ? 0 得 a ? ? 2 , h '(a) ? 0 得 ?2 ? a ? ? 2 , e e 1 b?3 的最小值为 1 ? e . ? h(a) ≥ h( ? 2) ? 1 ? e ,所以 e a?2

……………12 分

(22)证明: (Ⅰ) 如图,∠DEF=180° -(180° -2∠B)-(180° -2∠C)=180° -2∠A. 因此∠A 是锐角, 从而 ?ADF 的外心与顶点 A 在 DF 的同侧, ∠DOF=2∠A=180° -∠DEF. 因此 D,E,F,O 四点共 圆.
F A O D

……………6 分
即 O 在∠DEF 的平分线上.

C

E

B

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO,

……………10 分

(23)解:(Ⅰ)由 ? ? 6sin ? 得 ? 2 ? 6? sin ? ,化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 6 y , 即 x2 ? ( y ? 3)2 ? 9 . ……………4 分

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t 2 ? 2(cos ? ? sin ? )t ? 7 ? 0 . 由 ? ? (2cos ? ? 2sin ? )2 ? 4 ? 7 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两根,
?t ? t ? ?2(cos ? ? sin ? ), 所以 ? 1 2 又直线 l 过点 (1, 2) ,故结合 t 的几何意义得 ?t1 ? t2 ? ?7,
| PA | ? | PB | = | t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 4(cos? ? sin ? )2 ? 28
? 32 ? 4sin 2? ≥ 32 ? 4 ? 2 7.

所以 | PA | ? | PB | 的最小值为 2 7.
? x ? 1,( x ≥ 2) (24)解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? x ? 5 ? ? ??3x ? 9,( x ? 2)

……………10 分

显然,函数 f ( x) 在区间 (??, 2) 上单调递减,在区间 [2, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的最小值 m ? f (2) ? 3. ……………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m ? 3 , | x ? a | ? | x ? 2 |≥ 3 恒成立, 由于 | x ? a | ? | x ? 2 |≥| ( x ? a) ? ( x ? 2) |?| a ? 2 | , 等号当且仅当 ( x ? a)( x ? 2) ≤ 0 时成立,故 | a ? 2 |≥ 3 ,解之得 a ≥ 1 或
a ≤ ?5.

所以实数 a 的取值范围为 a ≥ 1 或 a ≤ ?5.

……………10 分

10


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