河南省天一大联考2017届高三高中毕业班阶段性测试A型(三)理数试题Word版含答案.doc


数学(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ?x 0 ? x ? 3? ,则 A ? B ? ( A. ? 0 , 1? 2.定义: 位于( B. ? 0 ,3? C. ? ?1 , 1?

?

?



D. ? ?1 ,3?

a b ad i1017 i . 已知复数 ,则在复平面内,复数 z 所对应的点 ? bc ? 0 z ? ? ? c d bc 3 ? 2i i1000

) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

???? ??? ? 3.在菱形 ABCD 中, E , F 分别是 AD ,CD 的中点,若 ?BAD ? 60? , AB ? 2 ,则 AF ? BE ?





A.

5 2

B. ?

5 2

C.

3 2

D. ?

3 2

4.已知正六边形 ABCDEF 中, P ,Q ,R 分别是边 AB ,EF ,CD 的中点,则向正六边形
ABCDEF 内投掷一点,该点落在 △PQR 内的概率为(



A.

1 3

B.

3 8

C.

2 3

D.

3 4

5.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法:随着圆内 接正多边形边数的增加,它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积,“割之弥细,所失弥 少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了以直代曲、 无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率 的近似值的程序框图如图,则输出 S 的值为( (参考数据: sin15? ? 0.2588 ,sin 7.5? ? 0.1305 ) )

A. 2.598

B. 3.106

C. 3.132

D. 3.142 )

?? 1 5? ? ? ? ? 2 ?? 6.已知 cos ? x ? ? ? ,则 cos ? 2 x ? ? ? sin ? ? x ? 的值为( 3? 3 3 ? ? ? ?3 ?
A. ?

1 9

B.

1 9

C.

5 3

D. ?

5 3

?? ? 7.已知函数 f ? x ? ? M sin ?? x ? ? ? ? M ? 0 ,? ? 0 , ? ? ? 的部分图象如图所示,其中 2? ? ?? ? ? 13? ? A ? ,4 ? , C ? ,0 ? ,点 A 是最高点,则下列说法错误的是( ) ?3 ? ? 12 ?

A. ? ? ?

?
6

2? ,则其纵坐标为 ?2 3 23? ? ? 10? , C.函数 f ? x ? 在 ? ? 上单调递增 6 ? ? 3
B.若点 B 的横坐标为 D.将函数 f ? x ? 的图象向左平移

?
12

个单位得到函数 y ? 4sin 2 x 的图象

8.已知函数 f ? x ? ? 2? x ? 2x ,函数 g ? x ? 为偶函数,且 x ? 0 时, g ? x ? ? f ? ? x ? ,现有如下命 题: ① ?m ,n ? R ? m ? n ? , f ? m ? ? f ? n ? ;② ?m ,n ? R ? m ? n ? , f ? m? ? g ? m? ? f ? n ? ? g ? ?n ? . 则上述两个命题( A.①真②假 ) B.①假②真 C.①、②都假 D.①、②都真

9.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 是 Sn?1 ,Sn? 2 的等差中项,且 a1 ? 3 ,S4 ? ?3 ,则 S 8 的值为( A.129 ) B. ?129 C.83 D. ? 83

10.如图,在四面体 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ? 4 ,点 O 是点 P 在平面 ABC 上的投影,且
tan ?APO ? 2 ,则四面体 P ? ABC 的外接球的体积为( 2



A. 8 6? 11.已知双曲线 C :

B. 24?

C. 32 3?

D. 48?

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的左、右顶点分别为 M ,N ,过左顶点且斜率为 a 2 b2

1 的直线 l1 与双曲线 C 交于 M , A 两点,过右顶点且与直线 l1 平行的直线 l2 与双曲线 C 交于
B ,N 两点,其中 A ,B 分别在第一象限、第三象限.若四边形 MANB 的面积为 6b 2 ,则双曲

线 C 的离心率为( A. 3 B.


2 6 3

C.

2 3 3

D.

2 5 3

12.设 y ? f ? x ? 是定义在区间 ? 0 ,? ?? 上的函数,满足 2016 f ? x ? ? f ' ? x ? ? 2017 f ? x ? ,则




2018

?1? A. ? ? ?e? ?1? C. ? 2 ? ?e ?

?

f ? 2016 ?

?1? ?? ? f ? 2018? ? e ?

2017

?1? B. ? ? ?e?

2017

?

f ? 2016 ?

?1? ?? ? f ? 2018? ? e ? f ? 2016 ?

2016

2018

?1? ? ?? 2 ? f ? 2018? ? e ?

f ? 2016 ?

2017

?1? D. ? 2 ? ?e ?

2017

?1? ? ?? 2 ? f ? 2018? ? e ?

2016

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
1? ? 13. ? 2 x ? 3 ? 的展开式中,常数项为 x ? ?
7



14.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ? p ? 0? 上的第四象限的点 M ? 2 ,y0 ? 到焦点 F 的距离为 y0 ,则 点 M 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 .

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 1 2 2 ? 15.已知实数 x , ,则 z ? ? x ? 8? ? ? y ? 1? 的取值范围为 y 满足 ? y ? x ? 3 2 ? ? ? x ? 4 y ? 12 ? 0



16.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,是该四棱锥的 体积为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ,若 a1 ? 1 ,且 2a1 ,a3 ? 1 ,a4 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 d ? 0 ,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? ? an ? n ? 2? ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 如图所示,在 △ ADE 中, B ,C 分别是 AD ,AE 上的点,若 A ?

?
3

,AB ? 4 ,AC ? 16 .

(Ⅰ)求 sin ?ABC 的值; (Ⅱ)记 △ ABC 的面积为 S1 ,四边形 BCED 的面积为 S2 .若 19.(本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面三角形 ABC 是直角三角形,四边形 A1 ACC1 和四边形
A1 ABB1 均为正方形, E ,F 分别是 C1C ,BC 的中点, AB ? 1 .
S1 16 ? ,求 BD ? CE 的最大值. S2 33

???? ? 1 ???? ? (Ⅰ)若 A1D ? A1B1 ,证明: DF ? 平面ABE ; 2 ???? ? 7 ???? ? (Ⅱ)若 A1D ? A1B1 ,求平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值. 4
20.(本小题满分 12 分) 为了解居民对某公司网上超市的“商品评价”与“服务评价”是否相关, 某研究人员随机抽取了 200 名消费者做调查,得到的数据如下表所示: 对服务满意 对商品满意 对商品不满意 合计 80 10 50 200 对服务不满意 合计

(Ⅰ) 完成上述联表, 并判断是否可以在犯错误概率不超过 0.1% 的前提下, 认为“商品评价” 与“服务评价”有关; (Ⅱ)将频率视为概率,某人在该公司网上超市进行了 4 次购物,设其对商品和服务全满意 的次数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望.

P ? K 2 ? k0 ?

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

2 ? 2 ? n ? ad ? bc ? ?K ? ,其中n ? a ? b ? c ? d ? ? ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? ? ?

21.(本小题满分 12 分) 如图, O 为坐标原点,椭圆 C :
3 x2 y 2 ,以椭圆 C 的长轴长、 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b

短轴长分别为两邻边长的矩形的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1 (Ⅱ)若 P ,Q ,M 是椭圆上的点,且圆 M 与直线 OP ,OQ 相切, kOP ? kOQ ? ? ,求圆 M 4
的半径 r . 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ex ? ex ln x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在 ?1 ,f ?1? ? 处的切线方程; (Ⅱ)求证: f ? x ? ? ex2 .

天一大联考 2016-2017 学年高中毕业班阶段性测试(三) 数学(理科) ·答案 A 卷 一、选择题 1.【答案】A 【命题意图】 本题考查不等式的解法、集合的基本运算,着重考查学生的基本运算能力以 及逻辑推理能力. 【解析】 依题意, A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?x ?3 ? x ? 1? , B ? ?x 0 ? x ? 3? ,故

?

?

A ? B ? ?x 0 ? x ? 1? ,故选 A.
2.【答案】A 【命题意图】 本题考查复数的除法运算、 复数的几何意义, 着重考查学生的基本运算能力. 【解析】 依题意 z ?
i1017 i i 2017 i 2016 1 3 3 ? ? ? ? ? i .故在复平面内,复数 1000 i ? 3 ? 2i ? 3 ? 2i 3 ? 2i 13 13 3 ? 2i i

2? ?3 , ? ,位于第一象限,故选 A. z 所对应的点为 ? 13 13 ? ?

3.【答案】D 【命题意图】 本题考查平面向量的加减运算和数量积, 考查运算求解能力和数形结合思想. 【解析】 ) 依题意,
???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AF ? BE ? AD ? DF ? BE ? DF ? BE ? DF ? BA ? AE ? DF ? BA ? DF ? AE ? 2 ?1 ? ? ?1?

?

?

?

?

1 3 ?1?1? ? ? ,故选 D. 2 2
4.【答案】B 【命题意图】 本题考查几何概型,考查应用意识以及运算求解能力. 【解析】 依题意,设正六边形的边长为 1,则 △PQR 是边长为
2

3 的正三角形,可得 △PQR 2

的面积 S ?

3 2 3 3 3 ?3? 9 3 ?1 ? ?? ? ? ,正六边形 ABCDEF 的面积 S ' ? 6 ? ,故所求概率 4 2 4 ?2? 16

9 3 3 P ? 16 ? ,故选 B. 3 3 8 2

5.【答案】C 【命题意图】 本题考查算法循环结构,考查数学文化、阅读理解、数形结合能力. 【解析】 模拟执行程序,可得 n ? 6 ,S ? 3sin 60? ?
3 3 ,不满足条件 n ? 24 , 2

n ? 12 ,S ? 6 ? sin 30? ? 3 , n ? 24 ,S ? 12 ? sin15? ? 12 ? 0.2588 ? 3.1056 , 不满足条件 n ? 24 ;

不满足条件 n ? 24 ; n ? 48 , S ? 24 ? sin 7.5? ? 24 ? 0.1305 ? 3.132 ,满足条件 n ? 24 ,退出 循环,输出 S 的值为 3.132 ,故答案为 C. 6.【答案】C 【命题意图】 本题考查诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系,着重考查运算 求解能力.

?? ? ?? ? 1 ?? ? ?? ? 8 【解析】 ) 依题意, cos ? x ? ? ? cos s ? ? x ? ? ,故 sin 2 ? ? x ? ? 1 ? cos 2 ? ? x ? ? . 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 9
5? ? cos ? 2 x ? 3 ? 2? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ?? ? ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? 3 3 ? ? ? ? ? 2? ?? ? ? ? ? ? cos ? 2 x ? 3 ?? ?

?? 7 ? 2? ? ? 1 ? 2cos ? x ? ? ? 3? 9 ? ?


5? ? ? ? 5 2 ?? 故 cos ? 2 x ? ? ? sin ? ? x ? ? ,故选 C. 3 ? ? ?3 ? 3

7.【答案】C 【命题意图】 本题考查三角函数的图象与性质, 着重考查运算求解能力以及数形结合思想.

3 13? ? 3 2? ?? ? 【解析】 依题意, M ? 4 , T ? ? ? ? ,故 T ? ? ,? ? ? 2 ,将 A ? ,4 ? 代 4 12 3 4 T ?3 ?


?? ? ,故 A 正确;此时 f ? x ? ? 4sin ? 2 x ? ? , 6? 2 6 ? 23? ? ? 2? ? ? 4? ? ? ? 1? ? 10? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ?2 , , 则f? 故 B 正确; 函数 f ? x ? 在 ? ? ? 4sin ? ? 上单调递 6? 6 ? ? 3 ? ? 3 ? 2? ? 3
f ? x ? ? 4sin ? 2 x ? ? ? 中,因为 ? ?

?

,故 ? ? ?

?

? ? ? ? ?? 减,故 C 错误;因为 4sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 4sin 2 x ,故 D 正确,综上所述,故选 C. 12 ? 6? ? ?

8.【答案】B 【命题意图】 本题考查函数的性质,着重考查化归与转化思想. 【解析】 依题意, 函数 f ? x ? ? 2? x ? 2x 为奇函数, 且在 R 上为减函数, 故 ?m ,n ? R ? m ? n ? ,

?2? x ? 2x ,x ? 0 ? ,当 m ? n ? 0 时, f ? m ? ? f ? n ? ,故①错误;依题意, g ? x ? ? ? x ?x ? ?2 ? 2 ,x ? 0
f ? m? ? g ? m? ? f ? n ? ? g ? n ? ,即 f ? m? ? g ? m? ? f ? n ? ? g ? ?n ? ,故②正确,综上所述,故选

B. 9.【答案】D 【命题意图】 本题考查等比数列的定义、求和公式、等差中项,着重考查化归与转化思想 以及基本运算能力. 【解析】 依题意, Sn?1 ? Sn? 2 ? 2Sn ,即 ? Sn?1 ? Sn ? ? ? Sn ? 2 ? Sn ? ? 0 ,故 an? 2 ? 2an?1 ? 0 ,即
an? 2 ? ?2an?1 ,故该数列从第二项起成等比数列,由 a1 ? 3 ,S4 ? ?3 ,可解得 a2 ? ?2 ,故 S8 ? 3 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 32 ? 64 ? 128 ? ?83 ,故选 D.

10.【答案】A 【命题意图】 本题考查球的体积公式,考查空间想象能力与运算求解能力. 【解析】 因为 tan ?APO ?
PO ? 2 3 6 4 3 ,故 sin ?APO ? , cos ?APO ? ,故 AO ? , 2 3 3 3

4 6 ,易知四面体 P ? ABC 的外接球的球心 O ' 在线段 PO 上,故 O ' O2 ? AO2 ? AO '2 , 3
2 2

?4 6 ? ?4 3? 2 故? , ? 3 ? R? ? ?? ? 3 ? ? ?R ? ? ? ?
解得 R ? 6 ,故四面体 P ? ABC 的外接球的体积为 8 6? ,故选 A. 11.【答案】B 【命题意图】 本题考查双曲线的方程与性质, 着重考查学生的数形结合能力以及化归转化 思想卡萨布兰卡 【解析】 如图所示,设直线 l1 与双曲线 C 的交点 A 的坐标为 ? m ,n ? ,因为 l1 ∥ l2 ,结合 双曲线的对称性可知,四边形 MANB 为平行四边形,故 2an ? 6b 2 ,故 n ?
l1 : y ? x ? a 中,解得 m ?

3b2 ,代入 a

3b2 ? a2 ,将 ? m ,n ? 代入双曲线 C 的方程中,有 a

?3b

2

? a2 ? a4

2

?

b2 2 6 9b2 b2 5 e ? 1 ? ? ,解得 ,故 ,故选 B. ? 1 ? a2 3 a2 a2 3

12.【答案】D 【命题意图】 本题考查导数的应用和构造函数,着重考查创新意识和转化与化归思想. 【解析】 由 2017 f ? x ? ? 2016 f ? x ? 得 f ? x ? ? 0 ,由 f ' ? x ? ? 2016 f ? x ? ? 0 可得
f ' ? x ? e 2016 x ? 2016 f ? x ? e 2016 x f ' ? x ? ? 2016 f ? x ? f ? x? ? f ? x? ? ? ?0, 则 2016 x 在区间 ? 0 ,? ?? 上 ? 2016 x ? ' ? 2 2016 x 2016 x e e ?e ? ?e ?

单调递增,从而
f ? 2016 ? e 2016?2016 ? f ? 2018 ? e2016?2018

,即

f ? 2016 ? f ? 2018?

?

e2016?2016 ? 1 ? ?? ? e2016?2018 ? e2 ?

2016

,由 2017 f ? x ? ? f ' ? x ? ? 0 可得

f ' ? x ? e 2017 x ? 2017 f ? x ? e 2017 x f ' ? x ? ? 2017 f ? x ? f ? x? ? f ? x? ? ? ? 0, 则 2017 x 在区间 ? 0 ,? ?? 上 ? 2017 x ? ' ? 2 2017 x 2017 x e e ?e ? ?e ?

单调递减,从而
f ? 2016 ? e 2017?2016 ? f ? 2018 ? e2017?2018

,即

f ? 2016 ? f ? 2018?

?

e?017?2016 ? 1 ? ?? ? e2017?2018 ? e2 ?

2017

,综上,故选 D.

二、填空题 13.【答案】 ?448 【命题意图】本题考查二项式定理,着重考查运算求解能力和应用意识.
1 【解析】依题意,展开式中的常数项为 C7 ? 26 ? ? ?1? ? ?448 .

14.【答案】

5 2 2

【命题意图】 本题考查抛物线的定义与方程、 点到直线的距离公式, 着重考查运算求解能力.

2 ? y0 ? 4p ? p ? 【解析】依题意, ?2 ? ? y0 ,解得 p ? 4 , y0 ? ?4 , M ? 2 ,? 4? 到直线 x ? y ? 1 ? 0 折距 2 ? y ?0 ? ? 0

离为

2 ? 4 ?1 1 ?1
2 2

?

5 2 . 2

?16 ? 15.【答案】 ? ,37 ? 5 ? ?

【命题意图】本题考查线性规划,着重考查应用意识和数形结合思想. 【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示, z ? ? x ? 8? ? ? y ? 1? 表示点
2 2

D ?8 , ? 1? 与平面区域内的点的连线的距离的平方,比较可知,点 D ?8 , ? 1? 到直线 BC 的
4 5 2 2 , 点 D ?8 , ? 1? 到 C ? 2 , ? 2 ? 的距离最大, 为 37 , 故 z ? ? x ? 8? ? ? y ? 1? 5 ?16 ? 的取值范围为 ? ,37 ? . 5 ? ?

距离最小, 为

16.【答案】

40 3

【命题意图】本题考查三视图,锥体的体积公式,着重考查学生的运算求解能力以及空间想 象能力. 【解析】作出该四棱锥的直观图,如图中 A ? BCDE 所示,观察可知,该四棱锥的体积

1 40 . V ? ? 4 ?10 ? 3 3

三、解答题 17.【命题意图】本题考查等差数列的基本公式,等比中项,错位相减法,着重考查学生的 基本运算能力以及化归与转化思想.

故 Tn ? 4 ? 21 ? 7 ? 22 ? 10 ? 23 ? … ? ?3n ? 1? ? 2n ,

2Tn ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ? 10 ? 24 ? … ? ?3n ? 1? ? 2n?1 ,……………………………………6 分
∴ ?Tn ? Tn ? 2Tn ? 4 ? 21 ? 3 ? 22 ? 3 ? 23 ? … ? 3 ? 2n ? ?3n ? 1? ? 2n?1

? 21 ? 3? 2 ? 22 ? 23 ? … ? 2n ? ? ?3n ? 1? ? 2n?1
? 2 ? 3? 2 ? 2n ? 1? 2 ?1 ? ? 3n ? 1? ? 2n ?1 ? ? ? 3n ? 2 ? ? 2n ?1 ? 4 ,………………………………9 分

∴ Tn ? ? 3n ? 2? ? 2n?1 ? 4 .………………………………10 分 18.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式,着重考查运算求 解能力和转化与化归思想. 【解析】 (Ⅰ) 依题意,BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A , 解得 BC ? 4 13 , ………………3 分
2 39 AC BC ,解得 sin ?ABC ? .…………………………5 分 ? 13 sin ?ABC sin A S 16 1 (Ⅱ)依题意, S1 ? ? AB ? AC ? sin A ? 16 3 ,因为 1 ? ,故 S2 ? 33 3 .………………7 S2 33 2



分 设 BD ? x ,CE ? y , S△ADE ? S1 ? S2 ? 49 3 ,

1 ? 又 S△ADE ? ? ? 4 ? x ? ? ?16 ? y ? ? sin ? 49 3 ,故 ? 4 ? x ??16 ? y ? ? 196 ,……………………9 2 3
分 故 132 ? xy ? 16x ? 4 y ? 16 xy ,即 xy ? 16 xy ? 132 ? 0 ,



?

xy ? 6

??

xy ? 22 ? 0 ,故 xy ? 6 ,故 xy ? 36 ,……………………11 分

?

当且仅当 x ? 3 ,y ? 12 时等号成立,故 BD ? CE 的最大值为 36.…………12 分 19.【命题意图】本题考查空间位置关系的判断与证明,求二面角,着重考查学生的空间想 象能力以及化归与转化思想. 【解析】 (Ⅰ)方法一:取 AC 的中点 M ,连接 A1M , FM ,故 MF ∥AB ,且 MF ?

1 AB , 2

又 A1D ∥ AB ,且 A1 D ?

1 AB ,故 MF ∥ A1 D 且 MF ? A1 D ,故四边形 A1 DFM 为平行四边形, 2

故 A1M ∥ DF 且 A1M ? DF .………………………………3 分 下面证明 A1M ? 平面ABE : 依题意 AB ? AC ? AA1 ,又 △ ABC 是直角三角形,所以 AB ? AC ,又 AB ? AA1 ,
AA1 ? AC ? A ,故 AB ? 平面A1 ACC1 ,故 AB ? A1M .

因为 △ACE ≌△A1 AM ,故 ?CAE ? ?AA1M ,故 ?CAE ? ?A1MA ? 90? ,故 AE ? A1M . 因为 AB ? AE ? A ,故 A1M ? 平面ABE , 因为 A1M ∥ DF ,故 DF ? 平面ABE .…………………………6 分 方法二:因为四边形 A1 ACC1 和四边形 A1 ABB1 均为正方形,故 AA1 ? AB ,AA1 ? AC ,因为 三角形 ABC 是直角三角形,故 AC ? AB .…………………………2 分
0 ? ,B ?1 ,0 ,0 ? , 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz , 则有 A ? 0 ,0 ,
1? 1 ? ?1 ? ?1 ? E?0 , 1 , ? , F ? , ,0 ? , A1 ? 0 ,0 , 1? , B1 ?1 ,0 , 1? , D ? ,0 ,1? . 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ??? ? ??? ? 1 ? 故 DF ? ? 0 , , ? 1? , AB ? ?1 ,0 , 0? , DF ? AB ? 0 ,即 DF ? AB ,……………………4 2 ? ?


??? ? ? ???? ??? ? 1? 又 AE ? ? 0 ,1 , ? ,故 DF ? AE ? 0 ,即 DF ? AE , 2? ?

因为 AB ? AEA ? A ,故 DF ? 平面ABE .…………………………6 分

(Ⅱ)易知平面 ABC 的一个法向量 m ? ? 0 ,0 , 1? ,设面 DEF 的法向量为 n ? ? x ,y ,z ? ,
???? ? 7 ????? ? 7 ? ?7 ? ∵ A1 D ? A1 B1 ? ? ,0 ,0 ? ,∴点 D 的坐标为 ? ,0 ,1? .………………8 分 4 ?4 ? ?4 ?

1 1 ? 1 ??? ? ? x? y? z?0 ??? ? ? 1 ? 1 1 ? ???? ? 5 1 ? 2 ? ? ?n ? FE ? 0 2 2 ∵ FE ? ? ? , , ? , DF ? ? ? , , ? 1? , ? ???? ,∴ ? , 2 2? 2 ? 2 ? 4 ? ? ?? 5 x ? 1 y ? z ? 0 ?n ? DF ? 0 ? ? 4 2

? x ? ?2 z 即? ,令 z ? ?1 ,则 n ? ? 2 ,2 , ? 1? ,…………………………11 分 ? y ? ?3z

故平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 cos ? m ,n ? ? 分

m?n m n

?

14 .…………12 14

20.【命题意图】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望,着重考查数据 处理能力及应用意识. 【解析】 (Ⅰ)所求列联表如下: 对服务满意 对商品满意 对商品不满意 合计 80 70 150 对服务不满意 40 10 50 合计 120 80 200

………………………………………………2 分
K 2 的观测值 k ?

200 ? ? 80 ? 10 ? 40 ? 70 ? 150 ? 50 ? 120 ? 80

2

≈ 11.111 ? 10.828 , ………………………………5 分

所以可以在犯错误概率不超过 0.1% 的前提下,认为商品评价与服务评价有 关.………………6 分

(Ⅱ)每次购物时,对商品和服务都满意的概率为 3,4.…………7 分

80 2 ? ,且 X 的取值可以是 0,1,2, 200 5

216 81 ? 3? 1 ? 2 ?? 3 ? 其中 P ? X ? 0 ? ? ? ? ? ; P ? X ? 1? ? C4 ; ? ?? ? ? 625 ? 5 ?? 5 ? 625 ?5? 216 96 ? 2? ? 3? 3 ? 2? ? 3? P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? ? ; P ? X ? 3? ? C4 ; ? ? ? ?? 625 ? 5? ?5? ? 5 ? ? 5 ? 625
2 4 2 2 3

4

3

16 ?2? P ? X ? 4? ? ? ? ? .……………………………………10 分 5 625 ? ?

4

X 的分布列为: X P
0 1 2 3 4

81 216 216 96 625 625 625 625 2? 2 8 ? 由于 X ? B ? 4 , ? ,所以 EX ? 4 ? ? .…………………………12 分 5? 5 5 ?

16 625

21.【命题意图】本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的综合性问题,着重考查运算求解能力 及数形结合思想.
? a 2 ? b2 3 ? ? 【解析】 (Ⅰ)依题意可知 ? a 2 ,………… ……………………2 分 ?2a ? 2b ? 8 ?

?a 2 ? 4 ? 解得 ? 2 .…………………………………………4 分 ? ?b ? 1
∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………6 分 4

(Ⅱ)设 M ? x0 ,y0 ? ,由条件可得直线 OP 的方程为 y ? kOP x ,由直线 OP 与圆 M 相切,可 得

y0 ? kOP x0
2 kOP ?1

? r ,由此可得

?x

2 0

2 2 ? r 2 ? kOP ? 2x0 y0 kOP ? y0 ? r 2 ? 0 ,………………………………7 分

2 2 2 同理可得 x0 ? r 2 kOQ ? 2x0 y0 kOQ ? y0 ? r2 ? 0 ,所以 kOP ,kOQ 是方程

?

?

?x

2 0

2 ? r 2 ? k 2 ? 2x0 y0 k ? y0 ? r2 ? 0 的两个不相等实根,……………………………………9 分

由根与系数的关系得 kOP kOQ ?

2 y0 ? r2 ,…………………………10 分 2 x0 ? r2

2 x0 y2 ? r 2 1 1 2 2 2 2 ? y0 ? 1 得 5r 2 ? 4 , 又 kOP kOQ ? ? ,由此得 0 ,即 ,结合 ? ? x ? 4 y ? 5 r 0 0 2 2 4 x0 ? r 4 4

r?

2 5 .……12 分 5

22.【命题意图】本题考查导数的几何意义,导数的应用,着重考查运算求解能力,函数与 方程思想以及转化与化归思想. 【解析】 (Ⅰ)依题意 f ' ? x ? ? e x ? e ?1 ? ln x ? ,故 f ' ?1? ? 2e ,…………………………2 分 又 f ?1? ? e ,故曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1 ,f ?1? ? 处的切线方程为 y ? 2ex ? e .……………………4 分 (Ⅱ) f ? x ? ? ex2 ? ex ? ex ln x ? ex2 ? ex ? ex ln x ? ex2 ? 0 , 令 g ? x ? ? ex ? ex ln x ? ex2 ? x ? 0? , 于是问题转化为 g ? x ? ? 0 在 ? 0 ,? ?? 上恒成立, …………5 分 易知 g ' ? x ? ? ex ? e ?1 ? ln x ? ? 2ex ,设 m ? x ? ? g ' ? x ? ,则 m ' ? x ? ? e x ? 令 ? ? x ? ? ex ? ex ,则 ? ' ? x ? ? e x ? e ,由 ? ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, ? ' ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, ? ' ? x ? ? 0 , ∴函数 ? ? x ? 在 ? 0 , 1? 上递减,在 ?1 , ? ? ? 上递增, ∴当 0 ? x ? 1 时, ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ,当 x ? 1 时, ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 , ∴ ?x ? ? 0 , ? ? ? 都有 ? ? x ? ? 0 ,即 e x ? ex ? 0 ②.………………………… 8 分 由①②知当 x ? 0 时, m ' ? x ? ? ex ?
e e ? 2e ? 2 ex ? ? 2e ? 0 , x x

e ? 2e ①, x

∴函数 y ? g ' ? x ? 在 ? 0 ,? ?? 上递增, ∴当 0 ? x ? 1 时, g ' ? x ? ? g ' ?1? ? 0 ,当 x ? 1 时, g ' ? x ? ? g ' ?1? ? 0 ,
1? 上递减,在 ?1 , ? ? ? 上递增, ∴函数 y ? g ? x ? 在 ? 0 ,

∴当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 ③,当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 ④,…………11 分

由③④知 ?x ? ? 0 , ? ? ? ,都有 g ? x ? ? 0 ⑤,当且仅当 x ? 1 时,不等式⑤取等号, ∴ f ? x ? ? ex2 .…………………………………………12 分


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