(教师用)第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数_图文

第 1 课时

任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础梳理
1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为____、____、______ . ②按终边位置不同分为_______和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角α 相同的角可写成 ________________________________ .

思考感悟
1.终边相同的角相等吗? 2.弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于_________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示. (2)角 α 的弧度数 l 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么角 α 的弧度数的绝对值是|α|= . r (3)角度与弧度的换算 180 ①1° =______rad;②1 rad=( )° . π (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 r,又 l=rα,则扇形的面积为 S=____=______. 3.三角函数的定义 设 P(x,y)是角 α 终边上不同于坐标原点的任意一点,MP 垂直 x 轴于 M 点,则 OM=x,MP=y,r= x2+y2>0. x x y y y 我们把 r 叫做角 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα= r ;把r 叫做角 α 的正弦,记作 sinα,即 sinα=r ;把x叫做角 α y r r 1 1 的正切,记作 tanα,即 tanα=x.角 α 的正割:secα= = ;角 α 的余割:cscα= = ;角 α 的余切:cotα cosα x sinα y x 1 = = . tanα y (1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示,三角函数正值歌:一_____,二______,三_______,四______.

(2)三角函数线 下图中有向线段 MP,OM,AT 分别表示α 的_______,α 的________和α 的________.

思考感悟
2.三角函数值和点 P 在角α 的终边上的位置是否有关? 提示:三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α 的终边位 置决定,对于确定的角α ,其终边位置也就确定了,因此三角函数的大小只与角有关.

课前热身
2 1.若点 P 在角 π 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标为( ) 3 A.(1, 3) B.( 3,-1) C.(-1,- 3) D.(-1, 3) 2.若α =m· 360°+θ ,β =n· 360°-θ (m,n∈Z),则α 、β 终边的位置关系是( ) A.重合 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 3.已知角α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α 的终边在( ) A.x 轴上 B.y 轴上 C.直线 y=x 上 D.直线 y=-x 上 4.(教材习题改编)弧长为 3π ,圆心角为 135°的扇形的半径为________,面积为________. 5.点 P 从点(0,1)沿单位圆 x2+y2=1 顺时针第一次运动到点( 2 2 ,- )时,转过的角是________弧度. 2 2

考点突破
考点一 终边相同角的表示 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后 通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. 例 1 (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 7 3

α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、 所在的象限. 2

【规律小结】 互动探究

利用终边相同的角的集合 S={β |β =2kπ +α ,k∈Z},判断一个角β 所在的象限时,只

需把这个角写成[0,2π )范围内的一个角α 与 2π 的整数倍,然后判断角α 所在的象限即可. α 若例 1(3)中的 α 是第三象限角,试确定 2α, 终边所在的位置. 2

考点二 弧长与扇形的面积公式 涉及弧长和扇形面积的计算,可用的公式有角度和弧度两种表示方法,其中弧度表示的公式结构简单,易记好 用.弧长和扇形面积的核心公式分别是圆的周长公式 C=2πr 和圆的面积公式 S=πr2,当用圆心角的弧度数 α 代 1 替 2π 时,即可得到一般的弧长和扇形面积公式:l=|α|r,S= |α|r2. 2 例 2 (1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才能使扇形面积最大?

【名师点评】

应用上述公式时,要先把角统一用弧度表示.有关最值的问题,一般转化为求函数的最值,

把所求问题表示成某一变量的函数,进而求得最值. 考点三 三角函数的定义 (1)已知角α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函数的定义求解. (2)已知角α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数 的定义来求相关问题;若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α 的值. 例 3 已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cosα= 3 x.求 sinα、tanα 的值. 6

【规律小结】

已知角α 终边上一点 P,应用定义求三角函数值时,需求出点 P 到原点的距离 r,若点 P 的

坐标含有字母,在字母的符号不确定的情况下需进行分类讨论. 方法感悟 方法技巧 1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r 一定是正值. 2.(1)三角函数线是有向线段,在用字母表示时,应分清其起点、终点,其顺序不能颠倒(如课前热身 3 题). (2)三角函数曲线即三角函数的图象,与三角函数线是不同的概念,不要混淆. 3.(1)sinα 不是 sin 与α 的乘积,它是一个比值,是三角函数记号,是一个整体,实质就是“f(x)”,其他几个三 角函数也是这样. (2)在三角函数中, 角和三角函数值的对应关系是多值对应, 即给定一个角, 它的各个三角函数值是唯一确定的(不 存在的情况除外);反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应,如:α =0 时,sinα =0,但当 sin α =0 时,α =kπ ,k∈Z. 失误防范 1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第 三类是区间角.

2.角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示

考情分析
从近几年的高考试题来看,以三角函数的定义为载体,求三角函数值成为这几年高考热点,试题一般以基础题 为主,难度不会太大,属于低、中档题目.如 2010 年新课标全国卷就考查三角函数的定义. 预测 2012 年高考对三角定义及三角函数符号仍会考查.

真题透析
例 (2010 年高考课标全国卷)如图, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P0( 2, - 2), 角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

本题出题角度新颖,考查了三角函数的定 性质及学生识图、用图的能力.试求若 t=π 时,P 点的坐标

【 名师点评】 义、图象、

名师预测
π 1.若- <α<0,则点 P(tanα,cosα)位于( ) 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 α α |sin | |cos | 2 2 2.若 α 是第三象限角,则 y= + 的值为( ) α α sin cos 2 2 A.0 B.2 C.-2 D.2 或-2 3.若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于( A.5 B.2 C.3 D.4 3π 3π 4.已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( ) 4 4 5π 7π π 3π A. B. C. D. 4 4 4 4

)

课时作业

一、选择题 1.下列各角中,角的终边过点 P(- 3,1)的是( ) π 2π A.- B. 3 3 5π 3π C. D. 6 4 答案:C 2.已知 cosθ· tanθ<0,那么角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 解析:选 C.法一:∵cosθ· tanθ=sinθ<0,cosθ≠0, ∴θ 为第三或第四象限角,故选 C. 法二:由 cosθ· tanθ<0, ?cosθ<0, ?cosθ>0, ? ? 则? Ⅰ 或? Ⅱ ?tanθ<0. ?tanθ>0, ? ? 故 θ 为第三或第四象限角,故选 C. 3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( ) π 2π A. B. 3 3 C. 3 D. 2 解析:选 C.设圆半径为 R,由题意可知:圆内接正三角形的边长为 3R.∴圆弧长为 3R.∴该圆弧所对圆心 3R 角的弧度数为 = 3. R 4 4.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30° ),且 cosα=- ,则 m 的值为( ) 5 1 1 A.- B. 2 2 3 3 C.- D. 2 2 解析:选 B.r= 64m2+9, -8m 4 ∴cosα= =- ,∴m>0. 2 5 64m +9 4m 2 1 1 = ,∴m=± . 2 2 64m +9 25 1 ∵m>0,∴m= . 2 ∴ 5.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为( )

解析:选 C.如图, 取 AP 的中点为 D,设∠DOA=θ, 则 d=2Rsinθ=2sinθ,l=2θR=2θ, l ∴d=2sin ,故选 C. 2 二、填空题 6.若角 α 与 β 的终边在一条直线上,则 α 与 β 的关系是________. 解析:当 α、β 的终边重合时,

β=α+k·2π,k∈Z. 当 α、β 的终边互为反向延长线时, β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z. 综上,β=α+kπ,k∈Z. 答案:β=α+kπ,k∈Z |sinα| |cosα| 7.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,则 - =________. sinα cosα |sinα| 解析:因为角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,所以角 α 是第二象限角,因此 sinα>0,cosα<0,故 - sinα |cosα| sinα -cosα = - =1+1=2. cosα sinα cosα 答案:2 8.如图所示, 已知 x 轴上一点 A(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速 圆周运动,1 秒钟时间 转过 θ 角(0<θ≤π),经过 2 秒钟点 A 在第三象限,经过 14 秒钟,与 最初位置重合,则角 θ 的弧度数为________. 解析:根据题意,角 θ 满足 0<θ≤π,2θ 的终边在第三象限, 14θ 的终边与 OA 重合. 3π ∴2kπ+π<2θ<2kπ+ ,k∈Z,14θ=2nπ,n∈Z, 2

? ?kπ+π<θ<kπ+3π,k∈Z, 2 4 ∴? nπ ? ?θ= 7 ,n∈Z.

0<θ≤π,

① ② ③

π 3π 由①和②可知,θ∈( , ), 2 4 π nπ 3π 代入③,有 < < ,得 4≤n≤5, 2 7 4 4π 5π ∴n=4 或 5,∴θ= 或 . 7 7 4π 5π 答案: 或 7 7 三、解答题 9.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tanθ=-x,求 sinθ,cosθ 的值. 解:∵θ 的终边过点(x,-1)(x≠0), 1 ∴tanθ=- ,又 tanθ=-x, x 2 ∴x =1,∴x=± 1. 2 2 当 x=1 时,sinθ=- ,cosθ= ; 2 2 2 2 当 x=-1 时,sinθ=- ,cosθ=- . 2 2 π 10.已知 α= . 3 (1)写出所有与 α 终边相同的角; (2)写出在(-4π,2π)内与 α 终边相同的角; β (3)若角 β 与 α 终边相同,则 是第几象限的角? 2 解:(1)所有与 α 终边相同的角可表示为 π {θ|θ=2kπ+ ,k∈Z}. 3 π (2)由(1),令-4π<2kπ+ <2π(k∈Z), 3 1 1 则有-2- <k<1- . 6 6 又∵k∈Z,∴取 k=-2,-1,0.

11π 5π π 故在(-4π,2π)内与 α 终边相同的角是- 、- 、 . 3 3 3 π β π (3)由(1)有 β=2kπ+ (k∈Z),则 =kπ+ (k∈Z). 3 2 6 β ∴ 是第一、三象限的角. 2 tan?-3? 11.(探究选做)(1)确定 的符号; cos8· tan5 (2)已知 α∈(0, π), 且 sinα+cosα=m(0<m<1), 试判断式子 sinα-cosα 解:(1)∵-3,5,8 分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan5<0,cos8<0, ∴原式>0. π (2)若 0<α< ,则如图所示,在单位圆中,OM=cosα,MP=sinα, 2 ∴sinα+cosα=MP+OM>OP=1. π 若 α= ,则 sinα+cosα=1. 2 π 由已知 0<m<1,故 α∈( ,π). 2 于是有 sinα-cosα>0.

的符号.


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