北京市海淀区2015届高三期末练习(二模)数学理试题及答案_图文

海淀区高三年级第二学期期末练习 数学(理)答案及评分参考 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)D (7)C 2015.5 (4)A (8)C 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9)2, 4n ? 1 3 (10) 30 ? , 1 (11) a ? 0 , a ? a ? 2 (12) ( 2, ??) 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 a ? (13)14 (14) ( 10 ,1] 10 3 6 cos A , 2 ………………3 分 所以 a ? 3 6 b2 ? c 2 ? a 2 . ? 2 2bc 因为 c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 . 2 解得: a ? 3 ,或 a ? ? 49 (舍). 3 ………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: cos A ? 2 2 3 6 ?3 ? 6 . 3 ………………9 分 所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? 1 . 3 因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 , a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 所以 cos B ? 2ac 3 所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a , ………………11 分 ………………12 分 所以 A ? (0, ) . 因为 B ? (0, ?) , 所以 ?B ? 2? A . ………………13 分 ? 3 另解:因为 A ? (0, ?) , 所以 sin A ? 1 ? cos A ? 2 3 . 3 由正弦定理得: 2 6 3 ? . sin B 3 3 所以 sin B ? 2 2 . 3 所以 sin 2 A ? 2 ? 因为 c ? b ? a , 3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3 ? 2 ………………12 分 ? 3 所以 ?B ? 2? A . (16)(共 13 分) 所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) . ………………13 分 解:(Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10. 所以中位数为 8,众数为 9. ………………3 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2. ………………4 分 P ? X ? 0? ? 1 1 2 C82 14 C12 C8 C12 33 48 ; ; ? P X ? 2 ? ? ; P X ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C20 95 C20 95 C20 95 所以抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列为: X P (Ⅲ)略. 0 1 2 33 95 48 95 14 95 ………………10 分 ………………13 分 评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行 合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况对学生今后在 该项目的训练提出合理建议. P M (17)(共 14 分) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OM . 因为 AB / / CD , AB ? 2CD , 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以 BO AB ? ? 2. DO CD BM ? 2 MP , BM ? 2. PM BM BO ? . PM DO OM / / PD . ………………2 分 OM ? 平面 MAC , PD ? 平面 MAC , PD / / 平面 MAC . A O D C B ………………4 分 (Ⅱ) 证明: 因为 平面 PAD ? 平面 ABCD ,AD ? AB , 平面 PAD 平面 ABCD , 所以 AB ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 AB ? PA . 同理可证: AD ? PA . 因为 AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , AD 所以 PA ? 平面 ABCD . 平面 ABCD ? AD ,AB ? ………………6 分 ………………7 分 AB ? A , ………………9 分 z (Ⅲ)解:分别以边 AD, AB, AP 所在直线为 x, y , z 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 . 由 P M 轴 , AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 得 A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , C (2,1, 0) , D(2,0,0) , P(0, 0, 2) ,则 uuu r uur AC ? (2,1, 0), PB ? (0, 2, ?2) . 由(Ⅱ)得: PA ? 平面 ABCD . 所 以 平 面 A B C D 的 一 个 法 向 量 为 D x A B y C r n ? (0,0,1) . 设 ………………10 分 uuur uu u r uur uuu r uur PM ? ? (0 ? ? ? 1) ,即 PM ? ? PB .所以 AM ? AP ? ? PB ? (0,2?,2 ? 2?) . PB 设平面 AMC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 u r u r uuu r ? ?m ? AC ? 0, ?2 x ? y ? 0, 即? r uuur ?u ?2? ? y ? (2 ? 2? ) ? z ? 0. m ? AM ? 0, ? ? 令 x ? ? ? 1 ,则 y ? 2 ? 2? , z ? ?2? . 所以 m

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