四川省成都外国语学校高三下学期3月月考数学试卷(理科) Word版含解析

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2015-2016 学年四川省成都外国语学校高三(下)3 月月考数学试 卷(理科)
一.选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x2﹣1≤0},N={x| <2x+1<4,x∈Z},则 M∩N=( A.{﹣1,0} B.{1} C.{﹣1,0,1} D.? 2.抛物线 x= y2 的焦点到准线的距离为( A. B. C.2 D.8 ”是“z 为纯虚数”的( ) ) )

3.已知复数 z=(cosθ﹣isinθ) (1+i) ,则“θ=

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图所示的程序框图,若输出的 S=41,则判断框内应填入的条件是(



A.k>3? B.k>4? C.k>5? D.k>6? 5.已知 l,m,n 为三条不同直线,α,β,γ 为三个不同平面,则下列判断正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C.若 α∩β=l,m∥α,m∥β,则 m∥l D.若 α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α 6.五个人站成一排照相,其中甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同的站法有( A.24 种B.60 种 C.48 种 D.36 种





7.已知 P(x,y)为区域

内的任意一点,当该区域的面积为 2 时,z=x+2y 的

最大值是( ) A.5 B.0 C.2 D.2 8.已知 f(x)=sinx+2cosx,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在 x∈(0,π)上有两个不同零点 α, β,则 cos(α+β)=( ) A.﹣1 B. ﹣1 C. D.

9.设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 )

A,B,若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是( A. B. C. D. +1

10.已知 a 为常数,函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ( A. C. B. D.



二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动 员成绩由好到差编号为 1﹣35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间[139, 151]上的运动员人数





12.若

的展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为 .



13.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

14.已知 O(0,0) ,M(2,0) ,N(1,0) ,动点 P 满足: 轨迹上存在 A,B 两点,有 ? =0 成立,则| |的取值范围是

=

;若| .

|=1,在 P 的

15.已知 m∈R,函数 f(x)=

,g(x)=x2﹣2x+2m﹣1,下列叙述中

正确的有 ①函数 y=f(f(x) )有 4 个零点; ②若函数 y=g(x)在(0,3)内有零点,则﹣1<m≤1; ③函数 y=f(x)+g(x)有两个零点的充要条件是 m≤﹣ 或 m≥﹣ ; ④若函数 y=f(g(x) )﹣m 有 6 个零点则实数 m 的取值范围是(0, ) .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.已知公比为 q 的等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1, a2,a2 成等差数列.

(1)求 an; (2)设{bn}是首项为 2,公差为﹣a1 的等差数列,求数列{|bn|}前 n 项和为 Tn. 17.已知△ABC 的面积为 S,且 . (1)求 tan2A 的值; (2)若 , ,求△ABC 的面积 S.

18.某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将其数学成绩分成六段[40, 50) 、[50,60) 、…、[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列 问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (3)若从 60 名学生中随抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分,在[60,80)记 1 分,在[80,100]记 2 分,用 ξ 表示抽取结束后的总记分,求 ξ 的分布列和数学期望.

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD= F 为 PC 的中点,AF⊥PB. (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.



20.已知椭圆 M: :

+

=1(a>0)的一个焦点为 F(﹣1,0) ,左右顶点分别为 A,B.经

过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值. 21.已知函数 f(x)=xetx﹣ex+1,其中 t∈R,e=2.71828…是自然对数的底数. (Ⅰ)当 t=0 时,求 f(x)的最大值; (Ⅱ)若方程 f(x)=1 无实数根,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数,求实数 t 的取值范围.

2015-2016 学年四川省成都外国语学校高三(下)3 月月考 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x2﹣1≤0},N={x| <2x+1<4,x∈Z},则 M∩N=( A.{﹣1,0} B.{1} C.{﹣1,0,1} D.? 【考点】交集及其运算;指、对数不等式的解法. 【分析】求出集合 MN,然后求解交集即可. 【解答】解:集合 M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}, N={x| <2x+1<4,x∈Z}={x|﹣2<x<1,x∈Z}={﹣1,0}, 则 M∩N={﹣1,0} 故选:A 2.抛物线 x= y2 的焦点到准线的距离为( A. B. C.2 D.8 )



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】抛物线方程化为标准方程,利用抛物线的标准方程可得 p=2,由焦点到准线的距离 为 p,从而得到结果. 【解答】解:抛物线 x= y2,y2=4x 的焦点到准线的距离为 p,由标准方程可得 p=2, 故选 C.

3.已知复数 z=(cosθ﹣isinθ) (1+i) ,则“θ= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

”是“z 为纯虚数”的(



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】先根据复数的定义求出 θ=kπ﹣ ,k∈Z,再根据充分条件,必要条件的定义即可判

断. 【解答】解:复数 z=(cosθ﹣isinθ) (1+i)=cosθ+sinθ+(cosθ﹣sinθ)i, 若 z 为纯虚数,则 cosθ+sinθ= 则“θ= sin(θ+ )=0,即 θ+ =kπ,即 θ=kπ﹣ ,k∈Z,

”是“z 为纯虚数”充分不必要条件,

故选:A. 4.如图所示的程序框图,若输出的 S=41,则判断框内应填入的条件是( )

A.k>3?

B.k>4?

C.k>5?

D.k>6?

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输入 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案. 【解答】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K S 是否继续循环 循环前 1 0 第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 5 41 第四圈 否 故退出循环的条件应为 k>4? 故答案选:B. 5.已知 l,m,n 为三条不同直线,α,β,γ 为三个不同平面,则下列判断正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C.若 α∩β=l,m∥α,m∥β,则 m∥l D.若 α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据常见几何体模型举出反例,或者证明结论. 【解答】解: (A)若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 可能平行,可能相交,也可能异面,故 A 错误; (B)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面 ABCD 为平面 α,平面 CDD′C′为平面 β,直线 BB′为直线 m,直线 A′B 为直线 n, 则 m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线 A′B 与 BB′不垂直,故 B 错误.

(C)设过 m 的平面 γ 与 α 交于 a,过 m 的平面 θ 与 β 交于 b, ∵m∥α,m? γ,α∩γ=a, ∴m∥a, 同理可得:n∥a. ∴a∥b,∵b? β,a?β, ∴a∥β, ∵α∩β=l,a? α,∴a∥l, ∴l∥m. 故 C 正确. (D)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面 ABCD 为平面 α,平面 ABB′A′为平面 β,平面 CDD′C′为平面 γ, 则 α∩β=AB,α∩γ=CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但 BC? 平面 ABCD,故 D 错误. 故选:C.

6.五个人站成一排照相,其中甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同的站法有( A.24 种B.60 种 C.48 种 D.36 种 【考点】计数原理的应用. 【分析】分为两种情况:甲在两头,甲不在两头,即可得出结论. 【解答】解:分为两种情况:甲在两头,则排列方法为 2×2×(3×2×1)=24 种; 甲不在两头,则排列方法为 3×2×(2×1)=12 种, 故共 24+12=36 种排法. 故选:D.



7.已知 P(x,y)为区域

内的任意一点,当该区域的面积为 2 时,z=x+2y 的

最大值是( ) A.5 B.0 C.2 D.2 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为 2 的 a 值,化目标函数为直线方程的斜 截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:由 作出可行域如图

由图可得 A(a,﹣2a) ,B(a,2a) , 由 S△OAB= ?4a?a=2,得 a=1. ∴B(1,2) , 化目标函数 y= ∴当 y= 故选:A. x+ ,

x+ 过 A 点时,z 最大,z=1+2×2=5.

8.已知 f(x)=sinx+2cosx,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在 x∈(0,π)上有两个不同零点 α, β,则 cos(α+β)=( ) A.﹣1 B. ﹣1 C. D.

【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】f(x)=sinx+2cosx= sin(x+φ) ,其中 cosφ= ,sinφ= .由 x∈(0,π) ,可

得 φ<x+φ<π+φ.由于函数 g(x)=f(x)﹣m 在 x∈(0,π)上有两个不同零点 α、β,可 得 y=m 与 y=f(x)的图象有两个交点,可得 α 与 β 关于直线 x= f x) =sinx+2cosx= ( 【解答】 解: ( sinx+ cosx) = 对称,即可得出. sinφ= , .

sin (x+φ) , 其中 cosφ=

∵x∈(0,π) ,∴φ<x+φ<π+φ. ∵函数 g(x)=f(x)﹣m 在 x∈(0,π)上有两个不同零点 α、β, ∴y=m 与 y=f(x)的图象有两个交点, cos2φ=2cos2φ﹣1=2×( ∴sinφ<m< . 对称, )2﹣1=﹣ ,

且 α 与 β 关于直线 x= ∴α+β+2φ=π,

则 cos(α+β)=﹣cos2φ= . 故选:D.

9.设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 )

A,B,若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是( A. B. C. D. +1

【考点】双曲线的简单性质. B 的坐标, 【分析】 先求出 A, 可得 AB 中点坐标为 ( , ) , 利用点 P (m,

0)满足|PA|=|PB|,可得

=﹣3,从而可求双曲线的离心率.

【解答】解:由双曲线的方程可知,渐近线为 y=± x, 分别与 x﹣3y+m=0(m≠0)联立,解得 A(﹣ ,﹣ ) ,B(﹣ , ) ,

∴AB 中点坐标为(



) ,

∵点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,



=﹣3,

∴a=2b, ∴c= b, ∴e= = 故选:A. 10.已知 a 为常数,函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ( A. C. B. D. ) .

【考点】利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件. 【分析】先求出 f′(x) ,令 f′(x)=0,由题意可得 lnx=2ax﹣1 有两个解 x1,x2?函数 g(x) =lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点?g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0.利用导数与 函数极值的关系即可得出. 【解答】解:∵f′(x)=lnx+1﹣2ax, (x>0) 令 f′(x)=0,由题意可得 lnx=2ax﹣1 有两个解 x1,x2?函数 g(x)=lnx+1﹣2ax 有且只有两 个零点?g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0. . ①当 a≤0 时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此 g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合 题意,应舍去. ②当 a>0 时,令 g′(x)=0,解得 x= ∵x , 时,g′(x)<0,函

,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增;

数 g(x)单调递减. ∴x= 是函数 g(x)的极大值点,则 . <x2,又 g(1)=1﹣2a>0, >0,即 >0,

∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即

故当 0<a< 时,g(x)=0 有两个根 x1,x2,且 x1<

∴x1<1<

<x2,从而可知函数 f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1,x2)上递增,

在区间(x2,+∞)上递减. ∴f(x1)<f(1)=﹣a<0,f(x2)>f(1)=﹣a>﹣ . 故选:D. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动 员成绩由好到差编号为 1﹣35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间[139, 151]上的运动员人数是

4 .

【考点】茎叶图. 【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论. 【解答】解:根据茎叶图中的数据,得; 成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 20, 用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人, 成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取 7× =4(人) .

故答案为:4.

12.若

的展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为 ﹣

15 . 【考点】二项式系数的性质. 【分析】 根据 展开式的各项系数绝对值之和为 4n=1024, 求得 n=5. 在

展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求得 r 的值,可得展开式中 x 项的系数. 【解答】解:在 可得 ∴n=5. 故 展开式的通项公式为 Tr+1= =1,求得 r=1,故展开式中 x 项的系数为﹣15. 的展开式中,令 x=1, 展开式的各项系数绝对值之和为 4n=22n=1024=210,



故答案为:﹣15.

13.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 30+6



【考点】由三视图求面积、体积. CD⊥BC, 【分析】 根据三视图, 可得该三棱锥为如图的三棱锥 A﹣BCD, 其中底面△BCD 中, 且侧面 ABC 与底面 ABC 互相垂直,由此结合题中的数据结合和正余弦定理,不难算出该三 棱锥的表面积. 【解答】解:根据题意,还原出如图的三棱锥 A﹣BCD 底面 Rt△BCD 中,BC⊥CD,且 BC=5,CD=4 侧面△ABC 中,高 AE⊥BC 于 E,且 AE=4,BE=2,CE=3 侧面△ACD 中,AC= =5

∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC,AE⊥BC ∴AE⊥平面 BCD,结合 CD? 平面 BCD,得 AE⊥CD ∵BC⊥CD,AE∩BC=E ∴CD⊥平面 ABC,结合 AC? 平面 ABC,得 CD⊥AC 因此,△ADB 中,AB= =2 ,BD= = ,AD= = ,

∴cos∠ADB=

=

,得 sin∠ADB=

=

由三角形面积公式,得 S△ADB= ×

×

×

=6

又∵S△ACB= ×5×4=10,S△ADC=S△CBD= ×4×5=10 ∴三棱锥的表面积是 S 表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6 故答案为:30+6

14.已知 O(0,0) ,M(2,0) ,N(1,0) ,动点 P 满足:

=

;若|

|=1,在 P 的

轨迹上存在 A,B 两点,有 ? =0 成立,则| |的取值范围是 [ , ] . 【考点】轨迹方程. 【分析】先求出 P 的轨迹方程,再由题意:| |=1,看成是以圆心(0,0)半径为 r=1 的圆, 在圆 O 上存在 A,B 两点,有 ? =0 成立,即过圆 x2+y2=1 同一点的两条直线相互垂直圆 x2+y2=2 交点 A,B 两点,即可求 AB 的距离. 【解答】解:设 P(x,y) ,则 ∵M(2,0) ,N(1,0) ,动点 P 满足: = ,

∴(x﹣2)2+y2=2(x﹣1)2+2y2, ∴x2+y2=2; 0) B 两点, 由题意: | |=1, 看成是以圆心 (0, 半径为 r=1 的圆, 在圆 O 上存在 A, 有 ? =0 2 2 成立,即过圆 x +y =1 同一点的两条直线相互垂直, 与圆 x2+y2=2 交点 A,B,A1,B1 点,如图所示,|AB|为最大值,|A1B1|为最小值.C 为圆 上的动点,设 C(1,0) ,可得直线 AB1 的方程为 y=﹣x+1, 直线 A1B 的方程为 y=x﹣1, 圆 x2+y2=2 交点 A,B,A1,B1 点, 联立

解得 A(



) ,B1(



) .

根据对称性:|AB|的最大值 故答案为:[ , ].

,|A1B1|的最小值

15.已知 m∈R,函数 f(x)=

,g(x)=x2﹣2x+2m﹣1,下列叙述中

正确的有 ② ①函数 y=f(f(x) )有 4 个零点; ②若函数 y=g(x)在(0,3)内有零点,则﹣1<m≤1; ③函数 y=f(x)+g(x)有两个零点的充要条件是 m≤﹣ 或 m≥﹣ ; ④若函数 y=f(g(x) )﹣m 有 6 个零点则实数 m 的取值范围是(0, ) . 【考点】命题的真假判断与应用;函数的零点. 【分析】①由 f(x)=0,可得 x=﹣ 或 x=2,由 log2(x﹣1)=﹣ ,可得 x=1+ ;log2(x

﹣1)=2,可得 x=5,可得结论; ②x2﹣2x+2m﹣1=0,可得 2m=﹣(x﹣1)2+2,利用函数 y=g(x)在(0,3)内有零点,则 ﹣1<m≤1; ③函数 y=f(x)+g(x)有两个零点,等价于 x<1 时,函数 y=f(x)+g(x)有 1 个零点, 即可得出结论; ④由于函数 f(x)=
2

,g(x)=x2﹣2x+2m﹣1.可得当 g(x)=(x﹣1)

+2m﹣2<1,即(x﹣1)2<3﹣2m 时,y=f(g(x) )=|2g(x)+1|=|2(x﹣1)2+4m﹣3|.当 g(x)=(x﹣1)2+2m﹣2>1,即(x﹣1)2>3﹣2m 时,则 y=f(g(x) )=log2[(x﹣1)2+2m ﹣3].再对 m 分类讨论,利用直线 y=m 与函数 y=f(g(x) )图象的交点必须是 6 个即可得出. 【解答】解:①由 f(x)=0,可得 x=﹣ 或 x=2,由 log2(x﹣1)=﹣ ,可得 x=1+ ;log2

(x﹣1)=2,可得 x=5 ∴函数 y=f(f(x) )有 2 个零点,不正确; 2 ②x ﹣2x+2m﹣1=0,可得 2m=﹣(x﹣1)2+2,∵函数 y=g(x)在(0,3)内有零点,则﹣1 <m≤1,正确; ③∵函数 y=f(x)+g(x)有两个零点,x>1 时函数 y=f(x)+g(x)有 1 个零点,∴x<1 时,函数 y=f(x)+g(x)有 1 个零点,∴﹣2m+2≥2×1+1,∴m≤﹣ ,∴函数 y=f(x)+g (x)有两个零点的充要条件是 m≤﹣ ,不正确; ,g(x)=x2﹣2x+2m﹣1.

④∵函数 f(x)=

∴当 g(x)=(x﹣1)2+2m﹣2<1,即(x﹣1)2<3﹣2m 时, 则 y=f(g(x) )=|2g(x)+1|=|2(x﹣1)2+4m﹣3|. 当 g(x)=(x﹣1)2+2m﹣2>1,即(x﹣1)2>3﹣2m 时,则 y=f(g(x) )=log2[(x﹣1) 2 +2m﹣3].

当 m≥ 时,y=m 只与 y=f(g(x) )=log2[(x﹣1)2+2m﹣3]的图象有两个交点,不满足题 意,应该舍去. 当 m< 时,y=m 与 y=f(g(x) )=log2[(x﹣1)2+2m﹣3]的图象有两个交点,需要直线 y=m 与函数 y=f(g(x) )=|2g(x)+1|=|2(x﹣1)2+4m﹣3|的图象有四个交点时才满足题意. ∴0≤m<3﹣4m,又 m< ,解得 0≤m< . 综上可得:m 的取值范围是 0≤m< .故不正确. 故答案为②. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.已知公比为 q 的等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1, a2,a2 成等差数列.

(1)求 an; (2)设{bn}是首项为 2,公差为﹣a1 的等差数列,求数列{|bn|}前 n 项和为 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1) 由 4a1, 求出首项 (2) 求出 a2, a2 成等差数列, 求出公比 q=2, 再由等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,

,由此能求出 an. , 设 Sn 为{bn}的前 n 项和, 当 n≤7 时, 数列{|bn|}前 n 项和为 Tn=Sn,

当 n>7 时,Tn=2S7﹣Sn,由此能求出数列{|bn|}前 n 项和 Tn. 【解答】解: (1)∵4a1, a2,a2 成等差数列,

∴4a1+a2=3a2,即 4a1=2a2=2a1q, 解得 q=2,… ∴ ,解得 ,



.…

(2)有(1)可知{bn}是首项为 2,公差为﹣ 的等差数列, ∴ 由 bn=﹣ ,… ≥0,得 n≤7. ,…

设 Sn 为{bn}的前 n 项和,则

当 n≤7 时,数列{|bn|}前 n 项和为 Tn=Sn=﹣ 当 n>7 时,Tn=2S7﹣Sn= ,…

,…



.…

17.已知△ABC 的面积为 S,且 (1)求 tan2A 的值; (2)若 ,



,求△ABC 的面积 S.

【考点】平面向量数量积的运算;两角和与差的正切函数. 【分析】 (1)由已知和三角形的面积公式可得 ,进而可得 tanA=2,由二倍角的

正切公式可得答案; (2)由(1)中的 tanA=2,可得 sinA,cosA,由两角和的正弦公式可得 sinC,结合正弦定理 可得边 b,代入面积公式可得答案. 【解答】解: (1)设△ABC 的角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. ∵ ∴ ,∴ ,∴tanA=2.… ,…



.…

(2) ∵tanA=2,∴

,即 …,

,…





解得

.… .… …

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 由正弦定理知: ∴ ,可推得 .…

18.某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将其数学成绩分成六段[40, 50) 、[50,60) 、…、[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列 问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (3)若从 60 名学生中随抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分,在[60,80)记 1 分,在[80,100]记 2 分,用 ξ 表示抽取结束后的总记分,求 ξ 的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量及其分布列;频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)根据概率之和为 1,即频率分布直方图的面积之和为 1. (2)根据题意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,所以用每一组数据的中点值代表 这一组数的平均数,即可求得. (3)从 60 名学生中随抽取 2 人,根据题意总记分可能为 0、1、2、3、4.求出相应的概率, 即可求得分布列和期望. 【解答】解: (1)设分数在[70,80)内的频率为 x,根据频率分布直方图, 有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1, 可得 x=0.3,所以频率分布直方图如图所示 (2)平均分为 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 (3)学生成绩在[40,60)的有 0.25×60=15 人, 在[60,80)的有 0.45×60=27 人, 在[80,100)的有 0.3×60=18 人, ξ 的可能取值是 0,1,2,3,4 则 , , ,

, 所以 ξ 的分布列为:



19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD= F 为 PC 的中点,AF⊥PB. (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.



【考点】用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法. 【分析】 (I)连接 BD 交 AC 于点 O,等腰三角形 BCD 中利用“三线合一”证出 AC⊥BD,因 此分别以 OB、OC 分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所示.结合题意算出 A、B、C、 D 各点的坐标,设 P(0,﹣3,z) ,根据 F 为 PC 边的中点且 AF⊥PB,算出 z=2 ,从而得 到 =(0,0,﹣2 ) ,可得 PA 的长为 2 ; (II)由(I)的计算,得 =(﹣ ,3,0) , =( ,3,0) , =(0,2, ) .利用 垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出 =(3, ,﹣2)和 =(3,﹣ ,2)分别 为平面 FAD、平面 FAB 的法向量,利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦,结合同角 三角函数的平方关系即可算出二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值. . 【解答】解: (I)如图,连接 BD 交 AC 于点 O ∵BC=CD,AC 平分角 BCD,∴AC⊥BD 以 O 为坐标原点,OB、OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 OC=CDcos 又∵OD=CDsin =1,而 AC=4,可得 AO=AC﹣OC=3. = , ,0,0)

∴可得 A(0,﹣3,0) ,B( ,0,0) ,C(0,1,0) ,D(﹣ 由于 PA⊥底面 ABCD,可设 P(0,﹣3,z)

∵F 为 PC 边的中点,∴F(0,﹣1, ) ,由此可得 ∵ ∴ =( ? ,3,﹣z) ,且 AF⊥PB, =6﹣ =0,解之得 z=2 (舍负)

=(0,2, ) ,

=(0,0,﹣2 ) 因此, ,可得 PA 的长为 2 ; (II)由(I)知 =(﹣ ,3,0) , =( ,3,0) , =(0,2, ) , 设平面 FAD 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,平面 FAB 的法向量为 =(x2,y2,z2) , ∵ ? =0 且 ? =0,∴ ,取 y1= , 2) , = = 得 =(3, ,﹣2) ,

同理,由 ?

=0 且 ?

=0,解出 =(3,﹣

∴向量 、 的夹角余弦值为 cos< , >=

因此,二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值等于

=

20.已知椭圆 M: :

+

=1(a>0)的一个焦点为 F(﹣1,0) ,左右顶点分别为 A,B.经

过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)由焦点 F 坐标可求 c 值,根据 a,b,c 的平方关系可求得 a 值; (Ⅱ)写出直线方程,与椭圆方程联立消掉 y 得关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理及弦 长公式即可求得|CD|; (Ⅲ)当直线 l 不存在斜率时可得,|S1﹣S2|=0;当直线 l 斜率存在(显然 k≠0)时,设直线 方程为 y=k (x+1) (k≠0) , 与椭圆方程联立消 y 可得 x 的方程, 根据韦达定理可用 k 表示 x1+x2, x1x2,|S1﹣S2|可转化为关于 x1,x2 的式子,进而变为关于 k 的表达式,再用基本不等式即可 求得其最大值; 【解答】解: (I)因为 F(﹣1,0)为椭圆的焦点,所以 c=1,又 b2=3,

所以 a2=4,所以椭圆方程为

=1;

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45°,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y=x+1,和椭圆方程联立得到 ,消掉 y,得到 7x2+8x﹣8=0,

所以△=288,x1+x2= 所以|CD|=

,x1x2=﹣ , × = ;

|x1﹣x2|=

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x=﹣1, 此时 D(﹣1, ) ,C(﹣1,﹣ ) ,△ABD,△ABC 面积相等,|S1﹣S2|=0, 当直线 l 斜率存在(显然 k≠0)时,设直线方程为 y=k(x+1) (k≠0) , 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 和椭圆方程联立得到 ,消掉 y 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,

显然△>0,方程有根,且 x1+x2=﹣

,x1x2=



此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)| =2|k(x2+x1)+2k|= 成立) 所以|S1﹣S2|的最大值为 = ≤ = = , (k= 时等号



21.已知函数 f(x)=xetx﹣ex+1,其中 t∈R,e=2.71828…是自然对数的底数. (Ⅰ)当 t=0 时,求 f(x)的最大值; (Ⅱ)若方程 f(x)=1 无实数根,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数,求实数 t 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)当 t=0 时,求导数,确定函数的单调性,即可求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)先确定原方程无负实数根,令 g(x)= 根,等价于 1﹣t?(﹣∞, ],即可证明结论; (Ⅲ)利用函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数,确定 t<1,再分类讨论,即可求实数 t 的取 值范围. ,求出函数的值域,方程 f(x)=1 无实数

【解答】解: (Ⅰ)当 t=0 时,f(x)=x﹣ex+1, ∴f′(x)=1﹣ex, ∴x<0,f′(x)>0;x>0,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴函数 f(x)的最大值为 f(0)=0; (Ⅱ)由 f(x)=1,可得 x=ex(1﹣t)>0, ∴原方程无负实数根, 故有 =1﹣t.

令 g(x)=

,则 g′(x)=



∴0<x<e,g′(x)>0;x>e,f′(x)<0, ∴函数 g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ∴函数 g(x)的最大值为 g(e)= , ∴函数 g(x)的值域为(﹣∞, ]; 方程 f(x)=1 无实数根,等价于 1﹣t?(﹣∞, ], ∴1﹣t> , ∴t<1﹣ , ∴当 t<1﹣ 时,方程 f(x)=1 无实数根 (Ⅲ)f′(x)=etx[1+tx﹣e(1﹣t)x], 由题设,x>0,f′(x)≤0, 不妨取 x=1,则 f′(1)=et(1+t﹣e1﹣t)≤0, t≥1 时,e1﹣t≤1,1+t≤2,不成立,∴t<1. ①t≤ ,x>0 时,f′(x)=etx[1+tx﹣e(1﹣t)x]≤ 由(Ⅰ)知,x﹣ex+1<0, ∴1+ ﹣ <0,∴f′(x)<0, (1+ ﹣ ) ,

∴函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数; ② <t<1, >1,∴ ln >0, ﹣e(1﹣t)x]

令 h(x)=1+tx﹣e(1﹣t)x,则 h(0)=0,h′(x)=(1﹣t)[ 0<x< ln ,h′(x)>0, ln )上单调递增,

∴h(x)在(0,

∴h(x)>h(0)=0,此时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0, ln )上单调递增,有 f(x)>f(0)=0 与题设矛盾,

综上,当且仅当 t≤ 时,函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数.

2016 年 11 月 30 日


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