【步步高】2015届高考数学总复习 第四章 4.2同角三角函数基本关系及诱导公式课件 理 北师大版


数学

北(理)

§4.2 同角三角函数基本关系 及诱导公式
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.同角三角函数的基本关系
2 2 sin α + cos α=1 . (1)平方关系: sin α (2)商数关系: cos α=tan α .

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要点梳理
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2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α

图示

与角 α 终边 的关系

相同

关于原点对称

关于x轴对称

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要点梳理
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角 图示 与角 α 终边的 关系

π- α

π -α 2

π +α 2

关于y轴 对称

关于直线y=x 对称

基础知识·自主学习
要点梳理
3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) 二 π+ α 三 -α 四 π- α 五 π -α 2 六 π +α 2
知识回顾 理清教材

sin α
cos α tan α

-sin α -sin α
-cos α tan α cos α -tan α

sin α
-cos α -tan α

cos α
sin α

cos α
-sin α

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) × (3) × (4) × (5) × (6) √

解析

B

3 4 2 - 3
-1

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用

【例 1】

3 (1)已知 cos(π+x)= , 5

思维启迪

解析

答案

思维升华

x∈(π, 2π), 则 tan x=________. (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用

【例 1】

3 (1)已知 cos(π+x)= , 5

思维启迪

解析

答案

思维升华

x∈(π, 2π), 则 tan x=________. (2)已知 tan θ=2,则 sin θ+ sin θcos θ-2cos θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5
2 2

(1)应用平方关系求出 sin x, 可得 tan x;
(2)把所求的代数式中的弦转化 为正切,代入可求.

)

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用

【例 1】

3 (1)已知 cos(π+x)= , 5

思维启迪

解析

答案

思维升华

x∈(π, 2π), 则 tan x=________. (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )

3 (1)∵cos(π+x)=-cos x= , 5 3 ∴cos x=- . 5

又 x∈(π,2π),
∴sin x=- 1-cos2x 32 4 =- 1-?- ? =- , 5 5 sin x 4 ∴tan x=cos x=3.

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用

【例 1】

3 (1)已知 cos(π+x)= , 5

思维启迪

解析

答案

思维升华

x∈(π, 2π), 则 tan x=________. (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )

(2)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ = sin2θ+cos2θ sin2θ sin θcos θ + -2 cos2θ cos2θ = sin2θ cos2θ+1 tan2θ+tan θ-2 = tan2θ+1 22+2-2 4 = 2 =5. 2 +1

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用

【例 1】

3 (1)已知 cos(π+x)= , 5

思维启迪

解析

答案

思维升华

4 x∈(π, 2π), 则 tan x=________. 3

(2)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ = sin2θ+cos2θ sin2θ sin θcos θ + -2 cos2θ cos2θ = sin2θ +1 cos2θ tan2θ+tan θ-2 = tan2θ+1 22+2-2 4 = 2 = . 5 2 +1

(2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( D ) 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用

【例 1】

3 (1)已知 cos(π+x)= , 5

思维启迪

解析

答案

思维升华

(1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现 角 α 的正弦、余弦的互化,利用 sin α =tan α 可以实现角 α 的弦切 cos α 互化.

x∈(π, 2π), 则 tan x=________. (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )

(2) 应用公式时注意方程思想的应 用:对于 sin α+cos α,sin αcos α, sin α - cos α 这三个式子,利用 (sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α, 可以 知一求二.

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用

【例 1】

3 (1)已知 cos(π+x)= , 5

思维启迪

解析

答案

思维升华

x∈(π, 2π), 则 tan x=________. (2)已知 tan θ=2,则 sin θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )
2

(3)注意公式逆用及变形应用: 1 = sin2α + cos2α , sin2α = 1 - cos2α,cos2α=1-sin2α.

题型分类·深度剖析
1+sin x 1 cos x 跟踪训练 1 (1)已知 =- ,那么 的值是 cos x 2 sin x-1 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2 2 5 (2)已知 tan θ=2,则 sin θcos θ=________.
解析 1+sin x sin x-1 sin2x-1 (1)由于 · = =-1, cos x cos x cos2x

( A )

cos x 1 故 = . sin x-1 2

sin θ· cos θ tan θ 2 2 (2)sin θcos θ= 2 = = = . sin θ+cos2θ tan2θ+1 22+1 5

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? cos?6+α? ?= ? ?

【例 2】 (1)已知 求

3 , 3

思维启迪

解析

思维升华

?5π ? ? cos? 6 -α? ?的值; ? ?

(2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)= ? 7 ? 3 ? - , 求 sin(3π+α)· tan?α- π? ?的 2 5 ? ? 值.

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? cos?6+α? ?= ? ?

【例 2】 (1)已知 求

3 , 3

思维启迪

解析

思维升华

?5π ? ? cos? 6 -α? ?的值; ? ?

(2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)= ? 7 ? 3 ? - , 求 sin(3π+α)· tan?α- π? ?的 2 5 ? ? 值.

π (1)将 +α 看作一个整体,观 6 π 5π 察 +α 与 -α 的关系. 6 6

(2)先化简已知,求出 cos α 的 值,然后化简结论并代入求 值.

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? cos?6+α? ?= ? ?

【例 2】 (1)已知 求

?5π ? ? cos? 6 -α? ?的值; ? ?

3 , ?π ? ?5π ? 3 解 (1)∵?6+α?+? 6 -α?=π, ? ? ? ?
?π ? 5π ∴ -α=π-?6+α?. 6 ? ?
?5π ? ? ?π ?? ∴cos? 6 -α?=cos?π-?6+α?? ? ? ? ? ?? ?π ? =-cos?6+α?=- ? ?

思维启迪

解析

思维升华

(2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)= ? 7 ? 3 ? - , 求 sin(3π+α)· tan?α- π? ?的 2 5 ? ? 值.

3 3,
3 3.



?5π ? cos? 6 -α?=- ? ?

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? cos?6+α? ?= ? ?

【例 2】 (1)已知 求

3 , (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) 3

思维启迪

解析

思维升华

?5π ? ? cos? 6 -α? ?的值; ? ?

(2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)= ? 7 ? 3 ? - , 求 sin(3π+α)· tan?α- π? ?的 2 5 ? ? 值.

3 =cos(π-α)=-cos α=-5, 3 ∴cos α=5. ? 7 ? ∴sin(3π+α)· tan?α-2π? ? ? ? ?7 ?? ?-tan? π-α?? =sin(π+α)· ? ?2 ?? ?π ? sin?2-α? ?π ? ? ? =sin α· tan?2-α?=sin α· ?π ? ? ? cos?2-α? ? ? cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? cos?6+α? ?= ? ?

【例 2】 (1)已知 求

3 , 3

思维启迪

解析

思维升华

?5π ? ? cos? 6 -α? ?的值; ? ?

熟练运用诱导公式和基本关 系式,并确定相应三角函数值 的符号是解题的关键.另外, 切化弦是常用的规律技巧.

(2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)= ? 7 ? 3 ? - , 求 sin(3π+α)· tan?α- π? ?的 2 5 ? ? 值.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知
? π? 1 sin?α+12?= ,则 ? ? 3

1 ? 7π? -3 cos?α+12 ?的值为________ . ? ?

(2) 已知 sin α 是方程 5x2 - 7x - 6 = 0 的根, α 是第三象限角,则 3 3 9 sin?-α- π?cos? π-α? 2 2 -16 2 · tan (π-α)=________. π π cos? -α?sin? +α? 2 2 ?? ? ? π ? π? 7π? π? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 解析 (1)cos α+12 =cos? α+12 +2?=-sin α+12 =- . 3 ? ? ? ? ? ?? ? 3 2 (2)∵方程 5x -7x-6=0 的根为-5或 2, 3 又 α 是第三象限角,∴sin α=-5, 3 -5 4 sin α 3 ∴cos α=- 1-sin2α=-5,∴tan α=cos α= 4=4, -5 cos α?-sin α? 9 2 2 ∴原式= sin α· · tan α =- tan α=-16. cos α

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数式的求值与化简

【例 3 】

1 (1) 已知 tan α = ,求 3

思维启迪

解析

思维升华

1 2 的值; 2sin αcos α+cos α (2)化简:
? 3π? ? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ ? 2? ? ?

cos?-α-π?sin?-π-α?

.

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数式的求值与化简

【例 3 】

1 (1) 已知 tan α = ,求 3

思维启迪

解析

思维升华

1 2 的值; 2sin αcos α+cos α (2)化简:
? 3π? ? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ ? 2? ? ?

三角函数式的化简与求值, 都 是按照从繁到简的形式进行 转化,要认真观察式子的规

cos?-α-π?sin?-π-α?

. 律,使用恰当的公式.

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数式的求值与化简

解析 思维启迪 思维升华 1 【例 3 】 (1) 已知 tan α = ,求 1 3 解 (1)因为 tan α= , 3 1 1 2 的值; 所以 2sin αcos α+cos α 2sin αcos α+cos2α sin2α+cos2α (2)化简: = 2 2sin α cos α + cos α ? ? 3π? ? 2 tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ ? tan α+1 2 2? = ? =3. . 2tan α+1 cos?-α-π?sin?-π-α?

-tan α· cosα· ?-cos α? (2)原式= cos?π+α?· ?-sin?π+α?? sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α = = -cos α· sin α -sin α
=-1.

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数式的求值与化简

【例 3 】

1 (1) 已知 tan α = ,求 3

思维启迪

解析

思维升华

1 2 的值; 2sin αcos α+cos α (2)化简:
? 3π? ? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ ? 2? ? ?

在三角函数式的求值与化 简中, 要注意寻找式子中的 角,函数式子的特点和联

cos?-α-π?sin?-π-α?

可以切化弦, 约分或抵 . 系, 消, 减少函数种类, 对式子 进行化简.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 个三角形是 A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 2 (1)若 α 为三角形的一个内角,且 sin α+cos α= ,则这 3 ( D )

(2)已知 tan α=2,sin α+cos α<0, sin?2π-α?· sin?π+α?· cos?π+α? 则 =________. sin?3π-α?· cos?π-α?

解析

4 (1)∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=9,

5 ∴sin αcos α=-18<0,∴α 为钝角.故选 D.
-sin α· ?-sin α?· ?-cos α? (2)原式= =sin α, sin α· ?-cos α?

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 个三角形是 A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 2 (1)若 α 为三角形的一个内角,且 sin α+cos α= ,则这 3 ( D )

(2)已知 tan α=2,sin α+cos α<0, 2 5 sin?2π-α?· sin?π+α?· cos?π+α? - 5 则 =________. sin?3π-α?· cos?π-α?

∵tan α=2>0,∴α 为第一象限角或第三象限角. sin α 又 sin α+cos α<0,∴α 为第三象限角,由 tan α=cos α=2, 得 sin α=2cos α 代入 sin2α+cos2α=1, 2 5 解得 sin α=- . 5

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
审 思题 维路 启线 迪图 规 范 解 答 温 馨 提 醒

利用同角三角函数基本关系,寻求 sin θ+cos θ,sin θ- cos θ 和 sin θcos θ 的关系.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

7 解析 方法一 因为 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π), 13 49 2 所以(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ=169, 60 所以 sin θcos θ=-169. 7 60 2 由根与系数的关系,知 sin θ,cos θ 是方程 x - x- =0 13 169
的两根,

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

12 5 所以 x1= ,x2=- . 13 13
因为 θ∈(0,π),所以 sin θ>0,cos θ<0.
12 5 所以 sin θ=13,cos θ=-13. sin θ 12 所以 tan θ=cos θ=- 5 .

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

60 方法二 同法一,得 sin θcos θ=- , 169 tan θ 60 sin θcos θ 60 弦化切,得 2 =-169, 所以 2 . 2 =- 169 tan θ+1 sin θ+cos θ 12 5 2 即 60tan θ+169tan θ+60=0, 解得 tan θ=- 5 或 tan θ=-12. 7 60 又 θ∈(0,π),sin θ+cos θ=13>0,sin θcos θ=-169<0. π 3π 12 所以 θ∈(2, 4 ),所以 tan θ=- 5 .

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 12 -5 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

方法三

7 ? ?sin θ+cos θ= 13 得, 解方程组? 2 2 ? ?sin θ+cos θ=1
5 ? ?sin θ=-13 或? ?cos θ=12 13 ? 12 (舍).故 tan θ=- 5 .

12 ? ?sin θ=13 ? ?cos θ=- 5 13 ?

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 12 - ________. 5
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用. 利用已知 7 条件 sin θ+cos θ= 和公式 sin2θ+cos2θ=1 可列方程组解得 13 sin θcos θ,sin θ-cos θ,也可以利用一元二次方程根与系数的 关系求 sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件 θ∈(0,π)的运用, 谨防产生增解.

思想方法·感悟提高

同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础, 主要

方 法 与 技 巧

是变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函 数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三 角函数值时,进行开方时要根据角的象限或 范围,判断符号后,正确取舍.

思想方法·感悟提高
2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与

方 法 与 技 巧

化简时,常用方法: sin x (1)弦切互化法:主要利用公式 tan x= 化 cos x 成正弦、余弦函数; (2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2 =1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化; (3) 巧 用 “1” 的 变 换 : 1 = sin2θ + cos2θ = ? 1 ? π ? 2 2 2 ? 1 + cos θ(1+tan θ)=sin θ? =tan =?. tan2θ? 4 ? ?

思想方法·感悟提高
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意 角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱 周—化锐.

失 误 与 防 范

特别注意函数名称和符号的确定.

2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特 别注意判断符号.

3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式 化.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5 1.α 是第四象限角,tan α=- ,则 sin α 等于 12 1 1 5 5 A. B.- C. D.- 5 5 13 13

( D )

sin α 5 12 解析 ∵tan α= =- ,∴cos α=- sin α, cos α 12 5

又 sin2α+cos2α=1,

144 2 169 2 ∴sin α+ sin α= sin α=1. 25 25
2

5 又 sin α<0,∴sin α=- . 13

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 2.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α 3 等于 A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 D. 1 2 ( D )

解析 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称, π 所以 α+β=2kπ+2(k∈Z). π 5π 又 β=-3,所以 α=2kπ+ 6 (k∈Z),
1 即得 sin α= . 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 3.已知 sin(π-α)=-2sin( +α),则 sin α· cos α 等于 2 2 2 2 2 1 A. B.- C. 或- D.- 5 5 5 5 5

( B )

π 解析 由 sin(π-α)=-2sin( +α)得 sin α=-2cos α, 2

所以 tan α=-2,
sin α· cos α tan α 2 ∴sin α· cos α= 2 = =-5, sin α+cos2α 1+tan2α

故选 B.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

? 25π? sin?π-α?· cos?2π-α? 4.已知 f(α)= ,则 f?- 3 ?的值为 cos?-π-α?· tan?π-α? ? ? 1 1 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 2 2

( A )

解析

sin αcos α ∵f(α)= =cos α, -cos α· ?-tan α?
? π? =cos?8π+3?=cos ? ?

? 25π? ? 25π? ∴f?- 3 ?=cos?- 3 ? ? ? ? ?

π 1 3=2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

sin?kπ+α? cos?kπ+α? 5.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( C ) A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2}
解析 当 k=2n(n∈Z)时,

B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}

sin?2nπ+α? cos?2nπ+α? A= sin α + cos α =2;
当 k=2n+1(n∈Z)时,

sin?2nπ+π+α? cos?2nπ+π+α? A= + =-2. sin α cos α

故 A 的值构成的集合为{-2,2}.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.化简:

? 3π? ? ? α + sin? · tan?α+π? 2? ? ?

sin?π-α?

-1 =________.

解析

cos α· tan α sin α 原式=- =- =-1. sin α sin α

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 3π 7.如果 cos α= ,且 α 是第一象限的角,那么 cos(α+ )= 5 2 2 6 ________. 5

1 解析 ∵cos α= ,α 为第一象限角, 5
∴sin α= 1-cos α=
2

12 2 6 1-? ? = , 5 5

3π 2 6 ∴cos(α+ 2 )=sin α= 5 .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

sin2?α+π?· cos?π+α?· cos?-α-2π? 1 8.化简: =________. π tan?π+α?· sin3? +α?· sin?-α-2π? 2

sin2α· ?-cos α?· cos α sin2αcos2α 解析 原式= = 2 2 =1. tan α· cos3α· ?-sin α? sin αcos α

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4 π 9.已知 sin θ= , <θ<π. 5 2 (1)求 tan θ 的值; sin2θ+2sin θcos θ (2)求 的值. 3sin2θ+cos2θ
9 解 (1)∵sin θ+cos θ=1,∴cos θ= . 25 π 3 又2<θ<π,∴cos θ=-5. sin θ 4 ∴tan θ= =- . cos θ 3
2 2 2

sin2θ+2sin θcos θ tan2θ+2tan θ 8 (2)由(1)知, = =-57. 2 2 2 3sin θ+cos θ 3tan θ+1

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两 3 π 3 π 个根,求 cos ( -θ)+sin ( -θ)的值. 2 2
解 由已知原方程的判别式 Δ≥0,即(-a)2-4a≥0, ∴a≥4 或 a≤0. ? ?sin θ+cos θ=a 又? ,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, ? ?sin θcos θ=a 则 a2-2a-1=0,从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去),

因此 sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2. π π ∴cos3(2-θ)+sin3(2-θ)=sin3θ+cos3θ =(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)
=(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1 2

B组

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3 4 5

1 π π 3 1.已知 sin θ=- ,θ∈(- , ),则 sin(θ-5π)sin( π-θ)的值 3 2 2 2 是 2 2 A. 9 2 2 B.- 9 1 C.- 9 1 D. 9 ( B )

1 π π 解析 ∵sin θ=- ,θ∈(- , ), 3 2 2 2 2 2 ∴cos θ= 1-sin θ= 3 .
∴原式=-sin(π-θ)· (-cos θ)=sin θcos θ
1 2 2 2 2 =- × =- . 3 3 9

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π cos2x 2.当 0<x< 时,函数 f(x)= 2 的最小值是 4 cos xsin x-sin x 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 π 解析 当 0<x< 时,0<tan x<1, 4 cos2x 1 f(x)= = , cos xsin x-sin2x tan x-tan2x
设 t=tan x,则 0<t<1, 1 1 1 y= = ≥ =4. t-t2 t?1-t? t+?1-t? 2 [ ] 2 1 当且仅当 t=1-t,即 t=2时等号成立.

( D )

练出高分
1 2
?π ? cos?6-θ?=a ? ?

B组

专项能力提升
3 4 5
?5π ? ?2π ? cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?的值是 ? ? ? ?

3.已知

(|a|≤1),则

0 . ________
解析
?5π ? ? ?π ?? cos? 6 +θ?=cos?π-?6-θ?? ? ? ? ? ??

?π ? =-cos?6-θ?=-a. ? ?
?π ?π ?? ?2π ? ?π ? ? ? sin? 3 -θ?=sin?2+?6-θ??=cos?6-θ?=a, ? ?? ? ? ? ? ?
?5π ? ?2π ? ∴cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?=0. ? ? ? ?

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 4.已知 f(x)= (n∈Z). cos2[?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007

解 (1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,
cos2?2kπ+x?· sin2?2kπ-x? cos2x· sin2?-x? f(x)= = cos2[?2×2k+1?π-x] cos2?π-x? cos2x· ?-sin x?2 = =sin2x; 2 ?-cos x?
当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 4.已知 f(x)= (n∈Z). cos2[?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007
cos2[?2k+1?π+x]· sin2[?2k+1?π-x] f(x)= cos2{[2×?2k+1?+1]π-x} cos2[2kπ+?π+x?]· sin2[2kπ+?π-x?] = cos2[2×?2k+1?π+?π-x?] cos2?π+x?· sin2?π-x? = cos2?π-x? ?-cos x?2sin2x 综上得 f(x)=sin2x. = =sin2x, 2 ?-cos x?

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 4.已知 f(x)= (n∈Z). cos2[?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007 π 503π (2)由(1)得 f( )+f( ) 2 014 1 007 2 π 21 006π =sin +sin 2 014 2 014 π 2 π 2 π =sin +sin ( - ) 2 014 2 2 014 2 π 2 π =sin 2 014+cos 2 014=1.

练出高分
1 2

B组

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3 4 5

1 5.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.
1 (1)∵sin A+cos A= , ① 5 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 12 (2)由 sin Acos A=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 解

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1 5.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.
24 49 (3)∵(sin A-cos A) =1-2sin Acos A=1+ = , 25 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= . 5 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, 4
2



5 sin A 4 ∴tan A= = =- . cos A 3 3 - 5


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