新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题五立体几何第1讲空间几何体练习文

第 1 讲 空间几何体 1.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2,高为 8 的 圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆 柱各一个,则新的底面半径为________. 答案 7 1 2 1 2 2 2 解析 设新的底面半径为 r,由题意得 π r ·4+π r ·8= π ×5 ×4+π ×2 ×8,解得 r 3 3 = 7. 2. (2016·课标全国丙改编)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球, 若 AB⊥BC, AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是________. 答案 9π 2 解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3,所以球的最大直径为 3,V 9π 的最大值为 . 2 π 3.(2015·山东改编)在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 答案 5π 3 解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线 旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径,线段 BC 为 母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所 1 2 2 示, 该几何体的体积为 V=V 圆柱-V 圆锥=π ·AB ·BC- ·π ·CE ·DE= 3 1 5π 2 2 π ×1 ×2- π ×1 ×1= . 3 3 4.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它们的侧 S1 9 V1 面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 答案 3 2 2 S1 9 π r1 9 r1 3 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由 = ,得 2= ,则 = . S2 4 π r2 4 r2 2 1 由圆柱的侧面积相等,得 2π r1h1=2π r2h2, 即 r1h1=r2h2,所以 = V1 π r2 r1 3 1h1 2 = = . V2 π r2h2 r2 2 1.考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题. 热点一 空间几何体的结构特征 棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是全等且平行的多边形;棱锥的底面是任意多边形,侧 面是有一个公共顶点的三角形;棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似 多边形. 圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到;圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到;圆台可 以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的 平面截圆锥得到;球可以由半圆或圆绕直径旋转得到. 例 1 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的各侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________. 答案 ①④ 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的;底面是矩形的平行六面体的侧棱 可能与底面不垂直,故命题②是错误的;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题 ③是错误的;命题④由棱台的定义知是正确的. 思维升华 判定与空间几何体结构特征有关命题的方法: (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条 件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (2)通过旋转体的结构,可对得到旋转体的平面图形进行分解,结合旋转体的定义进行分析. 跟踪演练 1 (1)给出下列四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱; ②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体; ③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱. 2 其中正确命题的个数是________. (2)以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为________. 答案 (1)0 (2)1 解析 (1)①直平行六面体底面是菱形, 满足条件但不是正棱柱; ②底面是等腰梯形的直棱柱, 满足条件但不是长方体;③④显然错误. (2)命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥.命题②错,因为这条腰必 须是垂直于两底的腰.命题③对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以. 热点二 几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点,解决这类问题,首先要熟练掌握 各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割 成几个规则几何体的技巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 例 2 (1)已知一个圆锥的底面积为 2π ,侧面积为 4π ,则该圆锥的体积为________. (2)设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1,S1,底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和 V1 3 S1 侧面积分别为 V2,S2,若 = ,则 的值为________. V2 π S2 2 6 答案 (1) π 3 3 2 (2) π 解析 (1)设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则 π r =2π ,π rl=4π ,解得 r= 2,l=2 2,故高 h= 6, 1 1 2 6 2 所以 V= π r h= π ×2× 6= π. 3 3 3 1 πr 3 2 2 (2)因为 V1=a ,S1=6a ,V2= r·π r = , 3 3 3 2 S2=π rl= 2π r2, 所以 = V1 a3

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