高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差课件_图文

2.了解超几何分布,并能进行简 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及 其分布列的概念,认识分布列刻画随机现 象的重要性,会求某些取有限个值的离散 型随机变量的分布列. 单应用. 3.理解取有限个值的离散型随 机变量的均值、方差的概念. 4.会求简单离散型随机变量的 均值、方差,并能利用离散型随 机变量的均值、方差概念解决一 些简单问题.

知识链条完善
考点专项突破 解题规范夯实

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.随机变量和函数有何联系和区别?
提示:联系:随机变量和函数都是一种映射,随机变量是随机试验结果 到实数的映射,函数是实数到实数的映射,随机试验结果的范围相当于 函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域. 区别:随机变量的自变量是试验结果,而函数的自变量是实数. 2.离散型随机变量分布列的性质是什么? 提示:随机变量的各个值对应的概率在[0,1]上且取所有值的概率之和

等于1.
3.离散型随机变量方差的意义是什么? 提示:随机变量的取值与其均值的偏离程度,方差越大偏离程度越大.

知识梳理
1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 ,常用字母X,Y,ξ ,η ,… 表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X 取每一 个值 xi(i=1,2,…,n)的概率为 P(X=xi)=pi,则表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列,有时为了简单起见, 也用等式 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n 表示 X 的分布列.

(2)分布列的性质 ①pi≥0,i=1,2,…,n;
② ? pi =1.
i ?1 n

(3)常见离散型随机变量的分布列 ①两点分布 若随机变量 X 的分布列为 X P 0 1-p 1 p

则称 X 服从两点分布,并称 p=P(X=1)为成功概率.

②超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则
n?k Ck M ? CN ? M P(X=k)= (k=0,1,2,…,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈ n CN

N*),称分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列具有下表的形式,则 称随机变量 X 服从超几何分布. X P 0
n ?0 C0 M CN ? M Cn N

1
n ?1 C1 M CN ? M Cn N

… …

m
n?m Cm M CN ? M Cn N

3.均值与方差 (1)均值 称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或 数学期望 .它反映 了离散型随机变量取值的 平均水平 .
(2)方差 称 D(X)=
(x ? E ( X )) ?
i ?1 i n 2

pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均

值 E(X)的 平均偏离程度 ,称其算术平方根 D( X ) 为随机变量 X 的标准差.

(3)均值与方差的性质 ①E(aX+b)= aE(X)+b. ②D(aX+b)= a2D(X).(a,b为常数)

夯基自测
1.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 1
3 5

2
3 10

3
1 10

则 X 的数学期望 E(X)等于( A ) (A)
3 2

(B)2

(C)

5 2

(D)3

3 3 1 15 3 解析:E(X)=1× +2× +3× = = . 5 10 10 10 2

故选 A.

2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= ( A (A)
3 16

1 ,k=1,2,…,则 P(2<X≤4)等于 2k

) (B)
1 4

(C)

1 16

(D)

5 16

解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=

3 . 16

3.某足球队在五次点球中进球的次数为随机变量X,则X的值域 为 .

解析:X=0,1,2,3,4,5. 答案:{0,1,2,3,4,5}

4.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中的 2篇才能及格,某同学能背诵其中的6篇,则他能及格的概率是 .

2 1 C6 C4 C 3 2 解析: 3 + 36 = . C10 C10 3

答案:

2 3

5.5件产品中有1件次品,从中任取两件,其次品数为X,求X的分布列.
C2 3 解:P(X=0)= 4 = , 2 C5 5 C1 2 P(X=1)= 4 = . 2 C5 5

则 X 的分布列为 X P 0
3 5

1
2 5

考点专项突破

在讲练中理解知识

考点一 离散型随机变量的分布列
1 2 k 【例 1】 判断 pk= C3 ( )3? k ( ) k (k=0,1,2,3)是否为某一离散型随机变量的分 3 3

布列?
解:一方面,显然 pk≥0,
1 0 2 3 0 1 3 2 0 另一方面 p0+p1+p2+p3= C3 ( ) ( ) +…+ C3 ( ) ( ) 3 3 3 3 3 1 2 = ( ? )3 =1, 3 3 1 2 k ( )3? k ( ) k (k=0,1,2,3)可为一随机变量的分布列. 所以 pk= C3 3 3

反思归纳 其和为1即可.

一般地检验随机变量的分布列,只要检验各个概率非负和

【即时训练】 已知随机变量ξ 等可能取值1,2,3,…,n,如果 P(ξ <4)=0.3,那么( (A)n=3 (B)n=4 (C)n=10 (D)n无法确定
解析:P(ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)= 所以 n=10.故选 C.
3 =0.3, n

)

考点二 离散型随机变量的均值(期望)【高频考点】
【例 2】 (2015 高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 25 频数(次) 20 (1)求 T 的分布列与数学期望 E(T); 30 30 35 40 40 10

解:(1)由统计结果可得 T 的频率分布为 T(分钟) 25 频率 0.2 以频率估计概率得 T 的分布列为 T 25 30 P 0.2 0.3

30 0.3 35 0.4

35 0.4

40 0.1 40 0.1

从而 E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1 =32(分钟).

(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后 立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过

120分钟的概率.
解: (2)设 T1,T2 分别表示往、 返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分布 列相同. 设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”, 由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”. 法一 P(A)=P(T1+T2≤70) =P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91. (教师备用)法二 P( A )=P(T1+T2>70) =P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故 P(A)=1-P( A )=0.91.

反思归纳

(1)求离散型随机变量数学期望的关键是求出其概率分布

列;(2)求分布列的关键是弄清楚随机变量取值的意义,根据随机变量取 值的意义把随机事件用最基本的事件表达出来(表示为几个互斥事件之 和、几个相互独立事件之积等),然后使用相关的概率公式求得其取值 的概率.

【即时训练】 (2015高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起,现 需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检 测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,
1 A1 3 2 A3 P(A)= = . 2 10 A5

(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或
者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值 (数学期望).
解: (2)X 的可能取值为 200,300,400.
1 1 2 A2 A3 1 3 2 3 +C2C3A2 P(X=200)= 2 = ,P(X=300)= = , 3 10 A5 A5 10

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1故 X 的分布列为 X P E(X)=200× 200
1 10

1 3 3 - = . 10 10 5

300
3 10

400
3 5

1 3 3 +300× +400× =350. 10 10 5

考点三

离散型随机变量的方差

【例 3】 (1)已知随机变量 X 的概率分布列为 X P 则 D(X)= 1
1 7

2
1 7

3
1 7

4
1 7

5
1 7

6
1 7

7
1 7

.

解析:(1)根据题意 E(X)=1×
1 1 1 1 1 1 1 +2× +3× +4× +5× +6× +7× =4, 7 7 7 7 7 7 7
2

所以 D(X)=(1-4) × +(6-4)2×

1 1 1 1 1 2 2 2 2 +(2-4) × +(3-4) × +(4-4) × +(5-4) × 7 7 7 7 7

答案: (1)4

1 1 +(7-4)2× =4. 7 7

(2)如图,A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过信息的最大 量依次为2,3,4,3,2,现从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信 息量的总量记为X,则D(X)= .

解析:(2)由题意 X 的可能取值为 7,8,9,10.
1 1 1 2 C2 C2 1 3 2 C2 2C1 +C2C2 P(X=7)= 3 = ,P(X=8)= = , 3 5 10 C5 C5 1 1 2 1 C1 C C C C 2 1 2 1 P(X=9)= 2 3 = ,P(X=10)= 2 3 1 = , 5 10 C5 C5

1 3 2 1 则 E(X)=7× +8× +9× +10× =8.4, 5 10 5 10 1 3 2 1 2 2 2 2 D(X)=(7-8.4) × +(8-8.4) × +(9-8.4) × +(10-8.4) × =0.84. 5 10 5 10

答案:(2)0.84

反思归纳

(1)计算离散型随机变量的方差关键是求出其分布列;(2)

注意根据方差的性质D(aX+b)=a2D(X),利用X的方差计算aX+b的方差.

【即时训练】 已知随机变量 X 的分布列为 X P 则 D(X)= 0 0.2 ;D(2X-1)= 1 0.2 . 2 0.3 3 0.2 4 0.1

解析:E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1 =1.8, 所以 D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+ (4-1.8)2×0.1 =1.56, 由方差的性质得 D(2X-1)=4D(X)=4×1.56=6.24.

答案:1.56 6.24

考点四

超几何分布【高频考点】

【例 4】 (2015 高考天津卷)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同 协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙 协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加 比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同 一个协会”,求事件 A 发生的概率;
2 2 2 C2 6 2C3 +C3 C3 解:(1)由已知有 P(A)= = . 4 35 C8

所以,事件 A 发生的概率为

6 . 35

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学 期望.
解:(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
k 4?k C5 C3 P(X=k)= (k=1,2,3,4). 4 C8

所以,随机变量 X 的分布列为 X P 1
1 14

2
3 7

3
3 7

4
1 14

随机变量 X 的数学期望 E(X)=1×
1 3 3 1 5 +2× +3× +4× = . 14 7 7 14 2

反思归纳

(1)超几何分布的特点是:总体有A,B两类元素(如男女、

正品次品等)组成,从总体中不放回的取出一定数目的元素,其中含有一 类元素的个数服从超几何分布;(2)超几何分布中随机变量取各个值的 概率是古典概型,使用古典概型的公式进行计算.

【即时训练】 (2015高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设 一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的 外观完全相同.从中任意选取3个.

(1)求三种粽子各取到1个的概率;
解:(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,
1 1 C1 1 2C3C5 则由古典概型的概率计算公式有 P(A)= = . 3 4 C10

(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
解: (2)X 的所有可能值为 0,1,2,且
3 2 C8 C1 7 7 2C8 P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C10 15 C10 15 1 C2 1 2C8 P(X=2)= 3 = . C10 15

所以 X 的分布列为 X P 故 E(X)=0× 0
7 15 7 7 1 3 +1× +2× = (个). 15 15 15 5

1
7 15

2
1 15

备选例题
【例题】 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每 枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

解:(1)当日需求量 n<16 时,卖出 n 枝,剩(16-n)枝, 当需求量 n≥16 时,16 枝全卖出.

?10n ? 80, n ? 16 所以 y= ? (n∈N). ?80, n ? 16

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得表: 日需求 量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、
数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?

请说明理由.

解:(2)由题意知,日需求量 n 与对应概率如表 日需求量 n 概率 14 0.1 15 0.2 16 0.16 17 0.16 18 0.15 19 0.13 20 0.1

①由题意知 X=60,70,80. 且 P(X=60)=P(n=14)=0.1,P(X=70)=P(n=15)=0.2,P(X=80)=P(n≥16)=0.7, 所以 X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7 =44.

②答案一:花店一天应购进 16 枝.理由如下: 当花店一天购进 17 枝玫瑰花时, 用 Y 表示当天的利润(单位:元),则 Y=55,65,75,85, P(Y=55)=P(n=14)=0.1,P(Y=65)=P(n=15)=0.2, P(Y=75)=P(n=16)=0.16,P(Y=85)=P(n≥17)=0.54. 所以 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

所以 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4, D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54 =112.04. 综上知 D(X)<D(Y)且相差较大,

虽然 E(X)<E(Y)但相差不大, 所以一天购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小, 且平均获利基本相同, 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进 17 枝玫瑰花,理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元)则 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4, 可知 E(Y)>E(X),故购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润, 故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.

解题规范夯实

把典型问题的解决程序化
数学期望的实际应用

【典例】(2015天津河西区高三质检)某批产品成箱包装,每箱5件.一用 户在购进该批产品前先取出3箱,设取出的3箱中,第一、二、三箱中分别 有0件、1件、2件二等品,其余为一等品. (1)在取出的3箱中,若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件), 求恰有两次抽到二等品的概率; 审题点拨 关键点 第三箱内含2件二等品 三箱各取两件 所获信息 有放回抽取,每次抽到二等品概率 相等 取得的二等品可以为0,1,2,3

解题突破:(1)利用二项分布;(2)利用古典概型的概率公式求分布列

满分展示: (1)设 A 表示事件 “从第三箱中有放回地抽取 3 次(每次一件),恰有两次取到 二等品”. 依题意知,每次抽到二等品的概率为
2 , 5

3 36 2 2 2 ( ) × = 故 P(A)= C 3 .………………………………………………5 分 5 5 125

(2)在取出的3箱中,若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验,用
ξ 表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ 的分布列及数学期望.
满分展示: (2)ξ可能的取值为 0,1,2,3.………………………………………………6 分
2 1 2 2 1 1 18 9 12 C2 C C C C C ? C 3 4 3 4 3 2 P(ξ=0)= 4 · = = ,P( ξ =1)= · + · = , 2 2 2 2 2 2 25 C5 C5 100 50 C5 C5 C5 C5 1 1 2 2 1 2 3 1 C1 C ? C C C C C 3 2 4 2 4 2 P(ξ=2)= 4 · + · = ,P( ξ =3)= · = .……10 分 2 2 2 2 2 2 C5 C5 C5 C5 10 C5 C5 25

ξ的分布列为 ξ P 0
9 50

1
12 25

2
3 10

3
1 25

数学期望为 E(ξ)=0×

9 12 3 1 +1× +2× +3× =1.2.………………12 分 50 25 10 25

解题模板: 第一步:计算一次抽到二等品的概率; 第二步:利用二项分布求得三次抽取恰好两次抽到二等品的概率; 第三步:确定随机变量ξ的所有可能取值,并计算其取各个值的概率; 第四步:写出分布列,并计算其数学期望.


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