高二数学周三练习


高二年级周三练习
2 4

2013.12.04

1 1.下列命题:① ?x ? R, x ? 2 ? 0 ;② ?x ? N, x ≥1 ;③ ?x ?Z, x3< ;④ ?x ? Z,x 2 ? 3 ,
其中假命题的序号是
2 2

. . .

2.命题:“若 a +b =0(a,b∈R),则 a=b=0”的逆否命题是 3.命题“ax -2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是 4.在△ABC 中,“sin 2A=sin 2B”是“A=B”的 5.如果方程 条件. .
2

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 k ? 2 3? k 2 2 6.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值是
7.已知 F1 , F2 为椭圆 则 AB =



x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 F2 A ? F2 B ? 12 , 25 9 .
2 2

8.已知点 A(0, 3)和圆 O1:x +(y+ 3) =16,点 M 在圆 O1 上运动,点 P 在半径 O1M 上,且 PM =PA,则动点 P 的轨迹方程是 7 9.在△ABC 中,|AB|=|BC|,cos B=- ,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心 18 率 e=________. 10.已知点 P(x,y)在椭圆 + =1 上,则 x +2y 的最大值是___ _____. 4 1 11.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________. x2 y2 12.如图所示,把椭圆 + =1 的长轴 AB 分成 8 等分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上 25 16 半部分于 P1、P2、?、P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则 P1F+P2F+?+P7F=________.

x2 y2

2

13.命题 p :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满足 x2 ? x ? 6 ≤ 0 或
x2 ? 2 x ? 8>0 ;若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围

14.已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点, 2 → → 点 B 也在椭圆上,且满足OA+OB=0(O 是坐标原点),AF2⊥F1F2.若椭圆的离心率等于 ,△ABF2 2 的面积等于 4 2,求椭圆的方程.

x 2 y2 a b

x y 4 14 15.椭圆 2+ 2=1(a,b>0)的两个焦点 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,PF1= ,PF2= ; a b 3 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x +y +4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直 线 l 的方程.
2 2

2

2

答案: 1.② 解析: ?x ?R ,x2 ? 2 ? 0 是真命题; x ? 0 ?N , 4 ? 0 ? 1 , ① ② 故②是假命题; x ? 0 ?Z , ③ x 2 3 x ? 0 ? 1 ,故③是真命题;④ ?x ? Z, x ? 3 是真命题. 2 2 2. 若 a≠0 或 b≠0(a,b∈R),则 a +b ≠0 3.

ax2-2ax-3≤0 恒成立,当 a=0 时,-3≤0 成立;
[-3,0]

?a<0 ? 当 a≠0 时,? ,解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.答案 2 ? ?Δ =4a +12a≤0

π 4.解析 由 sin 2A=sin 2B,得:A=B 或 A+B= , 2 ∴sin 2A=sin 2B
? 5? ?5 ? 5. ? 2, ? ? ? ,3 ? ? 2? ? 2 ?
k? 5 . 2

A=B,而 A=B,可得 sin 2A=sin 2B.答案 必要不充分
?k ? 2 ? 0, x2 y2 ? 解析:∵ 方程 解得 2 ? k ? 3 且 ? ? 1 表示椭圆,∴ ?3 ? k ? 0, k ? 2 3? k ?k ? 2 ? 3 ? k . ?

6.解析 由题意可得 2 7.8

1

m

1 1 =2×2,解得 m= .答案 4 4 ,

? AF1 ? AF2 ? 10, 解析: 由椭圆的定义, ? 得 两式相加, AB ? AF2 ? BF2 ? 20 , AB ? 1 2 得 即 2 0 ? ? BF1 ? BF2 ? 10. ∴ AB ? 8 .

8.解 ∵PM=PA,PM+PO1=4,∴PO1+PA=4,又∵O1A=2 3<4,∴点 P 的轨迹是以 A、O1 为焦点 的椭圆,∴c= 3,a=2,b=1,∴动点 P 的轨迹方程为 x + =1. 4 7 25 2 2 2 9.解析 设|AB|=|BC|=1,又 cos B=- ,则|AC| =|AB| +|BC| -2|AB|·|BC|·cos B= , 18 9 5 5 8 2c 3 3 所以|AC|= ,则 2a=1+ = ,2c=1,e= = .答案 3 3 3 2a 8 8 10.解析 法一:设点 P(2cos θ ,sin θ ),x +2y=4cos θ +2sin θ =-4sin θ +2sin θ +4; 1 2 2 令 T=x +2y,sin θ =t,(-1≤t≤1),则 T=-4t +2t+4,对称轴 t= , 4 1 1 17 17 2 ∴Tmax=Tt= = +4= ,∴x +2y 的最大值是 . 4 4 4 4
2 2 2 2 2

y2

x y 1 2 2 2 2 2 法二:由 + =1 得 x =4(1-y );令 T=x +2y,代入得 T=4-4y +2y,即 T=-4(y- ) +4 4 1 4
1 1 1 17 17 2 + ;当 y= 时 ymax=4+ = ;即 x +2y 的最大值是 . 4 4 4 4 4

2

2

11. 当以两锐角顶点为焦点时,因为三角形为等腰直角三角形,故有 b=c,此时可求得离心率

c c c 2 e= = 2 2= = ;同理,当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时,设直角边长为 m,故 a 2 b +c 2c
有 2c=m,2a=(1+ 2)m,所以,离心率 e= =

c 2c m = = 2-1.答案 a 2a (1+ 2)m

2 或 2-1 2

12 解析 由方程可知,a=5,b=4,设椭圆的另一焦点为 M,分别连接 M 与各个分点,由

对称性可知: P1M=P7F,P2M=P6F,P3M=P5F,P4F=a,由椭圆定义知: P1F+P2F+?+P7F=(P1F+P1M)+(P2F+P2M)+(P3F+P3M)+P4F=2a+2a+2a+ a=7a=35.答案 35

3 13.解: x2 - 4ax ? 3a2 ? 0 的根为 a,a .当 a ? 0 时, x2 - 4ax ? 3a2<0 的解集为 (3a, a) .
故命题 p 成立有 x ? (3a, a) .由 x2 - x- 6 ≤ 0 ,得 x ?[?2, . 3] 由 x2 ? 2 x- 8 ? 0 ,得 x? (- ?, ?4) U (2, ??) .故命题 q 成立有 x? (- ?, ?4) U[?2, ??) . 若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件,
2 因此有 (3a, a) ? (- ?, - 4) 或 (3a, a) ? [?2, ??) .又 a ? 0 ,解得 a ≤ ?4 或 ? ≤ a<0 . 3 2 故 a 的取值范围是 a ≤ ?4 或 ? ≤ a<0 . 3 c 2 1 2 → → 2 14.如图,由OA+OB=0 知,直线 AB 经过原点,∵e= = ,∴b = a , a 2 2

设 A(x,y),由 AF2⊥F1F2 知 x=c,

c2 y2 b2 a ∴A(c,y)代入椭圆方程得 2+ 2=1,∴y= = ,连结 AF1,BF1,AF2,BF2, a b a 2
1 1 由椭圆的对称性可知 S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2,所以 ·2c· a=4 2, 2 2 2 1 x y 2 2 又由 c= a,解得 a =16,b = ×16=8,故椭圆方程为 + =1. 2 2 16 8
2 2

15.解 (1)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a=PF1+PF2=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中,F1F2= PF2+PF1=2 5,故椭圆的半焦距 c= 5, 从而 b =a -c =4,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 4 (2)设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).由圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆心 M 的 坐标为(-2,1).从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得(4+9k )x +(36k +18k)x+36k-27=0. 因为 A、B 关于点 M 对称,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

x1+x2
2

18k +9k 8 =- 2 =-2.解得 k= , 4+9k 9

2

8 所以直线 l 的方程为 y= (x+2)+1,即 8x-9y+25=0.(经检验,符合题意) 9


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