山东省青岛市城阳区2018届高三上学期期中学分认定考试数学(理)试卷


2017—2018 学年度高三期中考试

高三数学(理)试题
2017.11 1.答题前。先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答:第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答。答案必须 写在答题纸指定区域;如 需改动,先划掉原来的解答,然后再写上新的解答;不准使用涂 改液、胶带纸、修正带.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? x ? R y ? A. ? 0, 2? B. ?0, 1?

?

? 2 ? 2 ? 2 x , B ? ? x ? 1?,则A ? ? CU B ? = ? x ?
C. ? ??, 0? D. ? 0,1?

?

x ? ?log3 ? 2 ? 1? x ? 0 2.已知函数 f ? x ? ? ? ,则f ? ?8? ? f x ? 3 x ? 0 ? ? ? ?

A.1

B. ? 1

C. ? 2

D.0

3.设向量 a ? ? 3, ?1? , b ? ? ?1, x ?,则x ? 2是 a ? b ? b 的 A.充分不必要条件
2

?

?

?

? ?

?

?

B.必要不充分条件
3 2

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? 1 ?5 ? 1 ?5 ? 1 ?5 4.设 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? ,则a, b, c 的大小关系为 ?3? ? 3? ?2?
A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a >c>b

5.已知 0 ? ? ? 2? ,且角 ? 终边上一点 P ? sin ? ?

? ?

? ?? ? ? ?? ? ,cos ? ? ? ?,则? 为 ? 3? ? 3 ??
D.

A.

5? 3

B.

2? 3

C.

11? 6

5? 6

1

?x ? y ? 2 ? 0 ? 6.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则z ? x ? 2 y 的最大值是 ?x ? 1 ?
A. ? 4 C.4 C. ? 2 D.7

? 7. ?ABC 中, AB ? a, AC ? b, a ? 3, b ? 2, ?BAC ? 120 ,则 BC 边上中线 AD 的长为

? ????

? ? ??

?? ?

A.

5 2

B.

19 2

C.

7 2

D.

13 ? 6 3 2

8.已知函数 y ? f ? x ? 是 R 上的偶函数,在 ?0, ??? 上是单调递减函 数.下列命题: 命题 p : f ? x ? 在? ??, 0? 上单调递增且 f ? 0? 是f ? x ? 的最大值; 命题 q : 若f ? a ? ? f ? 2? ,则实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 2 . 则下列命题为真的是: A. p ? q B. ? ?p ? ? q C. p ? ? ?q ? D. ? ?p ? ? ? ?q ?

9.关于函数 f ? x ? ? x ? ln x ?

2 的单调性和零点情况说法正确的是 x

A.在定义域上恒为单调递增函数;在 ? 0, ??? 上无零点; B.在定义域上有增也有减;在 ?1, ?? ? 上有零点; C.在定义域上恒为单调递增函数;在(1,e)上有唯一零点; D.在定义域上有增也有减;在 ? ,1? 上有零点. 10. ?ABC,若 sin A, cos A.直角三角形

?1 ? ?e ?

B ,sin C 成等比数列,则 ?ABC 的形状为 2
C.等边三角形 D.等腰三角形

B.等腰直角三角形

11.若方程 k ? log 1 2 ? x ? 1? 仅有一个实 数根,则实数 k 的取值集合是
2

A. ?1?

B. ? ??,0?

C.[0,1)

D. ?0?
2

12.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, f ? x ? ? ? f ? x ? 2?,当? 01 ,, ? f ? x? ? x ,则

f ? 2017.5? 等于
2

A. ?

1 4

B.

1 4

C.

1 2

D. ?

1 2

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13 . 等 差 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 为 Sn , 且

a2 ? 1, S9 ? ?45,则?an ? 的通项公式 an ? __________.
14.在 ? 0,2 ? 上任取实数 a和b ,方程 x ? 2bx ? a ? 0 有
2

实根的概率为_________. 15.函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2ln x在? 0, ? ?? 上的极大值为________ ___. 16.若 a ?

?

?

2 0

sin xdx,则y ? ax ? e x ?1 在在 x ? ?1 处的切线方程为___________.

三、解答题: 共 70 分.解答应写出文字说明. 17.(本题满分 12 分)已知 m ? ? sin x,cos x ?, n ? 1, 3 , f ? x ? ? m ? n ? 2 m . (I)若

??

?

?

?

?? ?

?

??

?

?
3

?? ?

4? ,且x ? ? 时, f ? x ? 恰取得最值,求角 ? 和此时 f ? x ? 的最值; 3

(Ⅱ)若 f

?? ? ? ?

4 4? ? ,求 cos ? 2? ? 3 3 ?

? ? 的值. ?

18.(本题满分 12 分 )

??? ? ??? ? ?ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c, BA?AC ? 9 .
(I)若 b ? 3, c ? 6,求?ABC 的面积 S; (Ⅱ)若 cos A ? ? ,

1 sin B 1 ? ,求a和 sin B 的值. 3 sin C 3

19.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? n2 ? 8n, 又S9 , a6 恰为等比数列

?bn ? 的连续前后两项,b2=27.
(I)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,请分析,是否存在正整数 n ? N ,使 Tn ? 125 ?若有,求出
?

n;若没有,请分析给出理由. 20.(本题满分 12 分) 某体检中心开展综合身体指标检查的同时, 可以按一定的测算公式对受检人身体综合素质情 况进行综合评价赋分(百分制),为单位和个人作为参考使用.现选取某单位拟招录的同一年
3

龄段的 n 名新员工身体 素质综合得分作为样本,按照得分分布分成 5 组,[50,60),[60, 70 ),[70,80),[80,90),[90,100),得分分布情况绘制为频率分布直方图如下表所示:现 已知得分在 50—60 之间被淘汰的人数为 2. (I)求出 a 和 n 的值; (Ⅱ)若成绩落在[80,100]中的来自城市和乡村的人数比为 1:2, ,现从申选择 6 名作为飞行 员培养人选,求飞行员培 养人选中来自城市的人选不多于按分层抽样应有的人数的概率.

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

2 1 5 2 ? x, g ? x ? ? ? x ? ? a . x 2 2 x

(I)分析函数 f ? x ? 在定义域上的单调性; (Ⅱ)已知 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?,若h ? x ? ? 0在区间 ?e 2 , e ? 上有实根,求实数 a 的取值范

? ?

?

1

? ?

围. 22.(本题满分 10 分)
2 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? ? ?1? x ? 2 , g ? x ? ? x ? x, k ? ?1, 2? . k

(I)若 a ? 0, k ? 2 ,解不等式 f ? x ? ? g ? x ? ; (Ⅱ)若 k ? 1 ,试证明,不存在 a ? 0, a ? 2,使f ? x1 ? ? g ? x2 ? 对任意 x1 , x2 ? R 都恒成立.

2017-2018 学年度高三期中考试 高三数学(理)试题参考答案及评分标准
合题目要求的. 1-5.BAACD 6-10 BCCCD 11-12 DB 2017.11

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分.

4

13.

14.

15.

16.

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明, 17. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)

…………………………3 分

所以

因为

,所以

…………………………4 分

可以看出只有当

时,

有最小值



即 此时



取得最小值…………………6 分

所以,



有最小 值

………………………7 分

(Ⅱ)

所以

(*)…………………….8 分

因为

………………………10 分 将(*)式代入上式得:
5

…………………12 分 18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 所以 与 的夹角为 的补角, ,

所以

,因为

所以

…………………………2 分

所以

……………………4 分

(Ⅱ) 所以

因为 所以

,所以 ………………………………7 分

所以 所以 ………………………………9 分

,所以

…………10 分

由正弦定理:

所以

,解得:

………………………………12 分

19. (本题满分 12 分)
6

解:(Ⅰ)由 (i) (ii) 时,得 时,由 时也符合上式 , 都有 的首项 …………………6 分 ,公比为 ,计算可得: ………………2 分 …………5 分

可以看出 所以,对任意

(Ⅱ) 设等比数列

恰为等比数列

的连续前后两项,所以

……7 分

,所以 所以

………………………9 分 可以看出, 计算得 随着 的增大而增大

时, 所以,不存在正整数

,且总有 ,使 ……………………………12 分 20. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由频率分布直方图的特点: 可得:

7

解得 之间的人数为 人,频率为

……3 分

所以

…………………6 分 ,

(Ⅱ) 设飞行员培养人选中来自城市的人选不多于按分层抽样应有的人数为事件 成绩 落在[80,100]中的总人数为 其中来自城市和 乡村的人数比为 ,所以 人

人中,有来自城市 人,来自乡村的 人. 名和

从中选择的 6 名作为飞行员培养人选中 , 若按分层抽样应该得到的人数分别为 名……………………………8 分 由题意,要求来自城市的不多于按分层抽样应有的人数, 人中来自城市的人数 可能为 或 人,或 人……………………………9 分 从 人中选取 人的总方法种数为 种, 种, 来自城市的人数为 的方法种数为 种

来自城市的人数为 的方法种数为 来自城市的人数为 的方法种数为 由等可能性事件的概率, 所以



所以飞行员培养人选中来自城市的人选不多于按分层抽样应有的人数的概率为 21. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)函数 的定义域为

…12 分

………………… 1 分 令 (1)当 ,为开口向上的二次函数, 时, ,二次函数 , 图像与 轴无交点
8

对所有



恒成立,所以

恒成立

所以

时,函数

在定义域



恒为单调递增函数…………………………2 分 ( 2)当 或 时, ,二次函数 图像与 轴有两交点,令

得两交点横坐标分别为

(i)如果 所以在 所以在 所以 (ii)当

,二次函数 上, 函数 上, 时,函数

对称轴 恒成立

,位于 轴左侧,由

定义域 对称轴

上恒为 单调递增函数…………………4 分 ,位于 轴右侧,由

时,次函数

由二次函数的性质,可以得到: 当 当 当 所以,当 时, 时, 时, 时,函数 在区间 在区间 在区间 综上可得: 时,函数 ,所以 ,所以 ,所以 上为单调递增函数; 上为单调递减函数; 上为单调递增函数…………………5 分 在定义域 上恒为单调递增函 ;

9

数;当

时,函 数

在区间 在区间 在区间 (其中

上为单调递增函数; 上为单调递减函数; 上为单调递增函数. )……………6 分

(Ⅱ)



,得:

…………………………7 分



令 列出

,得

……………………8 分 在 的变化情况如下表:

…………………11 分 由题意可知, 所以 有解,即存在 …………………………………12 分
10

,使

成立,

22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ) 当 当 当 时, 时, 时, 时, ,所以 ,所以 ,所以

综上,有 (i)当 得: 由 (ii) 当 得: 由 (iii)当 即: 考虑条件 ,得: 时, ,即 ,得 时, ,解得: ,所以此时无解. 时, ,即

……………………………3 分

,解得:

,由 ,解得:

综合(i)(ii)(iii) 可得:不等式 即 (Ⅱ)因为 (i) 当 ,所以 , 成立

的解集合为 的解集为 …………………6 分

等号当且仅当

11

即对任意

,当且仅当

时,

又 对任意 所以必有 ,都有

,对任意 恒成立

,



得 (ii) 当

,与

矛盾,所以这时 不存在 …………………8 分 , 成立 ,当且仅当 ,都有 时, 恒成立

等号当且仅当 即对任意 对任意 所以必有





,与

矛盾,所以这时 不存在. ,使 对任意 都恒成

综 合 ( i ) (ii) 可 得 : 不 存 在 立……………………………10 分

12


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