江苏省宿迁市2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题

宿迁市 2017—2018 学年度高二第一学期期末数学试卷

(考试时间 120 分钟,试卷满分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答.题.
卡.相.应.位.置.上..

1.写出命题“ ?x ?R,2x ? 0 ”的否定: ▲ .

开始

2.抛物线 x2 ? 8 y 的准线方程是 ▲ .
3.直线 3x ? 4y ?10 ? 0 和圆 x2 ? y2 ? 9 的公共点个数为 ▲ .
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为 ▲ .
I←1,S←0 While I<9
S←S+2I I←I+3 End While Print S

S←0,n←1

n←n+1

n <4 N
输出 S

S?S? 1 n(n ?1)
Y

结束
(第 6 题)

(第 4 题) 5.已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ?1, O 为 AB 的中点,若在长方形 ABCD 内随机取一点 M ,则

OM ≤1 的概率为 ▲ .

6.根据如图所示的算法流程图,可知输出的结果 S 为



. [

7.已知一组数据 x ,8,7,9,7,若这组数据的平均数为 8 ,则它们的方差为 ▲ .

8.以 (3,4) 为圆心且与圆 x2 ? y2 ? 1 外切的圆的标准方程为 ▲ .

9.若函数 y ? f (x) 的图象在点 M (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 1 x ?1 ,则 f (2) ? f ?(2) 2
的值为 ▲ .

10.已知双曲线 C 与 x2 ? y2 ? 1有公共渐近线,且一个焦点为 (4,0) ,则双曲线 C 的标准方程为 ▲ . 53

11.已知 m?R

,则“ 0 ? m ?

2 ”是“方程

x2 m

?

y2 m2 ? 2

?1 表示焦点在 x

轴上的椭圆”的



条件(从“充分不必要”,“必要不充分” ,“充要”,“既不充分又不必要”中选择一个).

12.函数 f (x) ? 1 x ? sin x 在[? π , π] 上的最大值是 ▲ .

2

22

13.已知椭圆 C : x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F

,下顶点为

A .若平行于

AF 且在

y 轴上截距为 3 ?

2

的直线与圆 x2 ? ( y ? 3)2 ? 1相切,则该椭圆的离心率为 ▲ .

14.已知关于 x 的不等式 2x ? 1 对任意的 x ?(1,??) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . xa

第1页共6页

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 已知命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? m≥ 0 ,命题 q :点 A(1, ?2) 在圆 (x ? m)2 ? ( y ? m)2 ? 1的内部.
(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题“ p 或 q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 某市电力公司为了制定节电方案,需要了解居民用电情况.通过随机抽样,电力公司
获得了 50 户居民的月平均用电量,分为六 组制出频率分布表和频率分布直方图(如图所示).
频率
组距

组号 1 2 3 4 5 6

分组 [0,200) [200,400)[来
源:Zxxk.Com]
[400,600) [600,800) [800,1000) [1000,1200]

频数 2 e 14 c a 4

频率 0.04 f 0.28 d b 0.08

0.0018 0.0014

0.0008 0.0006 0.0002
0

200 400 600 800 1000 1200用电量/度

(1)求 a,b 的值;

(第 16 题)

(2)为了解用电量较大的用户用电情况,在第 5、6 两组用分层抽样的方法选取 5 户 .

①求第 5、6 两组各取多少户?

②若再从这 5 户中随机选出 2 户进行入户了解用电情况,求这 2 户中至少有一户

月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率.

17.(本小题满分 14 分)

如图,已知圆 M : (x ?1)2 ? y2 ? 9 ,点 A(?2,1) .

(1)求经过点 A且与圆 M 相切的直线 l 的方程;

(2)过点 P ?3, ?2? 的直线与圆 M 相交于 D, E 两点, F 为线段 DE 的中点,求线段 AF 长

度的取值范围.

y

A.

[来源:学科网]

M.

O

x

第2页共6页

(第 17 题)

18.(本小题满分 16 分) 某礼品店要制作一批长方体包装盒,材料是边长为 60cm 的正方形纸板.如图所示, 先在其中相邻两个角处各切去一个边长是 xcm 的正方形,然后在余下两个角处各切去 一个长、宽分别为 30cm 、 xcm 的矩形,再将剩余部分沿图中的虚线折起,做成一个 有盖的长方体包装盒.

[来源:学科网 ZXXK]

60

(第 18 题)
(1)求包装盒的容积V (x) 关于 x 的函数表达式,并求函数的定义域; (2)当 x 为多少时,包装盒的容积最大?最大容积是多少?

19.(本小题满分 16 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的左焦点为 F1(?

3,0) ,且过点 P( 3 , 2

13 ) . 4

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)已知 A1, A2 分别为椭圆 C 的左、右顶点, Q 为直线 x ?1上任意一点,直线 A1Q, A2Q 分 别交椭圆 C 于不同的两点 M ,N .求证:直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

y

N M

. A1

Q

F1

O

A2 x

(第 19 题)
20.(本小题满分 16 分)
已知函数 f (x) ? 4x ? a ln x ? 1 x2 ? 2 ,其中 a 为正实数. 2
(1)若函数 y ? f (x) 在 x ?1处的切线斜率为 2,求 a 的值; (2)求函数 y ? f (x) 的单调区间; (3)若函数 y ? f (x) 有两个极值点 x1, x2 ,求证: f (x1) ? f (x2 ) ? 6 ? ln a .

第3页共6页

高二数学试题参考答案与评分标准

1. ?x ? R,2x ≤ 0

2. y ? ?2

3. 2

4. 24

5. π 4

6. 3 4

7. 4 5

8. (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 16

9. 5 2

10. x2 ? y2 ? 1 10 6

11.必要不充分

12. π ? 3 62

13. 2 2

14.(? eln 2 ,+?)

15.(1)因为 ?x ? R, x2 ? x ? m ≥ 0 恒成立,

则 ? ?1? 4m≤0,

............................3分

解得 m ≤ ? 1 ,所以实数 m 的取值范围是 (??, ? 1] .

4

4

(2)因为“ p或q ”为假命题,所以 p 为假命题, q 为假命题.

.......6分 .......8分

当 q 为真命题时, (1? m)2 ? (?2 ? m)2 ? 1 ,解得1? m ? 2 ,

所以 q 为假命题时 m≤1或m≥2

.......10 分

由(1)知, p 为假命题时 m ? ? 1 4

.......12 分

从而

??m ? ??m

??1 4
≥ 2或m

≤1

,解得

?

1 4

?

m

≤1或m ≥

2

所以实数 m 的取 值范围为 (? 1 ,1? ?2, ??)
4

.......14 分

16.(1)频率分布直方图,知第 5 组的频率为 0.0006?200 ? 0.12 ,即 b ? 0.12 ..2 分

又样本容量是 50,所以 a ? 50?0.12 ? 6 .………………………………………………4 分

(2)①因为第 5、6 两组的频数比为 3 : 2 ,

所以在第 5、6 两组用分层抽样的方法选取的 5 户中,

第 5、6 两组的频数分别为 3 和 2.………………………6 分

②记“从这 5 户中随机选出 2 户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件 A ,

第 5 组的 3 户 记为 a1, a2 , a3 ,第 6 组的 2 户记为 b1, b2 ,
从这 5 户中随机 选出 2 户的可能结果为:a1a2 , a1a3, a1b1, a1b2 , a2a3, a2b1, a2b2 , a3b1, a3b2 , b1b2 ,共计
10 个,………9 分 其中 2 户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为:
a1b1, a1b2 , a2b1, a2b2 , a3b1, a3b2 ,b1b2 ,共计 7 个.………………………………12 分
所以 P( A) ? 7 , 10
答:这 2 户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为 7 .…14 分 10
17.(1)当过点 A 直线的斜率不存在时,其方程为 x ? ?2 ,满足条件.……………2 分 当切线的斜率存在时,设 l : y ?1 ? k(x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ?1 ? 0 , 圆心 (1, 0) 到切线 l 的距离等于半径 3,

第4页共6页

? 3k ?1 ? 3,解得 k ? 4 .……………… 4 分

k2 ?1

3

?切线方程为 y ?1 ? 4 (x ? 2) ,即 4x ? 3y ?11 ? 0 3

故所求直线 l 的方程为 x ? ?2 或 4x ? 3y ?11 ? 0 .………………6分

(2)由题意可得, F 点的轨迹是以 PM 为直径的圆,记为圆 C . …………… 8 分

则圆 C 的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2 .………………10 分

从而 AC ? (?2 ? 2)2 ? (1? (?1))2 ? 2 5 ,

…………12 分

所以线段 AF 长度的最大值为 2 5 ? 2 ,最小值为 2 5 ? 2 ,

所以线段 AF 长度的取值范围为 ??2 5 ? 2, 2 5 ? 2 ?? .……………14 分 18.(1)因为包装盒高 h ? x ,底面矩形的长为 60 ? 2x ,宽为 30 ? x ,

所以铁皮箱的体积V (x) ? (60 ? 2x) ?(30 ? x) ? x ? 2x3 ?120x2 ?1800x .……………4 分

函数的定义域为 (0,30) .………………………………………………6 分

(2)由(1)得,V ?(x) ? 6x2 ? 240x ?1800 ? 6(x ?10)(x ? 30) ,

令V ?(x) ? 6(x ?10)(x ? 30) ? 0 ,解得 x ?10 .…………………………………10 分

当 x ?(0,10) 时,V ?(x) ? 0 ,函数V (x) 单调递增;

当 x ?(10,30) 时,V ?(x) ? 0 ,函数V (x) 单调递减.………………………12 分

所以函数V (x) 在 x ?10 处取得极大值,这个极大值就是函数V (x) 的最大值.

又V (10) ? (60 ? 20) ? (30 ?10) ?10 ? 8000(cm3) .…………………………15 分

答:切去的正方形边长 x ?10cm时,包装盒的容积最大,最大容积是 8000cm3 .………16 分

19.(1)椭圆的一个焦点 F1(? 3, 0) ,则另一个焦点为 F2( 3,0) , .....2 分 由椭圆的定义知: PF1 ? PF2 ? 2a ,代入计算得 a ? 2 . .......4 分

又 b2 ? a2 ? c2 ? 1, 所以椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. .......6 分 4

(2)设 Q(1, t), M (x1, y1), N (x2, y2 ) ,

则直线

A1Q :

y

?

t (x 3

?

2)

,与

x2 4

?

y2

? 1联立,解得

M

(

?8t 2 4t 2

?18 , ?9

12t 4t 2 ?

9

)

8分

同理

N

(

8t 2 4t 2

? ?

2 1

,

4t 4t 2 ?

) 1

.......10 分

所以直线

MN

的斜率为

12t 4t2 ?

9

?

4t

4t 2?

1

?8t 2 4t 2

? ?

18 9

?

8t 2 4t 2

?2 ?1

=

?

2t 4t2 ?

3

.......12 分

第5页共6页

所以直线 MN

:

y?

12t 4t2 ? 9

?

?

2t 4t2 ? 3 (x ?

?8t 2 4t 2

?18) ?9

?

?

4t

2t 2?

3

(

x

?

4)

. .14



所以直线 MN 恒过定点,且定点坐标为 (4, 0) ......................... 16 分

20.(1)因为 f (x) ? 4x ? a ln x ? 1 x2 ? 2 ,所以 f ' (x) ? 4 ? a ? x ,........2 分

2

x

则 f ' (1) ? 3 ? a ? 2 ,所以 a 的值为 1..........................4 分

(2)

f

' ( x)

? 4?

a x

?x

?

?

x2

? 4x ? a x

,函数

y

?

f

(x) 的定义域为 (0, ??) ,

1 若16 ? 4a ≤0 ,即 a ≥ 4 ,则 f ' (x) ≤ 0 ,此时 f (x) 的单调减区间为 (0, ??) ;6 分

2 若16 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 ,则 f ' (x) ? 0 的两根为 2 ? 4 ? a ,..........8 分

此时 f (x) 的单调减区间为 (0, 2 ? 4 ? a ) , (2 ? 4 ? a, ??) ,

单调减区间为 (2 ? 4 ? a , 2 ? 4 ? a ) .............10 分

(3)由(2)知,当 0 ? a ? 4 时,函数 y ? f (x) 有两个极值点 x1, x2 ,且 x1 ? x2 ? 4, x1x2 ? a .

因为

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

4x1

? a ln

x1

?

1 2

x12

?2?

4x2

?

a ln

x2

?

1 2

x22

?2

?

4( x1

?

x2

)

?

a

ln( x1 x2

)

?

1 2

( x12

?

x22

)

?

4

? 16 ? a ln a ? 1 (42 ? 2a) ? 4 ? 4 ? a ? a ln a 2

要证 f (x1) ? f (x2 ) ? 6 ? ln a ,只需证 a ln a ? a ? ln a ? 2 ? 0............12 分

构造函数 g(x) ? x ln x ? x ? ln x ? 2 ,则 g'(x) ? 1? ln x ?1? 1 ? ln x ? 1 ,

x

x

g ' (x) 在 ?0, 4? 上单调递增,又 g' (1) ? ?1 ? 0, g'(2) ? ln 2 ? 1 ? 0 ,且 g ' (x) 在定义域上不间断,
2

由零点存在定理,可知 g ' (x) ? 0 在 (1, 2) 上唯一实根 x0 ,

且 ln x0

?

1 x0

...14 分

则 g(x) 在 (0, x0 ) 上 递减, ? x0, 4? 上递增,所以 g(x) 的最小值为 g(x0 ) .

因为 g(x0 ) ?

x0 ln x0

? x0

? ln x0

? 2 ?1? x 0

?

1 x

? 2 ? 3?(x 0

?

1 x

),

0

0



x0

? (1, 2)

时,

x0

?

1 x0

? (2,

5) ,则 2

g(x0 )

?

0

,所以

g ( x) ≥

g(x0 )

?

0 恒成立.

所以 a ln a ? a ? ln a ? 2 ? 0 ,所以 f (x1) ? f (x2 ) ? 6 ? ln a ,得证....16 分

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