高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:聚焦导数中的逆向题

聚焦导数中的逆向题 近几年来,在各类模拟卷及各地高考卷中,频频出现导数运算的逆向题.解 此类题要点是构造适当的函数,通过导数与单调性之间的关系来解决问题. 一、逆用导数的定义 例 1 设 y=f(x)在 x=x0 处可导,且 f '( x0 ) =-2,则 lim h ?0 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) 等于 h ( ) (A) 1 2 h ?0 (B) 2 (C) - 1 2 (D) -2 解: lim f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? ? lim = lim h ? 0 h ? 0 h ?( ? h ) ?h =- f '( x0 ) =2,故选(B). 点评:本题逆用导数的定义,即 f '( x0 ) =-2= lim 中△x=-h. 二、逆用差的导数法则 例 2 设 f(x),g(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f '( x) > g '( x ) ,设 a>b>0, 则下列各式正确的是( (A) f '(a) ? f '(b) (C) f(a)-f(b)>g(a)-g(b) ) (B) f '(a) ? f '(b) (D) f(a)-f(b)<g(a)-g(b) ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,本题 ?x 解:由 f '( x) - g '( x ) >0,即 [ f ( x) ? g ( x)]' ? 0 , 所以 f(x)-g(x)在(0,+∞)上是增函数,而 a>b>0, 故 f(a)-g(a)>f(b)-g(b),即 f(a)-f(b)>g(a)-g(b),而选(C). 点评:本题逆用差的导数的运算法则,结合函数的单调性而使问题解决. 三、逆用积的导数法则 例3 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)+x f '( x) <0,且 f(4)=0, 则不等式 xf(x)<0 的解集为( (A) (-4,0)∪(4,+∞) (C) (-∞,-4)∪(4,+∞) ) (B) (-4,0)∪(0,4) (D) (-∞,-4)∪(0,4) 解:设 F(x)=xf(x),则 F '( x) =f(x)+x f '( x) , 当 x>0 时, F '( x) <0,F(x)为(0,+∞)上的减函数. 又 f(4)=0,即 F(4)=0,且函数 F(x)为偶函数, 所以 xf(x)<0 的解集是(-∞,-4)∪(4,+∞),故选(C). 点评:本题逆用导数的积的运算,从而使问题简化. 四、逆用商的导数法则 例 4 设 f(x)、 g(x)是定义在 R 上恒大于零的可导函数, 且 f '( x) g(x)-f(x) g '( x ) >0,则 a<x<b 时有( (A)f(x)g(x)>f(b)g(b) (C) f(x)g(b)>f(b)g(x) ) (B) f(x)g(a)>f(a)g(x) (D) f(x)g(a)>f(x)g(x) 解:因为 f '( x) g(x)-f(x) g '( x ) >0, 所以 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) f ( x) ]' >0, >0,即 [ 2 g ( x) g ( x) f ( x) 在 R 上是增函数,又 a<x<b, g ( x) f (a) f ( x) f (b ) < < ,又 f(x)、g(x)是定义在 R 上恒大于零, g (a) g ( x) g (b ) 所以 所以 故有 f(x)g(a)>f(a)g(x),而选(B). 点评:通过构造函数,逆用商的导数的运算法则,确定函数 利用单调性得出大小关系. f ( x) 的单调性, g ( x)

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