第十八章线性规划答案


§18.1 线性规划初步参考答案
课前预习单
【任务要求】 1. 线性规划的有关概念: (1)决策问题中要求通过模型的计算来解答的诸因素的未知数。(2)一次(3)最大值或最小值; 线性目标函数。(4)最大值或最小值 2. 解:设甲、乙两种馒头计划产量分别为 xkg、ykg,利润为 z 元 maxz=5x+4y

?3x + 4y ≤ 250 ? ? 2x + y ≤ 100 ? x≥0 ? ? y≥0 ?

课堂探析单
任务 1. 解:设公司每天应派出 A 型卡车 x 辆,B 型卡车 y 辆,公司总成本为 z minz=120x+200y

?2x ? ? x ? ? 0 ? ? 0

? 5y ?y ? x ? y

? 15 ? 9 ? 8 ? 4

活动二. 任务 1.思考:不一定 线性规划问题的共同特征:1.一组决策变量;非负值; 2.一组一次(线性)不等式;等式;3.决策 变量的一次(线性)函数 任务 2: D 活动三.问题解决 任务 1. 解:设公司每天应派出 A 型卡车 x 辆,B 型卡车 y 辆,公司利润为 z minz=120x+200y

?2x ? ? x ? ? 0 ? ? 0

? 5y ?y ? x ? y

? 15 ? 9 ? 8 ? 4

任务 2: 解:设需建普通的住宅楼 x 栋,别墅 y 栋,公司利润为 z maxz=70x+60y

? 300X + 200y ? 9000 ? ?200x ? 300y ≤ 11000 ? X≥0 ? ? y≥0 ?

课堂检测单
1.A

?3 x ? 5 y ? 1500 ? 2.解析:设生产甲、乙两种产品分别为 xt,yt,其利润总额为 z 元,根据题意,可得约束条件为 ?9 x ? 5 y ? 2700 ? x ? 0, y ? 0 ?
作出可行域如图:目标函数 z=90x+100y, 作直线 l0:90x+100y =0,再作一组平行于 l0 的直线 l:90x+100y =z,当直线 l 经过 P 点时 z=90x+100y 取得最大值, 由?

?3x ? 5 y ? 1500 ,解得交点 P(200,180).所以有 zP=90×200+100×180=36000(元) ?9 x ? 5 y ? 2700

所以生产 A 产品 200t,B 产品 180t 时,总利润最大,为 36000 元.

(2)某饲养场要同时用 A、B 两种饲料喂养动物,要求每头动物每天至少应摄取 10 个单位的蛋白质和 9 个单位的矿物质。两种饲料每千克中所含两种成分的数量(单位)及每千克的单价(元)如下表, 该饲养场每天要买两种饲料各多少千克,才能既满足动物的生长需要,又使费用最省? A 蛋白质 矿物质 单价 2 1 0.4 B 2 3 0.5

解:设饲养场每天要买 A 种饲料 x 千克,B 种饲料 y 千克,费用为 z minz=0.4x+0.5y

?2X ? ? x ? ? ? ?

+ 2y ? 3y X ≥ y ≥

? 10 ? 9 0 0

课后巩固单
1.BD 2.建立下列线性规划问题的数学模型: (1)设置生产 x 个桌子,y 个椅子使得利润最大, 方程一:4x+3y=120 方程二:2x+y=50 以上面两个方程构建平面直角坐标系,划出这两个直线,以及他们围成的区域。 利润方程:50x+30y,设置 x 和 y 分别为零的情况,在坐标系上画出直线,然后对上面方程一,二围 成的图形作切线,求出最大值的切点 (2)

解:设 A 厂工作 xh,B 厂工作 yh,总工作时数为 th,则 t=x+y,且 x+3y≥40,2x+y≥20,x≥0,y≥0, 可行解区域如图:

而符合问题的解为此区域内的格子点(纵、横坐标都是整数的点称为格子点),于是问题变为要在此 可行解区域内,找出格子点(x,y),使 t=x+y 的值为最小.由图知当直线 l:y=-x+t 过 Q 点时,纵、 横截距 t 最小,但由于符合题意的解必须是格子点, 我们还必须看 Q 点是否是格子点.解方程组 得 Q (4,12)为格子点.故 A 厂工作 4h,B 厂工作 12h,可使所费的总工作时数最少. (3)设甲种饮料做 x 杯,乙种饮料做 y 杯,x、y 都大于 0,那么可列出三个不等式: 9x+4y≤3600,4x+5y≤2000,3x+10y≤3000,变形:y≤900-9x/4,y≤400-4x/5,y≤300-3x/10,x 和 y 的取值必须同时满足这 3 个不等式。这三个不等式所表示的函数在坐标轴上的图像就是三条直线 L1: y=900-9x/4,L2:y=400-4x/5,L3:y=300-3x/10 图像的下部,那么要同时满足三个不等式的取值 范围,就是图像的重叠部分。答案是甲种做 200 杯,获利 140 元;乙种做 240 杯,获利 288 元;一 共获利 428 元 (4)1 、确定决策变量:设 x 1 、 x 2 分别为产品Ⅰ、Ⅱ的生产数量;

2、明确目标函数:获利最大,即求 2x 1 +3x 2 最大值; 3、所满足的约束条件: 设备限制: x1 +2x 2 ≤8 ;原材料 A 限制: 4x 1 ≤16; 原材料 B 限制: 4x 2 ≤12 ;基本要求: x 1 , x2 ≥0 用 max 代替最大值, s.t. ( subject to 的简写)代替约束条件,则该模型可记 为: max z=2x 1+3x 2 s.t. : x1 +2x 2 ≤8 , 4x 1 ≤16 , 4x 2 ≤12, x 1 、 x 2 ≥0

§18.2 二元线性规划问题的图解法(第一课时)参考答案
课前预习单
?2x ? ? ? 1. ? ? ? ? ? + y ≤ 100 x ≥ 10 y ≥ 20 x ? N? y ? N?

学生通过思考,会相继得到许多不同的解: X=10 且 y=20;x=20 且 y=30;x=30 且 y=30;x=35 且 y=29… 2.(1)以二元一次不等式 2x+y-100〉0 的解为坐标的点的集合是在直线 2x+y-100=0 的右上方的平面 区域;以二元一次不等式 2x+y-100<0 的解为坐标的点的集合是在直线 2x+y-100=0 的左下方的平面区 域; (2)在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 2x+y-100<0 的解为坐标的点的集合是在直线 2x+y-100=0 的左下方的平面区域。在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 2x+y-100>0 的解为坐标 的点的集合是在直线 2x+y-100=0 的右上方的平面区域。 (3)二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平 面区域. 二元一次不等式 Ax+By+C≥0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区 域且包括边界; 作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. (4)直线 Ax+By+C=0 的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都 相同 (5)只需在此直线的某一侧取一个特殊点(a,b),从 Aa+Bb+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪 一侧的平面区域.特殊地,当 C≠0 时,常取原点检验. 画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界,特殊点定域”

课堂探析单
【探析活动】 活动一.答案见课本 p94 例 1 问题:(1)x+y-9=0;虚线;(2)(0,0) 任务 2. 变式训练:图略

关键点拨: (0,0);另一侧;相同 活动二.任务 1. 答案 见课本 p95 例 2

(2)

?2 x ? y ? 100 ? 10 ? x ? 10 ? ? y ? 20 ?

问题:(1)各个不等式表示的平面的点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 (2) 是上述公共平面区域内的整点 活动三.

任务 1. A(-2,-1), -2(m+3)-(m-2)-m-2=0,m=-1.5,B(2,-2),2(m+3)-2(m-2)-m-2=0, m=8,m<-1.5 或 m>8

课堂检测单
1. 略;2. 略;

3. D. 4. C. 5 A(-2,-1) -2(m+3)-(m-2)-m-2=0, m=-1.5, B (2, -2) , 2(m+3)-2(m-2)-m-2=0,

m=8,8≥m≥-1.5

课后巩固单
1—3. 略; 4. 答:所表示的平面直角坐标系内的区域,是由直线 9x+4y≤360,4x+5y≤200, 3x+10y≤300 以及两条坐标轴所围成的阴影部分(含边界直线)。 5.a〉 ?
7 ,且 a ? 1 4

§18.2 二元线性规划问题的图解法(第二课时)参考答案
课前预习单
【任务要求】 1.回答下列问题:

(1)在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x+y-1<0 的解为坐标的点的集合是在直线 x+y-1=0 的 左下方的平面区域。在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x+y-1>0 的解为坐标的点的集合是在 直线 x+y-1=0 的右上方的平面区域。

(2)(0,0);另一侧;相同 (3)虚线; Ax+By+C=0 (4)满足线性约束条件的解(x,y);由所有可行解组成的集合;在可行域中使目标函数取得最大值 或最小值的解;用图解的方法得到二元线性规划问题的最优解。

课堂探析单
【探析活动】
活动一. 任务 1. 见课本 p96 例 4 活动二.进一步用图解法求二元线性规划问题得最优解; 任务 1.见课本 p97 例 5 活动三. 任务 1. 见课本 p98 例 6

问题解决:直线 x-y=0 往哪个方向平移时,能使目标函数 z=x-y 的值增大? 关键点拨:增大 课堂检测单:略

课后巩固单
1. 答问题的最优解是 x=0.5,y=1.5 时 zmax=5 答:当 x=3,y=2 时目标函数 z 取得最小值 minz=400x+500y=400x3+500x2=2200 2—4 略 ; 5. 解 设甲、乙两种产品的产量分别为 X1、X2,则总产值是 X1 、X2 的函数 f(X1,X2)=120X1+100X2 资源的多少是约束条件: 由于钢的限制,应满足 2X1+3X2≤600;由于煤的限制,应满足 2X1+X2≤400。 综合上述表达式,得数学模型为求最大值(目标函数):f(X1,X2)=120X1+100X2 2X1+3X2≤600,2X1+X2≤400,X1≥0,X2≥0,Xl,X2 为决策变量,解得 Xl≤150 件,X2≤100 件,

fmax=(120 × 150+100× 100)元=28000 元 故当甲产品生产 150 件、乙产品生产 100 件时,产值最大,为 28000 元。 6. [3,12]

§18.3 用表格法解线性规划问题(第一课时)
课前预习单 1.(1)课本第 100 页 1 目标函数是最大值形式; (2)○ 2 约束条件用等式表示,且等式右端常数为非负数; ○ 3 决策变量非负。 ○ 2.解:令 z/ = -z,并分别加入人工变量 X3,X4。得到标准形式: maxz/ = -X1-3X2+0X3+0X4

? x1 ? x2 ? x3 ? 1 ? ? ? x1 ? 3 x2 ? x4 ? 6 ? ? ? x1 , x2 , x3 , x4 ? 0
课堂探析单 活动一:课本 100 页 活动二:1. Max z =5 x1 +4 x2 +0 x3 +0 x4

?3x1 ? 4 x 2 ? x3 ? 250 ? ? ?2 x1 ? x 2 ? x 4 ? 100 ? ? ? x1 , x 2 , x3 , x 4 ? 0
2. Max z/ = x1 -4 x2 +0 x3 +0 x4

? x1 ? x2 ? x3 ? 2 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? x4 ? 5 ? ? ? x1 , x2 , x3 , x4 ? 0
3.用 x1 , x2 分别取代 x,y,并加入人工变量 x3 , x4 。 Max z/ =-6 x1 -4 x2 +0 x3 +0 x4

?2 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ? ? ?6 x1 ? 8 x2 ? x4 ? 3 ? ? ? x1 , x2 , x3 , x4 ? 0

课堂检测单
1. Max z =3 x1 + x2 +0 x3 +0 x4

? x1 ? 4 x2 ? x3 ? 8 ? ? ?5 x1 ? 3x2 ? x4 ? 12 ? ? ? x1 , x2 , x3 , x4 ? 0
2. Max z/ = x1 -4 x2 +0 x3 +0 x4

? x1 ? x 2 ? x3 ? 5 ? ? ? x1 ? x 2 ? x 4 ? 2 ? ? ? x1 , x 2 , x3 , x 4 ? 0
课后巩固单
1.D 2.(2)Max z/ = x1 -4 x2 +0 x3 +0 x4

?2 x1 ? 3x2 ? x3 ? 7 ? ? ? x1 ? 3x2 ? x4 ? 4 ? ? ? x1 , x2 , x3 , x4 ? 0 §18.3 用表格法解线性规划问题(第二课时)
课前预习单 1.表格法 2. Max z =3 x1 + x2 +0 x3 +0 x4

?3x1 ? 4 x 2 ? x3 ? 250 ? ? ?2 x1 ? x 2 ? x 4 ? 100 ? ? ? x1 , x 2 , x3 , x 4 ? 0
最优解是: x1 =30 , x2 =40 ,maxz=310 课堂探析单 活动一:最优解是: x1 =30 , x2 =40 ,maxz=310 活动二:最优解是:x=
7 3 7 3 17 ,y= , maxz=2× + = 2 2 2 2 2

课后巩固单
1(1) Max z =3 x1 + x2 +0 x3 +0 x4 +0 x5

? x1 ? x2 ? x3 ? 7 ? ?2 x1 ? x2 ? x4 ? 12 ? ?3 x1 ? 4 x2 ? x5 ? 4 ? , ? x1 x2 , x3 , x4 , x5 ? 0
(2) Max z/ =-3 x1 -4 x2 +5 x3 +0 x4 +0 x5

?3x1 ? 3x 2 ? x 3 ? x 4 ? 2 ? ? ? x1 ? 3x 2 ? x 3 ? x 5 ? 1 0 ? ? ? x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ? 0
2.标准化: Max z =8 x1 +10 x2 +0 x3 +0 x4

?2 x1 ? x 2 ? x3 ? 11 ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? x 4 ? 10 ? ? ? x1 , x 2 , x3 , x 4 ? 0
用表格法得最优解为: x1 =4, x2 =3, maxz=8×4+10×3=62

§18.4 用 Excel 解线性规划问题
课前预习单 图解法和表格法见课本
课堂探析单 用 Excel 解线性规划问题操作步骤如下: 1.打开 Excel,在“工具”菜单中点击“加载宏命令” ,选中“规划求解” ,点击“确定” 2.在工具表中输入有关项目和数据 3.在单元格 D3 中输入相应公式,并复制到 D4,D5 单元格 4.选中单元格 D3,在“工具”菜单中“规划求解”弹出“规划求解参数”对话框,在“等于”栏 中选择“最大值” 。 5.在 “规划求解参数”对话框中点击“约束”栏,完成约束条件的添加。 6.点击“确定” 。 7.检查输入的内容无误后,点击“求解” 。


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