商丘市一高2014-2015高三上学期10月月考试卷(理科)

2014—2015 学年度第一学期月考
高三数学理科试卷
命题人:王学涛 审题人:李改良
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.

A.

3 4

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4


7.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,且 A. x ?

?

2? 3 0

f ( x)dx ? 0 ,则函数 f ( x) 的图像的一条对称轴是(
C. x ?

5? 6
2

B. x ?

7? 12
1 0

?
3


D. x ?

?
6

第 I 卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4 ,6}, 则右图中的阴影部分表示的集合为( ) A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{4,6,7,8} 2.已知 a ? R ,且 A. 2

8.若 f ( x) ? x ? 2 A. ?1

?

1

0

f ( x)dx ,则 ? f ( x)dx (
1 3
C.

B. ?

1 3

D. 1

9.如图,函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象 经过点 ( ?

?
6

, 0) 、 (

7? , 0) ,且该函数的最大值为 2 ,最 6
)

小值为 ?2 ,则该函数的解析式为 (

?a?i 为纯虚数,则 a 等于( 1? i



x ? ) 2 6 3x ? C. y ? 2sin( ? ) 2 6
A. y ? 2sin( ?

x ? ) 2 4 3x ? D. y ? 2sin( ? ) 2 4
B. y ? 2sin( ?

B. ?

2

C. 1

D. ? 1

10.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的长为连续的三个正整数, 且 A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C ? ( A. 4 : 3 : 2 B. 5 : 6 : 7 C. 5 : 4 : 3 ) D. 6 : 5 : 4

3.已知函数 f ( x ) 是定义在 [?5,5] 上的偶函数, f ( x ) 在 [0,5] 上是单调函数,且 f (?3) ? f (1) , 则下列不等式中一 定成立的是( ) A. f (?1) ? f (?3) B. f (2) ? f (3) 4.函数 f ( x) ? x ? sin x 的零点个数是( A.1 个 B.2 个 C. f (1) ? f (0) D. f (?3) ? f (5)

11 .设 m, n ? Z ,已知函数 f ( x) ? log2 (? | x | ?4) 的定义域是 [m, n] ,值域是 [0, 2] ,若函数

) C.3 个

D. 无数个

g ( x) ? 2|x?1| ? m ? 1 有唯一的零点,则 m ? n ? (
A. 1
2

) D. 0

5.已知角 ? 顶点在原点,始边为 x 轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点 (m, 3m) , 则 sin 2? ? ( )

B. ? 1
x

C. 2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? e ? 则 a 的取值范围是( A. (??,

1 ( x ? 0) 与 g ( x) ? x2 ? ln( x ? a) 的图像上存在关于 y 轴对称的点, 2

3 A. ? 4

3 B. 4

3 C. ? 2

3 D. 2
3 1 AB + AC ,则 ?ABM 与 ?ABC 的 4 4

) B. (??, e ) C. ( ?

1 ) e

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e

6.若点 M 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 AM = 面积之比等于( )

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 注意事项:1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚; 2.考生做答时,用黑色签字笔将答案答在答题卷上,答在试题卷上的答案无效.
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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

?y ? x ? 13. 变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 得最小值为 ?6 ,则 k ? ?y ? k ?
14. 若曲线 f ( x) ? ax3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是: 15. 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0 ).若 f ( x ) 在区间

(1)当 m ? 0 时,若 | a |? | b | ,求 x 的取值范围; . (2)若 a b ? 1 ? m 对任意的实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M 成立, . 则称 f ( x ) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x ) 的上界.已知函数 f ( x) ? (1)若 f ( x ) 是奇函数,求 m 的值;

.

? ? ? 2? ? [ , ] 具有单调性,且 f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ,则 f ( x) 的最小正周期为 6 2 2 3 6
16. 定义平面非零向量的的一种运算: a ? b ?| a | ? | b | sin ? a, b ? ,则下列命题: ① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b ) ? (?a) ? b ;③ (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| x1 y2 ? x2 y1 | . 其中真命题是 (写出所有真命题的序号).

1 ? m ? 2x . 1 ? m ? 2x

(2)当 m ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上的值域,并判断函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上是否为 有界函数,请说明理由; (3)若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上是以 3 为上界的函数,求实数 m 的取值范围.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (sin x,cos x) , b ? (sin x,sin x) , c ? (?1,0) . (1)若 x ?

21.(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, (1)求角 A 的大小; (2)当 a ? 3 时,求 b ? c 的取值范围.
2 2

?
3

,求向量 a , c 的夹角 ? ;

2b ? c cos C ? . a cos A

1 ? 3? ? ? (2)若 x ? ? ? , ? ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求实数 ? 的值. 2 ? 8 4?
18.(本小题满分 12 分) 单调递增数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? a ? n .
2 n

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a( x ? 1) (a ? R ) . x ?1

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 an?1 ? log3 bn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 19.(本小题满分 12 分) 已知 m, x ? R , 向量 a ? ( x, ?m), b ? ((m ?1) x, x) .

(1)若函数 f ? x ? 在定义域上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 m, n ? R? ,且 m ? n ,求证:

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

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2014—2015 学年度第一学期高三数学(理科)月考试卷
参考答案及评分标准
一、选择题 1--5. BDCAD 二、填空题 13. ?2 . 三、解答题: 17.解: (1)当 x ? 6--10.DABDD 15. 11--12.AB

所以, {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an ? n …………………..6 分 (2) 由 an?1 ? log3 bn ? log3 an ,得 n ? 1 ? log3 bn ? log3 n ,解得 bn ? 利用错位相减法解得 Tn ?

n 3n ?1

.

1 2n ? 3 (1 ? n ?1 ) ………………….12 分 4 3

14. a ? 0 .

?.

16. ①④

19. 解: (1) | a |2 ? x2 ? m2 , | b |2 ? (m ? 1)2 x2 ? x2 , 因为 | a |? | b | ,所以, | a |2 ? | b |2 . 从而 x2 ? m2 ? (m ? 1)2 x2 ? x2 .

?
3

时, a ? ?

? 3 1? ? 2 ,2? ?, ? ?

因为 m ? 0 ,所以 (

m 2 m m ) ? x 2 ,解得 x ? ? 或x? …………………..6 分 m ?1 m ?1 m ?1
2

3 5? a?c 3 ? 2 ?? 所以, cos ? ? ,因而 ? ? ;…………….5 分 6 2 | a | ? | c | 1? 1 ?
(2) f ( x) ? ? (sin x ? sin x cos x) ?
2

(2) a b ? (m ? 1) x2 ? mx . 由题意得 (m ? 1) x ? mx ? 1 ? m 对任意的实数 x 恒成立. 即 (m ? 1) x2 ? mx ? m ?1 ? 0 对任意的实数 x 恒成立.

?
2

(1 ? cos 2 x ? sin 2 x) ?

?
2

(1 ? 2 sin(2 x ? )) , 4

?

当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? ?1 时,显然不成立. 从而, ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? m ? 4(m ? 1)(m ? 1) ? 0

因为 x ? ? ?

? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3? ? ? 2x x? ? ? ?? ? ? , , , , ? ,所以 2 ? ? ? ? 4 4 ? 2 4 4? ? 2 ? ? 8 4?
?

1 1 当 ? ? 0 时, f max ( x) ? ?1 ? 1? ? ,即 ? ? , 2 2 2 ? 1 1 ? 2 ? ,即 ? ? ?1 ? 2 , 当 ? ? 0 时, f max ( x) ? 2 2 1 所以, ? ? 或? ? ?1 ? 2 ………………..10 分 2 2 18.解:(1)将 n ? 1 代入 2Sn ? an ① ?n,

?

?

?m ? ?1 2 3 ? 解得 ? 2 3 2 3 ,所以 m ? 3 .…………………..12 分 或m ? ? ?m ? 3 3 ?
20. 解: (1)由 f ( x ) 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x)



1 ? m ? 2? x 1 ? m ? 2x 2 x 2 ? ? , 即 (1 ? m )2 ? 0, ?m ?1 ? 0, m ? ?1. …………..…3 分 1 ? m ? 2? x 1 ? m ? 2x

2 解得 a1 ? 1 .当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? an ?1 ? n ?1 . 2 2 由①—②,得 2an ? an ? an ?1 ? 1 . 2 整理得 (an ?1)2 ? an ?1 ? 0 .



1 ? 2x 2 ? ? 1. (2)当 m ? 1 时, f ( x) ? x 1 ? 2 1 ? 2x

即 an ? an?1 ? 1 或 an ? an?1 ? 1 ( n ? 2 ).

x ? 0, ?0 ? 2x ? 1 ,? f ( x) ? (0,1) ,满足 | f ( x) |? 1 .

又因为 {an } 单调递增数列,所以, an ? an?1 ? 1 .

? f ( x) 在 (??, 0) 上为有界函数.……………7 分
(3)若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上是以 3 为上界的有界函数,则有
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1 ? m ? 2x ? 3, | f ( x) |? 3 在 [0,1] 上恒成立.??3 ? f ( x) ? 3, 即 ?3 ? 1 ? m ? 2x

所以, ?

1 ? sin(2 B ? 30 ) ? 1 ,从而 3 ? b2 ? c 2 ? 6 ..…………………..12 分 2

?1 ? m ? 2 x ? m ? 2x?2 ? 2 1 1 ? ?0 ? 3 ? 0 m ? ? x 或m ? ? x ?1 ? ? x x ? ? ? 1? m ? 2 1? m ? 2 2 2 ,化简得: ? ,即 ? , ?? ? x ?1 x ? m ? ? 2 或m ? ? 1 ?m?2 ? 4 ? 0 ?1 ? m ? 2 ? 3 ? 0 ? ? ? ? 2x 2x ? 1 ? m ? 2x ?1 ? m ? 2 x
上面不等式组对一切 x ? [0,1] 都成立,

22.解: (1)因为 f ' ? x ? ?

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1) 2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 . ? ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1) 2

f ? x ? 的定义域是 ? 0, ??? ,由题意知: f ' ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立.
即 x ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立.
2 2 当 x ? ? 0, ??? 时, x ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 ,得 2a ? 2 ? x ?

1 ? m ? ? 1 或 m ? ? ? ? 4 ? m ? ?2或m ? ? 1 故? , .……............12 分 1 4 ?m ? ?2或m ? ? ? ? 2
21.解: (1)在 ?ABC 中,因为

1 . x

设 g ( x) ? x ?

1 1 1 , x ? (0, ??).g ( x) ? x ? ? 2 x ? 2 . x x x
1 ,即 x ? 1 时, g ( x) 有最小值 2 . x

2b ? c cos C ? , a cos A 2sin B ? sin C cos C ? 由正弦定理得, , sin A cos A 即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A ,
故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ,又因为 sin B ? 0 ,

当且仅当 x ?

所以, 2a ? 2 ? 2 ? a ? 2 . 所以 a 的取值范围是 (??, 2] . …………………..6 分

(2)证明:要证

1 ? , A ? .…………………..6 分 2 3 a b c ? ? ? 2 ,则 (2)由正弦定理得 sin A sin B sin C
所以 cos A ?

m?n m?n ? ,不放设 m ? n (若 m ? n 交换顺序即可) , ln m ? ln n 2

b ? 2sin B, c ? 2sin C ,所以,

m m m m ?1 ?1 2( ? 1) 2( ? 1) m m n ? n ?0 只需证 n ,即证 ln ? ,只需证 ln ? n m m m 2 n n ln ?1 ?1 n n n
设 h( x) ? ln x ?

b ? c ? 4sin B ? 4sin C ? 2(1 ? cos 2B ?1 ? cos 2C)
2 2 2 2

2( x ? 1) .由(1)知 h( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数. x ?1

? 2[2 ? cos 2B ? cos 2(120? ? B)]
1 3 ? 2[2 ? cos 2 B ? cos(240? ? 2 B)] ? 2(2 ? cos 2 B ? cos 2 B) ? 4 ? 2sin(2 B ? 30? ) 2 2
因为 0 ? B ? 120 , 所以, ?30 ? 2 B ? 30 ? 210 ,

m 2( ? 1) m m m ? 0 成立, 又 ? 1 ,所以 h( ) ? h(1) ? 0 ,即 ln ? n m n n n ?1 n
所以,

m?n m?n ? ...…………………..12 分 ln m ? ln n 2

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