惠阳高级中学10-11学年高一下学期第二次段考:数学试题


惠阳高级中学 2010-2011 学年度第二学期
高一年级第二次段考数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? ?2,3, 4? ,则 A. M ? N ? ?2,3?
x

(A C. M ? N D. N ? M (
y y



B. M ? N ? ?1,4?

2、函数 y ? a ( 0 ? a ? 1 ) 的图象大致是
y y

B)

1 O x

1 O x O 1 x O 1 x

A、 B、 C、 3、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

D、 (

C)

A、①② 4、 cos

B、②③

C、②④

D、③④ ( D)

7? ? 6
1 2
B. ?

A.

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2
( D)

5、设向量 a ? ( 1,0 ) , b ? (

1 1 , ) ,则下列结论中正确的是 2 2

A、 a ? b

B、 a ? b ?

2 2

C、 a // b

D、 a ? b 与 b 垂直 (C )

6、记等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ?

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? 2
D、96

A、12 B、24 C、48 7、如果实数 a ? b ? 0 ,那么,下列不等式中不正确的是 ...

(D



1

A、 a ? b
2

2

B、 a ? b ? 0

C、

1 1 ? a b

D、 ?

? 1? ? 1? ? ?? ? ? 2? ? 2?

a

b

8、 ?a n ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 1, a5 ? 16 , 设 若 则数列 ?a n ? 前 7 项的和为 (C A、63 B、64 C、127 D、128 9、如右图是某几何体的三视图,其中主视图和侧视图是半径为 1 的 半圆,俯视图是个圆,则该几何体的全面积是 ( B) 2? 3? A、 B、 C、 4? D、 5? 10、已知 a1>a2>a3>0,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1(i ? 1 2, 都成立的 x ,3) 取值范围是 A. ? 0, ? ( B. ? 0, ?



B)

? ?

1? a1 ?

? ?

2? a1 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? a3 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? a3 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分共 20 分,请把答案填在答题卡中相应题 号后的横线上。 11、函数 f ( x ) ? lg( x ? 2 ) 的定义域是 12、已知 sin ? ? ;

3 ? , ? ? ? ? ,则 tan ? ? 5 2




13、不等式 1 ?

1 ? 0 的解集为 x 1 , x ? 0 的最小值是 x

14、函数 y ? x ?



三、解答题:本大题共6小题,共80分,解题时应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并 且请在答题卡中作答。 15、 (满分 12 分)已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 A,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集
2 2

是 B,若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 A ? B ,则:
2

(1)求 A ? B ; (2)求 a ? b 。

2

16、 (满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? (1)求函数 y ? f ( x ) 的定义域;

1 x

(2)判断函数 y ? f ( x ) 的奇偶性并证明; (3)判断函数 y ? f ( x ) 在区间 ?1 ,??? 的单调性并证明。

17、 (满分 14 分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩其形状如图 1 所示。墩的上半部分 是正四棱锥 P ? A1 B1C 1 D1 ,下半部分是长方体 ABCD ? A1 B1C 1 D1 ,图 2、图 3 分别是 该标识墩的正(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积;

P 图1

图2

60cm

20cm A1
侧视方向

D1 D

C1 40cm 图3 B1 C 40cm

A

40cm

正视方向 B

18、 (满分 14 分) 如图所示在 ? ABC 中,D 在边 BC 上, BD ? 2 , DC ? 1 ,?B ? 60 ? , 且

?ADB ? 30? 求 AC 的长及 ? ABC 的面积。

A B D C

3

19、 (满分 14 分)设数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2 2 n?1 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)令 bn ? na n ,求数列的前 n 项和 S n ;

20、 (满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ax 和 g ( x) ? x ? a .其中 a ? R且a ? 0 . (1)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像的一个公共点恰好在 x 轴上,求 a 的值; (2)若 p 和 q 是方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的两根,且满足 0 ? p ? q ? 证明:当 x ? ? 0, p ? 时, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a .

1 , a

4

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 题号 选项 1 A 2 B 3 C 4 D 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分共 20 分,请把答案填在答题卡中相应题 号后的横线上。 11、 ?2 ,??? 12、 ?

3 4

13、 ?x | 0 ? x ? 1?

14、 2

三、解答题:本大题共6小题,共80分,解题时应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并 且请在答题卡中作答。
2 15、解: (1)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 ? 1 ? x ? 3 ,? A ? ?x | ?1 ? x ? 3? 2 由 x ? x ? 6 ? 0 解得 x ? ? 3 或 x ? 2 ,? B ? ?x | x ? ?3或x ? 2?

? A ? B ? ?x | 2 ? x ? 3? …… 6 分
(2)由不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 3? ,
2

设 x ? ax ? b ? 0 的两个实数根为 x 1 、 x 2 ,则有 ?
2

? x1 ? x 2 ? 5 ,根据韦达定理,得: ? x1 x 2 ? 6

?? a ? 5 ? a ? ?5 ,解得 ? ,? a ? b ? 1 …… 12 分 ? ? b?6 ?b ? 6
16、解: (1)要使函数有意义,则 x ? 0

? 函数 y ? f ( x ) 的定义域为 ?x | x ? 0?
(2)函数 f ( x ) ? x ?

…… 4 分

1 是奇函数,证明如下 x

证明:函数 y ? f ( x ) 的定义域为: ?? ? ,0 ? ? ?0 ,??? 任取 x ? ?? ? ,0 ? ? ?0 ,??? ,都有

f ( ? x ) ? ?? x ? ?

1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x ) ?x x

5

所以函数 f ( x ) ? x ?

1 ( x ? ?? ? ,0 ? ? ?0 ,??? 是奇函数 x 1 在区间 ?1 ,??? 上是增函数,证明如下 x

…… 8 分

(3)函数 f ( x ) ? x ?

证明:任取 x 1 、 x 2 使得 x 1 ? x 2 ? 1 ,都有

f ? x1 ? ? f ( x 2 ) ? ( x1 ?

( x ? x 2 )( x 1 x 2 ? 1 ) 1 1 ) ? ( x2 ? )? 1 x1 x2 x1 x 2

由 x 1 ? x 2 ? 1 得, x 1 ? x 2 ? 0 , x1 x 2 ? 0 , x1 x 2 ? 1 ? 0 ,于是

f ( x1 ) ? f ? x 2 ? ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ? x 2 ?
所以,函数 f ( x ) ? x ?

1 在区间 ?1 ,??? 上是增函数 x

…… 12 分

17、解: (1)请在下列方框内画出所求侧视图 注意:要标出必要的长度说明

60cm 20cm 40cm

…… 7 分 (2)该安全标识墩的体积为:

V ? VP ? A1B1C1 D1 ? VA1B1C1 D1 ? ABCD
1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 ? cm2 ? 3 18、解:在 ? ABD 中, ?BAD ? 180 ? ? ?B ? ?ADB ? 90? ,
? AB ? BD sin 30? ? 1 , AD ? BD cos 30? ? 3 ,
在 ? ADC 中, ?ADC ? 180 ? ? ?ADB ? 150 ? , 由余弦定理,可知: …… 14 分

AC ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos?ADC

6

?

3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? cos 150 ?
…… 7 分

? 7

在 ? ABC 中,由正弦定理,可知:

S ?ABC ?

1 1 3 3 AB ? BC ? sin ?B ? ? 1 ? ( 1 ? 2 ) ? sin 60? ? 2 2 4

…… 14 分

19、解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n?1) ?1 。
而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。……7 分

(Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
从而



22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ?? n ? 22n?1 ②
①-②得

(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1 。


1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

…… 14 分

20、解: (1)设函数 g ( x) 图像与 x 轴的交点坐标为( a ,0) ,…… 2 分 ∵点( a ,0)也在函数 f ( x ) 的图像上,∴ a ? a ? 0 .…… 4 分
3 2

而 a ? 0 ,∴ a ? ?1 . …… 6 分 (2)由题意可知

f ( x) ? g ( x) ? a( x ? p)( x ? q) .…… 8 分
1 ,∴ a( x ? p)( x ? q) ? 0 , a

当 x ? ? 0, p ? 时,? 0 ? x ? p ? q ?

即:当 x ? ? 0, p ? 时, f ( x) ? g ( x) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) . …… 10 分 又 f ( x) ? ( p ? a) ? a( x ? p)( x ? q) ? x ? a ? ( p ? a) ? ( x ? p)(ax ? aq ? 1) , 当 x ? ? 0, p ? 时, x ? p ? 0, 且ax ? aq ? 1 ? 1 ? aq ? 0, ∴ f ( x) ? ( p ? a) <0,

7

∴ f ( x) ? p ? a , 综上可知, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a . ,…… 14 分

8


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