成才之路·人教A版数学选修2-3 2.4


选修 2-3

第二章

2.4

一、选择题 1.(2013· 河南安阳中学高二期中)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,σ2),则 P(ξ<3)等 于( ) 1 A. 5 1 C. 3 [答案] D 1 [解析] ∵ξ~N(3,σ2),∴ξ=3 为正态分布的对称轴,∴P(ξ<3)= . 2 2. (2013· 吉林白山一中高二期末)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9), 若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c -1),则 c=( A.1 C.3 [答案] B [解析] 由正态分布的性质及条件 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1)得,(c+1)+(c-1)=2×2,∴ c=2. 3.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X~N(110,52),据此估计,大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内( A.(90,110] C.(100,120] [答案] C [解析] 由于 X~N(110,52),∴μ=110,σ=5. 因 此 考 试 成 绩 在 区 间 (105,115] , (100,120] , (95,125] 上 的 概 率 分 别 应 是 0.6826,0.9544,0.9974. 由于一共有 60 人参加考试, ∴成绩位于上述三个区间的人数分别是: 60×0.6826≈41 人,60×0.9544≈57 人, 60×0.9974≈60 人. 4.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布 N(μ,σ2),在一次正常的试验中, 取 1 000 个零件,不属于(μ-3σ,μ+3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( A.7 B.10 ) ) B.(95,125] D.(105,115] ) B.2 D.4 1 B. 4 1 D. 2

C.3 [答案] C

D.6

[解析] ∵P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9974, ∴不属于区间(μ-3σ,μ-3σ)内的零点个数约为 1000×(1-0.9974)=2.6≈3 个. 5.(2014· 哈师大附中高二期中)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,4),则 P(-3<ξ<5)= ( ) (参考数据:P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ) =0.9974) A.0.6826 C.0.0026 [答案] B [解析] 由 ξ~N(1,4)知,μ=1,σ=2,∴μ-2σ=-3,μ+2σ=5,∴P(-3<ξ<5)=P(μ -2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,故选 B. 6.以 Φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量 ξ 服从正态分 布 N(μ,σ2),则概率 P(|ξ-μ|<σ)等于( A.Φ(μ+σ)-Φ(μ-σ) C.Φ? 1-μ? ? σ ? ) B.Φ(1)-Φ(-1) D.2Φ(μ+σ) B.0.9544 D.0.9974

[答案] B |ξ-μ| [解析] 设 η= ,则 P(|ξ-μ|<σ)=P(|η|<1) σ =P(-1<η<1)=Φ(1)-Φ(-1). [点评] 一般正态分布 N(μ,σ2)可向标准正态分布 N(0,1)转化. 二、填空题 7. 正态变量的概率密度函数 f(x)= f(x)的最大值为________. [答案] x=3 1 2π ?x-3? 1 e- , x∈R 的图象关于直线________对称, 2 2π
2

8.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等, 那么这个正态总体的数学期望为________. [答案] 1 [解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态 曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在 这两个区间上是对称的.

∵区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线 x=1 对称,所以正态分布的数学期望是 1. 9.(2013· 景德镇市高二期末)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8, 则 P(0<ξ<2)等于________. [答案] 0.3 [解析] 1 1 ∵ξ~N(2,σ2),∴P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.2.∴P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4)= ×[1- 2 2

1 2P(ξ≥4)]= ×[1-2×0.2]=0.3. 2 三、解答题 10.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于 正态分布的概率密度函数的解析式. [解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象即正态曲线关于 y 轴对称,即 μ=0.而正态密度函数的最大值是 1 1 1 ,所以 = ,因此 σ=4,故该 2π· σ 2π· σ 2π· 4 1 .求该 4 2π

1 x2 正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ,σ(x)= e- ,x∈(-∞,+∞). 4 2π 32

一、选择题 11.已知随机变量 X~N(3,22),若 X=2η+3,则 D(η)等于( A.0 C.2 [答案] B [解析] 由 X=2η+3,得 D(X)=4D(η),而 D(X)=22=4,∴D(η)=1. 12. 某市进行一次高三教学质量抽样检测, 考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态 分布.已知数学成绩平均分为 90 分,60 分以下的人数占 10%,则数学成绩在 90 分至 120 分之间的考生人数所占百分比约为( A.10% C.30% [答案] D [解析] 由条件知 μ=90,P(ξ<60)=0.1, ∴P(ξ>120)=0.1, 1 ∴P(90≤ξ<120)= [1-2P(ξ<60)] 2 ) B.20% D.40% B.1 D.4 )

1 = ×(1-0.2)=0.4,故选 D. 2 [点评] 解决正态分布问题,一定要注意抓住其对称轴,若 ξ~N(μ,σ2),则对称轴 ξ= μ.
2 13.设两个正态分布 N(μ1,σ2 1)(σ1>0)和 N(μ2,σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有

(

)

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 [答案] A

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

[解析] 根据正态分布的性质:对称轴方程 x=μ,σ 表示总体分布的分散与集中.由图 可知选 A. 二、填空题 14.随机变量 ξ~N(1,42),若 η=4-3ξ,则 E(η)=__________________. [答案] 1 [解析] 由条件知 E(ξ)=1,E(η)=4-3E(ξ)=1. 15. 某厂生产的零件尺寸服从正态分布 N(25,0.032), 为使该厂生产的产品有 95%以上的 合格率,则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________. [答案] (24.94,25.06) [解析] 正态总体 N(25,0.032)在区间(25-2×0.03, 25+2×0.03)内取值的概率在 95%以 上,故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06). 三、解答题 16.某个工厂的工人月收入服从正态分布 N(500,202),该工厂共有 1200 名工人,试估 计月收入在 440 元以下和 560 元以上的工人大约有多少? [解析] 设该工厂工人的月收入为 ξ,则 ξ~N(500,202),所以 μ=500,σ=20, 所 以 月 收 入 在 区 间 (500 - 3×20,500 + 3×20) 内 取 值 的 概 率 是 0.9974 , 该 区 间 即 (440,560). 因 此 月 收 入 在 440 元 以 下 和 560 元 以 上 的 工 人 大 约 有 1200×(1 - 0.9974) = 1200×0.0026≈3(人). 17.实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有 合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予 10 分降分资格;考核优秀,授予 20 分降分资

2 2 1 格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ,他们考核所得的等次相互独立. 3 3 2 (1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率. (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的分 布列和数学期望 E(ξ). [解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件 A,“乙考核为优秀”为事件 B,“丙考核为优 秀”为事件 C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. - - - 则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 A B C 与事件 E 是对立事件,于是 P(E)=1 1 1 1 17 - - - -P( A B C )=1- × × = . 3 3 2 18 (2)ξ 的所有可能取值为 30、40、50、60. - - - 1 1 1 1 P(ξ=30)=P( A B C )= × × = , 3 3 2 18 2 1 1 1 2 1 1 1 1 5 - - - - - - P(ξ=40)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C)= × × + × × + × × = , 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 8 - - - P(ξ=50)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= , 18 4 P(ξ=60)=P(ABC)= . 18 所以 ξ 的分布列为 ξ P 30 1 18 40 5 18 50 8 18 60 4 18

1 5 8 4 145 E(ξ)=30× +40× +50× +60× = . 18 18 18 18 3


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