一轮复习讲义:第二章


总复习— 2.3 函数的奇偶性与周期性

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本节要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性; 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、 应用简单函数的周期性;

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要点梳理
1.奇、偶函数的概念: 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 . (2)在公共定义域内,
①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是偶函数;

偶函数; ②两个偶函数的和、积都是 奇函数 ③一个奇函数,一个偶函数的积是 .
4、若奇函数的定义域含有数0,则必有f ? 0 ? ? 0;

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3.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)叫做周期 函数,非零常数T叫f(x)的周期; 如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就 叫f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则 kT(k∈Z,k≠0)也一定是f(x)的周期.

则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期(上述式子 分母不为零).
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函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 9-x + x -9;(2)f(x)=(x-1)
2 2

2+x ; 2-x

?x2+x ? (3)f(x)=? 2 ?x -x ?

(x>0), lg(1-x2) (4)f(x)= 2 . |x -2|-2 (x<0);

确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点 对称. 若对称, 再验证 f(-x)=± f(x)或其等价形式 f(-x)± f(x) =0 是否成立.

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探究提高
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中, 可以转化为判断奇偶性的等价等量 关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数)) 是否成立. (3)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函 数, 分段函数奇偶性的判断, 要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等 式 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区 间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

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函数奇偶性的应用
例题 2: x+a (1)已知 f(x)= 2 (-1≤x≤1)是奇函数, x +bx+1 求 a+b 的值. (2)课本 p15 例题 2-1 (3)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0≤x 时 f(x)=x2+2x 若 f(2-a2)> f(a)求实数 a 的取值范围。 (4)课本例题 2-2

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函数周期性
例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011).

(1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数; (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]的解析式, 进而 求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和.

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(1)证明

∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数.
(2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

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(3)解

∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011)=0.

探究提高
判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x) (T≠0)便可证明函数 是周期函数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性 质综合命题,是高考考查的重点问题.

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方法与技巧
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或 偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便 于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或 应用定义的等价形式:f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? f(-x) =± 1(f(x)≠0). f(x) 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对 称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画 法,也可以利用它去判断函数的奇偶性

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失误与防范
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于 原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一 个必要条件. 2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均 有 f(-x)=-f(x), 而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0). 对 于偶函数的判断以此类推. 3.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不 可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否 定函数在整个定义域上的奇偶性.

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