广东省阳东广雅学校 高中数学下学期25平面向量应用举例教案新人教A版必修4(数学教案)

2.5.1 平面几何中的向量方法 学习目标 1.运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角 和距离等问题. 2.会用平面向量知识解决几何问题的两种方法——向量法和坐标法. 3.通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:若 O 为△ABC 重心,则= . 问题 2:水渠横断面是四边形 ABCD,,且||=||,则这个四边形为 . 二、信息交流,揭示规律 问题 3:(1)向量运算与几何中的结论“若 a=b,则|a|=|b|,且 a,b 所在直线平行或重合” 相类比,你有什么体会? (2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例. 三、运用规律,解决问题 【例 1】证明:平行四边 形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:平行四边形 ABCD. 2 2 2 2 2 2 求证:AC +B D =AB +BC +CD +DA . 用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤: (1) ; (2 ) ; (3) . 【例 2】如图,平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AD,DC 边的中点,BE,BF 分别与 AC 交于 R,T 两点,你能发现 AR,RT,TC 之间的关系吗? 1 四、变式演练,深化提高 练习 :在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单 杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 编题不只是教师的专利.请自己编题,并且加以解决. 五、反思小结,观点提炼 请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获? 布置作业 课本 P113 习题 2.5A 组第 1,2 题. 一、设计问题,创设情境 问题 1:=0 问题 2:等腰梯形 二、信息交流,揭示规律 问题 3:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出 来,例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图,平行四边行 ABCD 中,设=a,=b,则=a+b(平 2 2 移),=a-b,=b =|AD| (长度).向量的夹角为∠DAB.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问 题. 三、运用规律,解决问题 【例 1 】证明:不妨设=a,=b,则 =a+b, =a-b,||2=|a|2,||2=|b|2. 2 得|| ==(a+b)·(a+b) =a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2. ① 2 2 2 同理|| =|a| -2a·b+|b| . ② ①+②得 ||2+||2 =2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2). 所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化 为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【例 2】解:设=a,=b,则=a+b. 由与共线,因此,存在实 数 m,使得=m(a+b). 又由共线,因此存在实数 n,使得=n=n(b- a). 2 由+n, 得 m(a+b)=a+n(b-a). 整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0. 由于向量 a,b 不共线, 所以有解得 所以. 同理. 于是. 所以 AR=RT=TC. 四、变式演练,深化提高 练习:解:不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形,可以得到 |F1|=. 通过上面的式子我们发现, 当 θ 由 0°~180°逐渐变大时,由 0°~90°逐渐变大,cos 的值 由大逐渐变小,因此,|F1|由小逐渐变大,即 F1,F2 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 2.5.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.通过力的合成与分解、速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题 的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量概念和运算的认识. 2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体 会数学在现实生活中的作用. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:你掌握了物理中的哪些矢量? 二、信息交流,揭示规律 问题 2:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么? 用向量研究物理问题的步骤: 三、运用规律,解决问题 【例题】如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=500m,一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船 的速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到 0.1min)? 3 四、变式演练,深化 提高 让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够,可 转为课后作业) 五、反思小结,观点提炼 请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获? 布置作业 课本 P113 习题 2.5 第 A 组第 3,4 题;B 组第 2 题. 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题 1:力、位移、速度、加速度等. 二、信息交流,揭示规律 问题 2:夹角越大,合力越小 ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题; ②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; ③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题. 三、运用规律,解决问题 【例 1】解:|v|=(km/h), 所以 t=×60≈3.1(min). 答:行驶航程最短时,所用时间是 3.1min. 五、反思小结,观点提炼 4 1.利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化,即把物理问题转化为数学问题;②建立 模型,即建立以向量为载体的数学模型;③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;④回答问

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