黑龙江省大庆铁人中学2015届高三10月月考数学(文)试题含解析

黑龙江省大庆铁人中学 2015 届高三 10 月月考数学(文)试题(解析版) 【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容,如复数、简易逻辑试卷都有 所考查。 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 【题文】1.设集合 A={(x,y)| - =1},B={(x,y) |y= ( ) },则 A∩B 的子集的个 4 16 2 数是( A.8 ) B.4 C.2 D.1

x2

y2

3

x

【知识点】子集与真子集;交集及其运算.A1 【答案解析】A 解析:结合双曲线 - =1 的图形及指数函数 y= ( ) 的图象可知,有 3 4 16 2 个交点,故 A∩B 子集的个数为 8.故选 A.

x2

y2

3

x

【思路点拨】结合双曲线

=1 的图形及指数函数 y=

的图象可知,有 3 个交
n

点.对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有 n 个元素,则它有 2 个子集. 【题文】2.在等比数列 {an } 中, a1 ? 4, a3 ? a2 ? a4 ,则 a6 ? ( A. )

1 或—8 8

B.

1 1 或? 8 8

C. ?

1 或8 8

D.

1 1 或 4 16

【知识点】等比数列的性质.D3 【 答 案 解 析 】 B 解 析 : 由 已 知 a3 ? a2 ? a4 ? a3 , 所 以 a3 ? 1, q ?
2

2

a3 1 ? ,所以 a1 4

1 a 6 ? a3 ? q 3 ? ? ,故选 B. 8
【思路点拨】利用等比数列的性质,先求出 a3,再求出公比,即可求出 a6. 【题文】3.已知中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5,则它的渐近线方程为 ( ) B.y=± 1 C.y=± x 2 D.y=± 6x

5 x 2 【知识点】双曲线的简单性质.H6 A.y=±2x

y2 x2 c 2 2 【答案解析】C 解析:设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),∵e= = 5,c= a +b , a b a


a2+b2 = a2

b2 b 1 1+ = 5,∴ =2,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,故选 C. a a 2

1

【思路点拨】可设方程为: 2- 2=1(a>0,b>0),由离心率和 abc 的关系可得 b =2a ,而渐 1 近线方程为 y=± x. 2 【题文】4.已知圆 C 的方程为 x +y +2x-2y+1=0,当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距 离最大时,k 的值为( A. 1 3 1 B. 5 ) 1 C.- 3 1 D.- 5
2 2

y2 x2 a b

2

2

【知识点】点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系.H2 H4 【答案解析】 D 解析: 圆 C 的方程可化为(x+1) +(y-1) =1, 所以圆心 C 的坐标为(-1,1), 又直线 kx+y+4=0 恒过点 A(0,-4),所以当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距离最大时, 1 1 直线 CA 应垂直于直线 kx+y+4=0,直线 CA 的斜率为-5,所以-k= ,k=- . 5 5 【思路点拨】圆心为 C(﹣1,1)半径 r=1,直线恒过定点 B(0,﹣4) ,当直线与 BC 垂直 时,圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距离最大,由斜率公式易得 BC 的斜率,再由垂直关系可得. 【题文】5.函数 f(x)=2cos x- 3sin2x(x∈R)的最小正周期和最小值分别为 ( A.2π ,3 B.2π ,-1 C.π ,3 D.π ,-1
2 2 2

)

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.C3 C7 π 2 【答案解析】D 解析:由题可知,f(x)=2cos x- 3sin2x=cos2x- 3sin2x+1=2sin( 6 -2x)+1,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=π ,最小值为-1,故选 D. π 【思路点拨】首先,结合已有的知识,得到 f(x)=2sin( -2x)+1,然后,结合正弦函 6 数的性质,得到相应的结果. 【题文】6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈ [0,1)时,f(x)=2 -1,则 f (log1 6) 的值为(
2
x

)

5 A.- 2

B.-5

1 C.- 2

D.-6

【知识点】函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值.B4 【答案解析】C 解析:∵ f ( x) 为奇函数, log1 6 ? ? log2 6 ,且 f ( x) 周期为 2
2

∴ f (log1 6) ? ? f (log2 6) ? ? f (log2 6 ? 2) ? ? f (log2
2

log2 3 1 ) ? ?(2 2 ? 1) ? ? 2 2

3

故选 C. 【思路点拨】 由题意可得: 结合函数的周期性可得: f (log26) =f (log2 ) , log1 6 ? ? log2 6 ,
2

再根据题中的条件代入函数解析式可得答案.
2

1 2 【题文】 7. 若函数 f(x)=lnx- ax -2x 存在单调递减区间, 则实数 a 的取值范围是 ( 2 A. (??,1) B. (??,1] C. (?1,??) D. [?1,??)



【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12 1 1-ax -2x 【答案解析】C 解析:f ′(x)= -ax-2= ,
2

x

x

由题意可知 f ′(x)<0 在(0,+∞)内有实数解.即 1-ax -2x<0 在(0,+∞)内有实数解. 1 2 1 2 1 2 即 a> 2- 在(0,+∞)内有实数解.∵x∈(0,+∞)时, 2- =( -1) -1≥-1,

2

x

x

x

x

x

∴a>-1.故选 C. 1 1-ax -2x 1 2 【思路点拨】f ′(x)= -ax-2= ,化为 a> 2- 在(0,+∞)内有实数解,求
2

x

x

x

x

1

x2 x

2 - 的值域.
2

【题文】8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -6n,数列{|an|}的前 n 项和 Tn,则 是( ) B.

Tn 的最小值 n

A. 6 2 ? 6

13 5

C.

5 2

D.3

【知识点】等差数列的前 n 项和;数列的求和.D2 D4 【答案解析】C 解析:由已知 an ? 2n ? 7,

a1 ? a2 ? a3 ? 0 ? a4 ? ?

?? n ? 6 (n ? 3) 2 ? Tn ? ?? S n ? ?n ? 6n (n ? 3) Tn ? ? , ? ? 18 2 n ? ? 6 (n ? 4) ? ?S n ? 2 S 3 ? n ? 6n ? 18 (n ? 4) n ? n ?
当 n ? 4 时,有最小值

5 ,故选:C. 2

?? n ? 6 (n ? 3) Tn ? 【思路点拨】由题意可得 an=2n﹣7,进而可得 ,由函数的性质 ? ? 18 n ?n ? ? 6 (n ? 4) n ?
可得最值. π 【题文】 9. 若满足条件 AB= 3, C= 的三角形 ABC 有两个, 则边长 BC 的取值范围是( 3 A.(1, 2) B.( 2, 3) C.( 3,2) D.( 2,2) )

【知识点】解三角形.C8

3

【答案解析】 C 解析: 若满足条件的三角形有两个, 则

3 BC AB =sinC<sinA<1, 又因为 = 2 sinA sinC

=2,故 BC=2sinA,所以 3<BC<2,故选 C. 【思路点拨】由已知条件 C 的度数,AB 及 BC 的值,根据正弦定理用 a 表示出 sinA,由 C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC 有两个 A 的范围,然后根据 A 的范围,利用特 殊角的三角函数值即可求出 sinA 的范围,进而求出 BC 的取值范围.

x+y≤2, ? ? 【题文】10.已知 x,y 满足不等式组?y-x≥0, ? ?x≥0.
最小值,则有( A.a>1 ) B.a>-1 C.a<1

目标函数 z=ax+y 只在点(1,1)处取

D.a<-1

【知识点】简单线性规划.E5 【答案解析】D 解析: 作出可行域如图阴影部分所示.

由 z=ax+y,得 y=-ax+z. 只在点(1,1)处 z 取得最小值,则斜率-a>1, 故 a<-1,故选 D. 【思路点拨】画出约束条件表示的可行域,利用目标函数取得的最小值,确定直线的斜率的 范围,得到结果. 【题文】11.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f ′(x)>1,则不等 式 e ·f(x)>e +1 的解集为( A.{x|x>0}
x x

) C.{x|x<-1,或 x>1} D.{x|x<-1,或 0<x<1}

B.{x|x<0}

【知识点】函数单调性的性质;导数的运算.B11 B12 【答案解析】 A 解析: 构造函数 g(x)=e ·f(x)-e , 因为 g′(x)=e ·f(x)+e ·f ′(x) x x x x x x x -e =e [f(x)+f ′(x)]-e >e -e =0, 所以 g(x)=e ·f(x)-e 为 R 上的增函数. 又 g(0) 0 0 =e ·f(0)-e =1,所以原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0.故选 A 【思路点拨】构造函数 g(x)=e ?f(x)﹣e ,结合已知可分析出函数 g(x)的单调性, 结合 g(0)=1,可得不等式 e ?f(x)>e +1 的解集.
x x x x
x x x x

4

【题文】12.已知点 P 是椭圆 + =1(x≠0,y≠0)上的动点,F1、F2 分别为椭圆的左、右 16 8 焦点,O 是坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点,且 F1 M ? MP ? 0 ,则 | OM | 的取值 范围是( ) B.(0,2 2) C.[2 2,3) D.(0,4]

x2

y2

A.[0,3)

【知识点】椭圆的简单性质;椭圆的定义.H5 【答案解析】 B 解析: 延长 F1M 交 PF2 或其延长线于点 G, ∵ F1 M ? MP ? 0 , ∴ F1 M ? MP ? 0 又 MP 为∠F1PF2 的平分线,∴|PF1|=|PG|且 M 为 F1G 的中点,∵O 为 F1F2 的中点, 1 ∴OM//F2G.,且|OM|= |F2G|. ∵|F2G|=||PF2|-|PG||=||PF2|-|PF1||, 2 1 ∴ | OM | = |2a-2|PF2||=|4-|PF2||. 2 ∵4-2 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4+2 2,∴| | OM | ∈(0,2 2). 故选 B. 【思路点拨】结合椭圆 + =1 的图象,当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时,点 M 与原点 O 重 16 8 合,此时|OM|取最小值 0.当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时,点 M 与焦点 F1 重合,此时|OM| 取最大值 .由此能够得到|OM|的取值范围.

x2

y2

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 2 【题文】13.若关于 x 的不等式 2-x =|x-a|至少有一个负数解,则实数 a 的取值范围是 ________. 【知识点】根的存在性及根的个数判断.B9 【答案解析】? ?

? 9 ? y=2-x2 是开口向下的抛物线, y=|x-a|是与 x 轴交于(a,0) , 2 ? 解析: ? 4 ?
2 2

点的“V 字形”折线,显然当 a=2 时,y=2-x (x<0)的图象都在折线下方,由 2-x =x-a 9 2 2 得 x +x-a-2=0,由 Δ =1+4a+8=0 得 a=- ,此时 y=x-a 与 y=2-x (x<0)相切, 4 9 故- ≤a<2.故答案为:[﹣ ,2) . 4 【思路点拨】关于 x 的不等式 2-x =|x-a|至少有一个负数解化为 y=2-x 与 y=|x-a| 至少有一个横坐标为负数的交点,从而解得. 【 题 文 】 14 . 已 知 e1 , e2 是 互 相 垂 直 的 两 个 单 位 向 量 , 若 向 量 a ? t ? e1 ? e2 与 向 量
2 2

b ? e1 ? t ? e2 的夹角是钝角,则实数 t 的取值范围是
【知识点】平面向量数量积的运算.F3

5

【答案解析】 ? ??, ?1?

? ?1,0?

解析:∵向量 a 与向量 b 的夹角是钝角,∴ a ? b ? 0 ,且

? a, b ?? ? 由 (t ? e1 ? e2 ) ? (e1 ? t ? e2 ) ? 0 ,且 | e1 |?| e2 |? 1, e1 ? e2 ? 0 ,得 t ? 0
令 t ? e1 ? e2 ? ? (e1 ? t ? e2 ), ? ? 0 ,则 ? 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) 【思路点拨】利用向量 a ? t ? e1 ? e2 与向量 b ? e1 ? t ? e2 是的夹角是钝角得到它们的数量 积小于 0,并且注意当向量的夹角为 π 时数量积也小于 0 要排除. 【题文】15.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,则 ( a ? 【知识点】基本不等式.E6 【答案解析】

?t ? ? ,于是 t ? ?1 ,故, t ? 0 ,且 t ? ?1 ?1 ? ? ? t

1 1 )( b ? ) 的最小值是 a b 1 4

25 4

解析:由已知 1 ? a ? b ? 2 ab ,∴ 0 ? ab ?

1 1 a 2 b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 a 2 b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 1 (a ? )(b ? ) ? ? a b ab ab 1 ? ab ? ?2 ab
当且仅当 ab ? 故答案为:

1 25 时,取最小值 4 4


【思路点拨】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出. 【题文】16.下列结论: ①已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ②命题“设 a,b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; ③函数 f(x)=lg(x+ 1+x )是奇函数; ④在△ABC 中,若 sinAcosB=sinC,则△ABC 是直角三角形; ⑤“m>n>0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件; ⑥已知 a、b 为平面上两个不共线的向量,p:|a+2b|=|a-2b|;q:a⊥b,则 p 是 q 的必 要不充分条件.其中正确结论的序号为________. 【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】③④⑤ 解析:当 b=a=0 时, 有 l1⊥l2,故①不正确; ②的逆否命题为“设 a, b∈R,若 a=3 且 b=3,则 a+b=6”,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,②错误; 1 f(-x)=lg(-x+ 1+x2)=lg( )=-f(x),所以③正确;由 sinAcosB=sinC 得 x+ 1+x2
6
2 2 2

a b

π sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以 cosAsinB=0, 所以 cosA=0, 即 A= , 2 1 1 x y 2 2 所以△ABC 是直角三角形,所以④正确;∵m>n>0,∴0< < ,方程 mx +ny =1 化为 + = m n 1 1
2 2

m

n

1,故表示焦点在 y 轴上的椭圆,反之亦成立.∴⑤是真命题;由于|a+2b|=|a-2b|?(a 2 2 +2b) =(a-2b) ?a·b=0?a⊥b,因此 p 是 q 的充要条件,∴⑥是假命题.故答案为: ③④⑤ 【思路点拨】当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,即可判断①;考虑②的逆否命题的真假,即可判断②; 由奇偶性的定义,即可判断③;运用三角恒等变换公式,化简即可判断三角形 ABC 的形状, 即可判断④;由条件,化简曲线方程为标准方程,即可判断⑤;运用向量的数量积的性质, 两边平方,化简即可得到,再由充分必要条件定义即可判断⑥. 三、解答题(共 70 分) 【题文】17. (本小题满分 10 分) 若函数 f(x)=-x +6x -9x+m 在区间[0,4]上的最小值为 2,求它在该区间上的最大值. 【知识点】函数的最值及其几何意义.B3 【答案解析】6 解析: f ′(x)=-3x2+12x-9=-3(x-1)(x-3), ----------------------------------2 分 由 f ′(x)=0 得, x=1 或 x=3,
3 2

f(x)的值随 x 的变化情况如下表:
x 0 (0,1) - 1 0 (1,3) + 递增 3 0 (3,4) - 递减 4

f ′(x) f(x) m

递减

m-4

m

m-4

-------------6 分 由已知 f(x)的最小值为 f(1)=f(4)=m-4=2,∴m=6 ∴f(x)在[0,4]上的最大值为 f(0)=f(3)=m=6
2

------------8 分 -------------10 分

【思路点拨】先求导数 f′(x)=﹣3x +12x﹣9=﹣3(x﹣1) (x﹣3) ,由 f′(x)=0 得,x=1 或 x=3;x=1 与 x=3 把区间[0,4]分成(0,1) 、 (1,3) 、 (3,4) ,在每个区间上研究函数的 单调性. 【题文】18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),当 x>1 时,f(x)>0,且 f(x·y)=f(x)+f(y). (1)证明:f(x)在定义域上是增函数; 1 1 (2)如果 f( )=-1,求满足不等式 f(x)-f( )≥2 的 x 的取值范围. 3 x-2 【知识点】抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明.B3 【答案解析】(1) 见解析;(2) [1+ 10,+∞).
7

解析:(1)令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),故 f(1)=0.

-------------2 分 -------------4 分

1 1 1 令 y= ,得 f(1)=f(x)+f( )=0,故 f( )=-f(x).

x

x

x

1 x2 任取 x1、x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ),

x1

x1

由于 >1,则 f( )>0,从而 f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.------6 分 1 1 (2)由于 f( )=-1,而 f( )=-f(3),故 f(3)=1, 3 3 在 f(x·y)=f(x)+f(y)中,令 x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2, 又由(1)知-f( 1 )=f(x-2), x-2 ------------10 分 --------8 分

x2 x1

x2 x1

故所给不等式可化为 f(x)+f(x-2)≥f(9),即 f[x(x-2)]≥f(9),

x>0, ? ? ∴?x-2>0, ? ?xx-2≥9,

解得 x≥1+ 10,

∴x 的取值范围是[1+ 10,+∞).

------------12 分

【思路点拨】(1) 设 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则 >1, ,故 f( )>0,由此导出 f(x2) 1 x2 -f(x1)=f(x2)+f( )=f( )<0,从而能够证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2) 令

x2 x1

x2 x1

x1

x1

x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2,故所给不等式可化为 f(x)+f(x-2)≥f(9),即 f[x(x -2)]≥f(9),由此能求出 x 的范围.
【题文】19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,向量 m ? (b,2a ? c) , n ? (cosB, cosC) , 且 m // n (1)求角 B 的大小; (2)设 f(x)=cos?ω x- ?+sinω x ( ? ? 0 ),且 f(x)的最小正周期为 π ,求 f(x)的单调 2? ? 区间. 【知识点】正弦定理;平面向量共线(平行)的坐标表示.C8 F2

?

B?

? 5? π ], k ? Z ; 【答案解析】(1) B= ;(2) 单调递增区间是 [k? ? , k? ? 3 3 6
单调递减区间是 [k? ?

?
6

, k? ?

?
3

], k ? Z

解析:(1)由 m∥n 得,bcosC=(2a-c)cosB, ∴bcosC+ccosB=2acosB.

8

由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, 即 sin(B+C)=2sinAcosB. 又 B+C=π -A,∴sinA=2sinAcosB. 1 π 又 sinA≠0,∴cosB= ,而 B∈(0,π ),∴B= . 2 3 (2) 由题知 f(x) = cos(ω x - -----6 分 由已知得 由 2k? ? 由 2k? ? π 2? ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ ? ? ?2 ,f(x)=- 3sin(2x- ),------------8 分 6 |? | ------------2 分 ------------4 分

π 3 3 π ) + sinω x = cosω x + sinω x = 3 sin(ω x + ) , 6 2 2 6

?
2

? 2x ? ? 2x ?

?
6

? 2k? ? ? 2k? ?

?
2

,得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

, k?Z

?
2

?
6

3? ? 5? , k?Z ,得 k? ? ? x ? k? ? 2 3 6

故,函数 f(x)的单调递增区间是 [k? ? 单调递减区间是 [k? ?

?
3

, k? ?

5? ], k ? Z ; 6
------------12 分

?
6

, k? ?

?
3

], k ? Z

【思路点拨】 (1)通过向量平行,推出关系式,利用正弦定理以及两角和的正弦函数,化简 通过三角形内角,即可求出 B 的大小. (2)利用(1)B 的值,以及两角和的正弦函数,化 简函数的表达式,通过函数的周期求出 ω ,通过正弦函数的单调区间求解即可. 【题文】20. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数 f ′(x)=2x+2,数列{an}的前 n 项 和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2 ·an,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn. 【知识点】数列的求和;导数的运算.B11 D4 【答案解析】(1) an=2n+1; (2) Tn=(2n-1)·2 +2. 2 解析:(1)设 f(x)=ax +bx,f ′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x +2x, ∴Sn=n +2n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1, 又 a1=S1=3,适合上式,∴an=2n+1. (2)bn=(2n+1)·2 , ∴Tn=3·2 +5·2 +7·2 +?+(2n+1)·2 , ∴2Tn=3·2 +5·2 +7·2 +?+(2n+1)·2
9
2 3 4 1 2 3 2 2 2 2 *

n

n+1

------------2 分

------------6 分

n

n

n+1



------------8 分

相减得-Tn=3·2 +2·(2 +2 +?+2 )-(2n+1)·2 4·1-2 =6+2· 1-2 ∴Tn=(2n-1)·2
n+1 n-1

1

2

3

n

n+1

-(2n+1)·2

n+ 1

=(1-2n)·2

n+1

-2,

+2.

------------12 分

【思路点拨】(1) 由已知设函数 f(x) ,结合导函数可求函数解析式,进而可得 sn,然后利 用当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1,a1=S1,可求通项;(2) 可求 bn,然后利用错位相减可求数列的 和。 【题文】21. (本小题满分 12 分)

x y 3 2 若椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点是椭圆 C1 4 b 2
的一个顶点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2, 当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程;抛物线的标准方程.H1 H7 H8 【答案解析】(1) x =4y.;(2) x-y+1=0. 解析:(1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b , 由离心率 e= =
2 2

2

2

c a

4-b 3 2 = 得,b =1. 2 2

2

------------2 分

∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x =4y.
2

------------4 分

(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零, 则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1), E(x1, y1), F(x2,

y2),
1 2 1 1 1 ∵y= x ,∴y′= x,∴切线 l1、l2 的斜率分别为 x1、 x2, 4 2 2 2 1 1 当 l1⊥l2 时, x1· x2=-1,即 x1·x2=-4, 2 2 由?
? ?y=kx+1, ?x =4y. ?
2 2

------------8 分

得 x -4kx-4k=0,

2

由 Δ =(-4k) -4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1·x2=-4k=-4,得 k=1,满足 Δ >0 ∴直线 l 的方程为 x-y+1=0. ------------12 分

【思路点拨】 (1)根据长半轴是 2 求出 a 的值,再表示出半焦距 c,根据离心率的值求出 b 的值,从而可得到抛物线的焦点坐标,得到抛物线的标准方程. (2)先根据题意设出直线 l 的方程和点 E、F 的坐标,然后对抛物线方程进行求导运算,进而得到切线 l1,l2 的斜率, 根据 l1⊥l2 可得到 x1?x2 的值,再联立直线 l 与抛物线方程消去 y 得到关于 x 的一元二次方
10

程,进而可表示出两根之积,再结合 x1?x2 的值可确定 k 的值,最后将 k 的值代入到直线方 程即可得到答案. 【题文】22. (本小题满分 12 分) 椭圆的两焦点坐标分别为 F1(- 3,0),F2( 3,0),且椭圆过点 P(1,- (1)求椭圆方程; (2)若 A 为椭圆的左顶点,作 AM⊥AN 与椭圆交于两点 M、N,试问:直线 MN 是否恒过 x 轴上 的一个定点?若是,求出该点坐标;若不是,请说明理由. 【知识点】椭圆的简单性质.H5 【答案解析】(1) 3 ). 2

x2
4

+y =1; (2) 直线 MN 过定点 T ( ?
2

6 ,0 ) 。 5

x2 y2 3 解析:(1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),由题意 c= 3,且椭圆过点 P(1,- ), a b 2 a -b =3, ? ? ∴? 1 3 =1. 2+ ? a 4 b2 ?
2 2

? ?a =4, ?? 2 ?b =1. ?

2

∴椭圆方程为 +y =1. 4

x2

2

------------4 分

(2)解法 1:由已知直线 MN 与 y 轴不垂直,假设其过定点 T (a,0) ,设其方程为 x ? my ? a

?x ? m y ? a ? 2 2 2 由 ? x2 得 (m ? 4) y ? 2amy? a ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? ?

------------6 分

2am m2 ? 4

y1 ? y 2 ?

a2 ? 4 m2 ? 4

∴ x1 ? x2 ? my1 ? a ? my2 ? a ? m( y1 ? y 2 ) ? 2a

x1 ? x2 ? (my1 ? a)(my2 ? a) ? m2 y1 y2 ? am( y1 ? y2 ) ? a 2
∵ AM ? AN ,∴ AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2) ? 0 ∴ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y 2 ? 0 ∴ (m ? 1) y1 y2 ? m(a ? 2)( y1 ? y2 ) ? (a ? 2) ? 0
2 2

------------10 分



(m 2 ? 1)(a ? 2)(a ? 2) 2am2 (a ? 2) ? ? (a ? 2) 2 ? 0 2 2 m ?4 m ?4
6 5

若 a ? ?2 ,则 T 与 A 重合,不合题意,∴ a ? 2 ? 0 ,整理得 a ? ? 综上,直线 MN 过定点 T ( ?

6 ,0 ) 5

------------12 分

11

【思路点拨】 (1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0) ,先求出 c= 3,b =1,a =4,从而 可得椭圆方程; (2)由已知直线 MN 与 y 轴不垂直,假设其过定点 T (a,0) ,设其方程为

x2 y2 a b

2

2

x ? my ? a ,得 (m 2 ? 4) y 2 ? 2amy? a 2 ? 4 ? 0 ;设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 y 2 ) ,有

6 6 AM ? AN ? 0 ,即(x1+2,y1)?(x2+2)=0,整理得 a ? ? ,故直线 MN 过定点 T ( ? ,0) 5 5

12


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