直线与方程练习题及答案详解


直线与方程练习题及答案详解
一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 , 则 a, b 满足( A. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 ) B. a ? b ? 1 D. a ? b ? 0 )

2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 则 m 的值为( A. 0 ) C. 2 D. 10 ) B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, B. ? 8

4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限

B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 )

5.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 45 ,1 C. 900 ,不存在
2 2
0

B. 135 , ?1
0

D. 1800 ,不存在

6.若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足 ( ) A. m ? 0 C. m ? 1 B. m ? ?

3 2
3 ,m ? 0 2

D. m ? 1 , m ? ?

二、填空题 1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. 2.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为__________; 若 l 3 与 l1 关于 x 轴对称,则 l 3 的方程为_________; 若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方程为___________;

3.

若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。
2 2

4.点 P( x, y ) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是________________. 5.直线 l 过原点且平分 ? ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为

B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的方程为________________。
三、解答题 1.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 , (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴; (5)设 P x 0 ,y 0 为直线 Ax ? By ? C ? 0 上一点, 证明:这条直线的方程可以写成 A? x ? x0 ? ? B? y ? y 0 ? ? 0 . 2 . 求 经 过 直 线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的 交 点 且 平 行 于 直 线

?

?

2x ? y ? 3 ? 0
的直线方程。 3.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 请求出这些直线的方程。 4.过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为

5.
(数学 2 必修)第三章 直线与方程 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 )

2.若 A(?2,3), B(3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为( A.

1 2



1 2

B. ?

1 2

C. ?2

D. 2 )

3.直线 A. b

x y ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是( 2 a b
B. ?b2 C. b
2

D. ?b )

4.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ,当 k 变动时,所有直线都通过定点(

A. (0, 0) C. (3,1)

B. (0,1) D. (2,1) )

5.直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 C.斜交 B.垂直 D.与 a, b,? 的值有关

6.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为(



A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

7.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的 斜率 k 的取值范围是( A. k ? ) C. k

3 4

B.

3 ?k?2 4

? 2或k ?

3 4

D. k

?2

二、填空题 1.方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。 2.与直线 7 x ? 24 y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________。 3.已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15 上,则 a ? b 的最小值为
2 2

4.将一张坐标纸折叠一次,使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合,且点 (7,3) 与点 (m, n) 重合, 则 m ? n 的值是___________________。 5.设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点 三、解答题 1.求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程。 2.一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P 点, 当 P 点分别为 (0, 0) , (0,1) 时,求此直线方程。 3. 把函数 y ? f ? x ? 在 x ? a 及 x ? b 之间的一段图象近似地看作直线, a ? c ? b , 证明: f ? c? 的近似值是: f ?a ? ? .

c?a ? f ?b? ? f ?a?? . b?a

4.直线 y ? ?

3 x ? 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限 3

内作等边△ ABC , 如果在第一象限内有一点 P ( m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等, 求 m 的值。

1 2

(数学 2 必修)第三章 直线与方程 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原 来的位置,那么直线 l 的斜率是( A. ? ) D. 3

1 3

B. ?3

C.

1 3

2.若 P a,b 、Q c,d 都在直线 y ? mx ? k 上,则 PQ 用 a、c、m 表示为 ( )
2 A. ? a ? c? 1 ? m B. m? a ? c? C.

?

?

?

?

a?c 1? m
2

2 D. a ? c 1 ? m

3.直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为

M (1, ?1) ,则直线 l 的斜率为(
A.



3 2 3 2 B. C. ? D. ? 2 3 2 3 4.△ ABC 中,点 A(4, ?1) , AB 的中点为 M (3, 2) ,重心为 P(4, 2) ,则边 BC 的长为
( ) A. 5 5.下列说法的正确的是 B. 4 ( ) C. 10 D. 8

A.经过定点 P0 x 0 ,y 0 的直线都可以用方程 y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? 表示 B.经过定点 A?0,b ? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

?

?

x y ? ? 1 表示 a b

D.经过任意两个不同的点 P ?x1,y1 ?、P2 ?x2,y 2 ? 的直线都可以用方程 1

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示
6.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 ( ) A. 3x ? y ? 6 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 ? 0 二、填空题 1.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, l 2 与 l1 关于直线 y ? ?x 对称,直线 l 3 ⊥ l 2 ,则 l 3 的斜率 是______. 2.直线 x ? y ? 1 ? 0 上一点 P 的横坐标是 3 ,若该直线绕点 P 逆时针旋转 900 得直 线l , 则直线 l 的方程是 . B. x ? 3 y ? 2 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0

3.一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是 __________. 4 . 若 方 程 x ? my ? 2 x ? 2 y ? 0 表 示 两 条 直 线 , 则 m 的 取 值
2 2

是 5.当 0 ? k ? 三、解答题



1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、ky ? x ? 2k 的交点在 2

象限.

1.经过点 M (3,5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么? 2.求经过点 P(1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程 3.已知点 A(1,1) , B(2, 2) ,点 P 在直线 y ? 最小值时 P 点的坐标。 4.求函数 f ( x) ?

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得 2

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值。

第三章 直线和方程 一、选择题 1.D

[基础训练 A 组]

tan ? ? ?1, k ? ?1, ?

a ? ?1, a ? b, a ? b ? 0 b

2.A 设 2 x ? y ? c ? 0, 又过点 P(?1,3) ,则 ?2 ?3 ? c ?0 c ? 1 ,即 2 x ? y ?1 ?0 , ? 3.B 5.C 6.C

k?

4?m ? ?2, m ? ?8 m?2

4.C

a c a c y ? ? x ? , k ? ? ? 0, ? 0 b b b b

x ? 1 垂直于 x 轴,倾斜角为 900 ,而斜率不存在

2m2 ? m ? 3, m2 ? m 不能同时为 0

二、填空题 1.

3 2 2

d?

1 ? (? 1? 1 3 2 ) ? 2 2

2. l2 : y ? ?2 x ? 3, l3 : y ? ?2 x ? 3, l4 : x ? 2 y ? 3, 3. 2 x ? y ? 5 ? 0

k' ?

?1 ? 0 1 ? ? , k? 2 , y ? 1 ) ? ( ? 2? 0 2

2( ? x

2)

4. 8

d x 2 ? y 2 可看成原点到直线上的点的距离的平方, 垂直时最短: ?
2 x 3

?4 2

?2 2

5. y ?

平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点 (3, 2)

三、解答题 1. 解:(1)把原点 (0, 0) 代入 Ax ? By ? C ? 0 ,得 C ? 0 ;(2)此时斜率存在且 不为零 即 A ? 0 且 B ? 0 ;(3)此时斜率不存在,且不与 y 轴重合,即 B ? 0 且 C ? 0 ; (4) A ? C ? 0, 且 B ? 0 (5)证明:? P ? x0,y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上

? Ax0 ? By0 ? C ? 0, C ? ? Ax0 ? By0

? A ? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 。
19 ? ? x ? 13 ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0 47 ? 解:由 ? ,得 ? ,再设 2 x ? y ? c ? 0 ,则 c ? ? 13 ?3x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? 9 ? 13 ?

2.

2x ? y ?
3.

47 ? 0 为所求。 13

解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ;

当截距不为 0 时,设

x y x y ? ? 1, 或 ? ? 1, 过点 A(1, 2) , a a a ?a

则得 a ? 3 ,或 a ? ?1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 这样的直线有 3 条: y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 。 4. 解:设直线为 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 ( ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) ,

4 k

1 4 16 S ? ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? ? 25k ? 10 2 k k
得 25k 2 ? 30k ? 16 ? 0 ,或 25k 2 ? 50k ? 16 ? 0 解得 k ?

2 8 ,或 k ? 5 5

? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,或 8x ? 5 y ? 20 ? 0 为所求。
第三章 直线和方程 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.B 线 段

3 ) 直 AB 的 中 点 为 ( 2 , 垂 , 平 分 线 的 k ? 2 , 2

y?

3 ? 2( x ? 2), 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ?2 ? 3 m ? 2 1 2.A k AB ? k BC , ? ,m ? 1 3? 2 2 ?3 2
3.B 令 x ? 0, 则 y ? ?b
2

4.C 由 kx ? y ? 1 ? 3k 得 k ( x ? 3) ? y ? 1 对于任何 k ? R 都成立,则 ?

?x ? 3 ? 0 ? y ?1 ? 0

5.B

cos? ? sin ? ? sin ? ? (? cos? ) ? 0

6.D 把 3x ? y ? 3 ? 0 变化为 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则 d ?

1 ? (?6) 6 ?2
2 2

?

7 10 20

7.C

3 k PA ? 2, k PB ? , kl ? k PA ,或kl ? k PB 4
方程 x ? y ? 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2

二、填空题 1. 2

2. 7 x ? 24 y ? 70 ? 0 ,或 7 x ? 24 y ? 80 ? 0 设直线为 7 x ? 24 y ? c ? 0, d ?

c?5 242 ? 7 2

? 3, c ? 70, 或 ? 80
15 5

3. 3 4.

a 2 ? b 2 的最小值为原点到直线 3x ? 4 y ? 15 的距离: d ?
44 5

点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则点 (7,3) 与点 (m, n)

23 m?7 ? ?n ? 3 ?m ? 5 ? 2 ? 1 ? 2( 2 ? 2) ? ? 也关于 y ? 1 ? 2( x ? 2) 对称,则 ? ,得 ? ? n?3 ? ? 1 ? n ? 21 ?m ? 7 ? 2 5 ? ?
5. ( , )

1 1 k k

ax ? by ? 1 变化为 ax ? (k ? a) y ? 1, a( x ? y) ? ky ?1 ? 0,
对于任何 a ? R 都成立,则 ?

?x ? y ? 0 ? ky ? 1 ? 0

三、解答题 1.解:设直线为 y ? 2 ? k ( x ? 2), 交 x 轴于点 (

?2 ? 2, 0) ,交 y 轴于点 (0, 2k ? 2) , k

1 2 2 S ? ? ? 2 ? 2k ? 2 ? 1, 4 ? ? 2k ? 1 2 k k
得 2k 2 ? 3k ? 2 ? 0 ,或 2k 2 ? 5k ? 2 ? 0 解得 k ? ?

1 , 或 k ? ?2 2

? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,或 2 x ? y ? 2 ? 0 为所求。
2.解:由 ?

?4 x ? y ? 6 ? 0 24 18 24 18 得两直线交于 ( ? , ) ,记为 A(? , ) ,则直线 AP 23 23 23 23 ?3x ? 5 y ? 6 ? 0
4 24 ,或 kl ? 3 5

垂直于所求直线 l ,即 kl ?

?y ?

4 24 x ,或 y ? 1 ? x, 3 5

即 4 x ? 3 y ? 0 ,或 24 x ? 5 y ? 5 ? 0 为所求。 1. 证明:? A, B, C 三点共线,? k AC ? k AB 即

yc ? f (a) f (b) ? f (a) ? c?a b?a

c?a [ f (b) ? f (a)] b?a c?a 即 yc ? f (a) ? [ f (b) ? f (a)] b?a c?a ? f ? c ? 的近似值是: f ?a ? ? ? f ?b? ? f ?a?? b?a ? yc ? f (a) ?
2. 解:由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y ? ?

3 x ? c, (c ? 1) 3



3 c ?1 3 1 x ? 3 过 P (m, ) ? AB ? ? 3, c ? 3 , y ? ? 3 2 2 1 1? 3
1 3 5 3 ?? m ? 3, m ? 2 3 2
[提高训练 C 组]



第三章 直线和方程 一、选择题 1.A 2.D 3.D

tan ? ? ?

1 3

PQ ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ? (a ? c) 2 ? m 2 (a ? c) 2 ? a ? c 1 ? m 2
A(?2,1), B(4, ?3)
4.A

B(2,5), C (6, 2), BC ? 5

5.D 斜率有可能不存在,截距也有可能为 0 6.B 所求 二、填空题 1. ?2 点 F (1,1) 在直线 3x ? y ? 4 ? 0 上,则过点 F (1,1) 且垂直于已知直线的直线为

1 l1 : y ? 2 x? 3 ,2l : x? ? 2 y ? 3 ,y ? ? 2

3 x? 2

2

1 ,k ? 2

3

, k ? ?2

2. x ? y ? 7 ? 0

P( 3 , 4 )l 的倾斜角为 450 ? 900 ? 1350 , tan1350 ? ?1

3. 4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0 设 y ? 4 ? k ( x ? 3), y ? 0, x ?

?4 ?4 ? 3; x ? 0, y ? 3k ? 4; ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 k k 4 1 3k ? ? 11 ? 0,3k 2 ? 11k ? 4 ? 0, k ? 4, 或k ? ? k 3

4. 1

5.二

k ? ?x ? k ?1 ? 0 ?k y? x? 2 k ? ,? ? ? k ?k x? y? k 1 ? y ? 2 ? 1 0 ? ? k ?1 ?

三、解答题 1. 解:过点 M (3,5) 且垂直于 OM 的直线为所求的直线,即

3 3 k ? ? , y ? 5 ? ? ( x ? 3),3x ? 5 y ? 52 ? 0 5 5
2. 解: x ? 1 显然符合条件;当 A(2,3) , B(0, ?5) 在所求直线同侧时, k AB ? 4

? y ? 2 ? 4( x ? 1), 4 x ? y ? 2 ? 0 4 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? 1
3. 解:设 P(2t , t ) ,
2 2 2 2 2 则 PA ? PB ? (2t ? 1) ? (t ? 1) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) ? 10t ? 14t ? 10 2 2

当t ?

7 7 7 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即 P( , ) 10 5 10
( x ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 可看作点 ( x, 0)

4. 解: f ( x) ?

到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1)

? f ( x) min ? 12 ? 32 ? 10


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