高中数学难题集13


高中数学难题集 13
1、设方程 2? x ? lg x 的两个根为 x1 , x2 ,则下列结果正确的是( A. 0 ? x1 x2 ? 1 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1 ) D. x1 x2 ? 0

解:不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,由单调性知选择 A :

1 1 ( ) x1 ? ( ) x2 ? lg x1 ? lg x2 ? ? lg x1 ? lg x2 ? lg x1 ? lg x2 ? 0 ? 0 ? x1 x2 ? 1 2 2
2、已知函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 ( p ? R) .若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? p 2 x 2 , 求实数 p 的取值范围. 解:记 g ( x) ? ln x ? px ? 1 ? p2 x2 ? 0 恒成立,则 g '( x) ? 当 p ? 0 时, g ( x) ? ln x ? 1, g (e) ? 0 不符合条件 当 p ? 0 时, g ( x) 的最大值为 g (

( px ? 1)(2 px ?1) ?x

4 1 1 e ) ? ? ln(2 p) ? ? 0 ? p ? 2p 4 2 ?1 当 p ? 0 时, g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ? ln(? p) ? 1 ? 0 ? p ? ?e p

综上 p 的取值范围是 (??, ?e] ? [ 注:本题难以分离参数求解。

4

e , ??) 2

3、设函数 g ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时 g ( x) ? ? ln(1 ? x) ,

? x3 函数 f ( x) ? ? ? g ( x)

( x ? 0), ( x ? 0),

,若 f (2 ? x2 ) > f ( x) ,则实数 x 的取值范围是

解:当 x ? 0 时 g ( x) 单调递增且为奇函数,故当 x ? 0 时 g ( x) 也是单调递增,
2 由于 f ( x ) 为 R 上连续函数,故 f ( x ) 在 R 上单调递增,故 2 ? x ? x ? x ? (?2,1)

注:本题若在解析式上面纠缠,分四种情况讨论,那么计算量将会较大。 4、函数 f ( x ) ?

ax ? 1 ?1 ? . 若对任意 t ? ? , 2? , f (t ) ? t 恒成立,求实数 a 的取值范围. x e ?2 ?
1 ?1 ? x 时 a ? e ? ? g ( x ) 恒成立 , 2 ? x ?2 ? ?

解:分离参数变形知: x ? 而 g ?( x ) ? e ?
x

1 1 1 递增,且 g ?( ) ? 0 , g ?(2) ? 0 ,故 g ?( x ) 在 [ , 2] 有唯一零点 m 2 2 x 2

且 g ( x) 在 [ , m ] 上单调递减,在 (m,2] 上单调递增,

1 2

故 g ( x)max ? max ? g ( ), g (2) ? ? e2 ?

? ?

1 2

? ?

1 1 2 ,? a ? e ? 2 2

5、设直角三角形的两条直角边的长分别为 a ,b,斜边长为 c,斜边上的高为 h ,则有 ①a ?b ? c ?h ,
2 2 2 2

②a ?b ? c ? h ,
3 3 3 3

③a ?b ? c ?h ,
4 4 4 4

④a ?b ? c ? h .
5 5 5 5

其中正确结论的序号是



解:设三角形的一个锐角为 ? ,则 a ? c sin ? , b ? c cos ? , h ? c sin ? cos ? 故 (an ? bn ) ? (cn ? hn ) ? cn (sin n ? ?1)(1 ? cosn ? ) ? 0 对任意 n ? 0 成立。 故正确的序号为②④ 注:本题以角为变量将计算量降到最小。否则 c ?

a 2 ? b2 , h ?

ab a 2 ? b2

,较繁琐。

6、已知 a ? 0且a ? 1,若 f ( x) ? x ? a , ?x ? (?1,1),f ( x) ?
2 x

1 , 求 a 的取值范围。 2

解:等价于当 x ? (?1,1) 时, y ? x ?
2

1 x 的图像全部在 y ? a 图像的下方。 2

画图分析知 a ? ? ,1? ? (1, 2]

?1 ? ?2 ?

x 7、设函数 f (x ) ? log 4 x ? ( ) 、 g ( x ) ? log 1 x ? ? ? 的零点分别为 x 1 , x 2 ,则(

1 4

4

?1? ?4?

x

)

A. 0 ? x 1x 2 ? 1

B. x 1 x 2 ? 1

C. 1 ? x 1x 2 ? 2

D. x 1x 2 ? 2

解:数形结合,画图分析可知选择 A

8、已知 f ? x ? ? x ? 3x ,求值: f ?
3 2

? 1 ? ?? ? 2012 ?

? 2 ? f? ? ? ... ? ? 2012 ?

? 4023 ? ? 4022 ? f? ? ?f ? ? ? 2012 ? ? 2012 ?

解:由 f ( x) ? f (2 ? x) ? ?4 知所求值为 ?4 ? 2011 ? (?2) ? ?8046 注:任意三次函数均为中心对称图形,其对称中心即为其拐点。

9、已知函数对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个不动 点,已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? (b ?1)(a ? 0) (1)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (2) 在 (1) 的条件下, 若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不动点, 且 A, B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

解: (1)由已知 ? ? b2 ? 4a(b ?1) ? b2 ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立, ∴ (4a)2 ?16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) .

x1 ? x2 b 1 ?? ,由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? , 2 2a 2a 2 ? 1 b b 1 b b 1 , ? 2 ) ,∴ ? ? ? 2 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? , 2a 2a 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1
(2)由已知得 ∴b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

2 2 ,故 b 的最小值为 ? 4 4

10、设函数 f (x ) ? x 3 ? 3ax 2 ? 3b 2 x 不等式 f (

(a, b ? R ) ,其中 0 ? a ? b ,

1 ? ln x k ) ? f ( ) 对任意 x ? (1,??) 恒成立,求整数 k 的最大值. x ?1 x 1 ? ln x k ? 恒成立, 解: 易知 f ( x ) 单调递增, 等价于 即 y ? x ? x ln x 的图像在 y ? k ( x ? 1) x ?1 x
的上方,求导知 y ? x ? x ln x 单增且下凸,故它们相切时的斜率 k0 为临界值, k ? k0 设切点为 ( x0 , x0 ? x0 ln x0 ) ,对切线斜率算两次得: ln x0 ? x0 ? 2 且 k0 ? x0 分析知 x0 ? (3, 4) ,而 k ? k0 ? x0 ,故整数 k 的最大值为 3 注:本题用图像法求解比分离参数更简洁。 11、 如图, 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 则平面 ACD1 截球 O 1B 1C1D 1 的内切球, 的截面面积为 D1 A1 ·O D A B C B1 C1

解:显然截面为圆,只需求出圆的半径 r ,设球的半径为 R ,球心到截面的距离为 h ,则:

r ? R2 ? h2 ,显然 R ?

1 3 ,利用体积法可以求出点 B 到截面的距离为 h ' ? , 2 3

显然 h ?

? 1 3 6 2 2 ,故 r ? R ? h ? ,故截面面积为 h' ? 6 2 6 6

12、如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点

H ( x0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,
圆心点 M 到抛物线准线的距离为
(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率;

17 . 4

(3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

解(1)抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时, k HE ? ?k HF ,设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 yH ? y1 y ? y2 ,∴ 2 ,故 y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 . ?? H ?? H 2 2 2 xH ? x1 xH ? x2 yH ? y1 yH ? y2
y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ? ? .2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4

k EF ?

2 2 (3)设 H ( y 20 , y0 ) ,则切点弦 AB 的方程为 (4 ? y 0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ? 15 ? 0 ,

令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) ,∴ t min ? ?11 . y0

13、设 f ( x) ?

a ? x ln x , x

g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 .

(1)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足条件的最大整数 M ;

(2)如果对任意的 s , t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.
解: (1)等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 求导分析知:

1 2

2 85 g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27 112 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? , 故最大整数 M ? 4 ; 27 a (2)等价于 f ( x) ? g ( x)max 恒成立,即 ? x ln x ? 1 恒成立 x
分离参数得 a ? x ? x2 ln x ? h( x) , h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 单调递减,试根得 h '(1) ? 0 故 h( x) 在 ( ,1) 递增,在 (1, 2) 递减,故 h( x)max ? h(1) ? 1 所以 a ? 1

1 2

14、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足

?? ? ?? ? cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos? ? A ? cos? ? A ? ?6 ? ?6 ?
(1)求角 B 的值; (2)若 b ?

1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围. 2
2 2

解: (1) 由已知 2sin B ? 2sin A ? 2( cos A ?
2

3 4

1 2 3 ? 2 sin A) ? sin B ? ?B? 或 ? 4 2 3 3

(2) a ?

1 ? 3 c ? 3 sin( A ? ) ? [ , 3) 2 6 2

注:由 a ? b ? A ? B ? B ?

?

? 2 , A ?[ , ? ) 3 3 3

1 1 15、 如果关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 和 g( x ) ? 0 的解集分别为 (a , b),( , ) , 那么称 b a 这两个不等式为“对偶不等式” ,如果不等式 x 2 ? 4 3 x cos 2? ? 2 ? 0 与不等式

2 x 2 ? 4 x sin 2? ? 1 ? 0 为“对偶不等式” ,且 ? ? ( , ? ) ,那么 ? = 2
解:设第一个不等式解集的端点为 x1 , x2 ,则第二个不等式解集的端点为

?

1 1 , ,则: x1 x2

?1 1 ? ? ? ?2sin 2? ? 5 ? x1 ? x2 ? 4 3 cos 2? ? x1 x2 且? ,联立解出 ? ? ? ? 6 1 1 1 x1 x2 ? 2 ? ? ? ? ? ? x1 x2 2 ?
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln n 1 ? ? ? ?? ? ( n ? 2, n ? N *) 2 3 4 5 n n 1 n ?1 证明:设 a1a2 ??? an ?1 ? ? an ?1 ? n n ln n n ? 1 ? 按照逐项比较原理只需证明 ,即证 ln n ? n ? 1 ,这是显然成立的。 n n

16、求证:

注:此类问题也可以考虑数学归纳法,和逐项比较原理相同。

17、 在平面直角坐标系 xOy 中, 过定点 C( 0, p )作直线与抛物线 x2 ? 2 py (p>0) 相交于 A、B 两点。 (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定 值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由。

解: (1)设出直线 AB 方程,与抛物线联立之后,结合韦达定理知:

S ?ABN ? S ?BCN ? S ?ACN ?

1 ? 2 p x1 ? x2 = p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2

2 2 2 2 2 = p 4 p k ? 8 p ? 2 p k ? 2 . 当 k ? 0 时面积最小值为 2 2 p 2

(2) 假设存在 y ? a 满足条件, 设 AC 的中点为 O?, l与AC为直 径的圆相交于点 P, Q ,PQ

的中点为 H ,则 O?H ? PQ , O?点的坐标为(

x1 y1 ? p , ) 2 2

? O?P ?

1 1 1 AC = y12 ? p 2 . O?H ? 2a ? y1 ? p 2 2 2 1 p 2 2 2 1 ? PH ? O?P ? O?H = ( y12 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 = (a ? ) y1 ? a ( p ? a ), 4 4 2 p 2 p ? ? ? PQ ? (2 PH ) 2 = 4?(a ? ) y2 ? a( p ? a)?. ,当 a ? 时 PQ ? p 为定值, 2 2 ? ?
故满足条件的直线存在,其方程为 y ?

p , 2

18、把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮 球的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为

解:根据对称性球心在四棱锥的高上,设球心到底面中心的距离为 h ,则结合相似三角形:

? h 2 ? 100 ? r 2 ? r ? 10 ? ? r 10 2 ? h ? ? h ? 0 ,故皮球半径为 10cm ? ? ? 20 ?10 2
注:由于不知道球心在锥的内部还是外部,故球心到顶点的距离表示为 10 2 ? h

19、在△ ABC 中, ( AB ? 3AC) ? CB, 则角 A 的最大值为

??? ?

??? ?

??? ?



解:由已知: ( AB ? 3AC) ? CB ? ( AB ? 3AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,展开化简得:

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

cos A ?

? 3b2 ? c 2 2 3bc 3 ? ? ? ? 0 ? A ? ,故最大值为 6 4bc 4bc 2 6

20 、定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? 。若将方程 f ? x ? ? 0 在闭区间

??4, 4? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(
A. 0 B. 1 C. 3



学 科网

D. 5

学科 网

解:在已知式子中取 x ? ?2 得: f (0) ? ? f (?2) ? f (2) ? 0 ,

在已知式子中取 x ? 2 代入: f (4) ? ? f (2) ? 0 ? f (?4) ? 0 从而方程 f ? x ? ? 0 至少有五个根: ?0,2, ?2,4, ?4? ,选择 D 注:若定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 周期为 T ,则至少有 f ( ) ? 0, f (T ) ? 0, f (0) ? 0

T 2

21、函数 f ? x ? 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D,当 x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 则称 f ? x ? 在 D 上为非减函数;设函数 f ? x ? 在 ?0,1? 上为非减函数,且满足以下三个条件: ① f ? 0? ? 0 ; ②f?

? x? 1 ? ? f ? x ? ; ③ f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? x ? , ?3? 2
学 科网

则 f ? ? ? f ? ? 的值为

?1? ? 3?

?1? ?7?



学 科网

解:在已知式中赋值得: f (1) ? 1, f ( ) ?

1 2

1 1 1 1 1 1 , f ( ) ? ,故当 x ? [ , ] 时 f ( x) ? 2 3 2 3 2 2

1 1 3 1 f ( ) ? f ( ) ? ,故 7 2 7 4

?1? f ? ?? ? 3?

?1? 1 1 3 f? ?? ? ? ?7? 2 4 4
9 ) 10

注:能否求出 f ? x ? 在 ?0,1? 上的任意值,比如 f (

22、已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB ? PC ? 2PA ? 0 ,现将一粒黄豆随机撒在△ ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是

??? ? ??? ?

??? ?

1 2 ??? ? ??? ? ??? ? 注:若 P 是△ABC 所在平面内一点, xPB ? yPC ? zPA ? 0 ,则有重要公式:
解:由于 S?PAC : S?PAB : S?PBC ? 1:1: 2 ,故所求概率为

S?PAC : S?PAB : S?PBC ? x : y : z

23、已知 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,点 P 为双曲线右支上任意一点, a 2 b2
2 2 2

则以线段 PF 为直径的圆与圆 x ? y ? a 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交

) D.不确定

解:利用中位线及几何关系知两个圆外切,选择 B

24、从双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T, 2 a b

延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 MO ? MT 与

b ? a 的关系为(

) B. MO ? MT ? b ? a D. MO ? MT 与 b ? a 无关

A. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a

解:与上题思路相同,利用中位线及几何关系求解,选择 C

25、等比数列 ?an ? 中,a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ??? ( x ? a8 ) ,求 f '(0) 解:等价于求展开式中 x 的系数,即 a1a2 ??? a8 ? 84 ? 212

26、已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心, tan A ? 则 m ? ________.

? cos C ???? ???? 2 cos B ??? ,若 AB ? AC ? 2mAO , sin C sin B 2

解:对 AO ? AB 算两次得:设 AB 中点为 D ,则 OD ? AB ,即 DO ? AB ? 0

???? ??? ?

???? ??? ?

1 2 c 2 ???? ??? ? 1 cos B ??? ? cos C ???? ??? ? 1 cos B 2 cos C ( AB ? AC ) ? AB ? ( c ? bc cos A) 其次 AO ? AB ? 2m sin C sin B 2m sin C sin B
首先 AO ? AB ? ( AD ? DO ) ? AB ? AD ? AB ? 将两种算法等起来整理化简得 m ? sin A ?

???? ??? ?

???? ???? ??? ?

???? ??? ?

3 3

27、设 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2a .当 x ? 1,2 时 f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:此时 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 2a ? 3 ? x ? 2a ? 4 ? 2x ? 2x ? 4 ? x ? 2a ? 4 ? 2x

? ?

4? x ? a? ? ? 2 分离参数得: ? 恒成立,故 1 ? a ? 1 ,只有 a ? 1 3 x ? 4 ?a ? ? ? 2
注:本题若直接转化为 f ( x)max ? 3 则较为繁琐。

28、若函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? 解:首先由定义域知: x ? ax ? 0 恒成立 ? a ?
3

1 ,0) 内单调递增,求 a 的范围 2

1 4

1 3x 2 ? a 其次由单调递增知 f '( x) ? 3 ? 0 在 (? ,0) 上恒成立 2 ( x ? ax) ln a
2 3 当 a ? 1 时, ln a ? 0 , x ? ax ? 0 ,只需 3x ? a

?

?

min

? 0 ,即 a ? 0 ,矛盾;

2 3 当 1 ? a ? 0 时, ln a ? 0 , x ? ax ? 0 ,只需 3 x ? a

?

?

max

? 0 ,解得

3 ? a ? 1. 4

综上 a ? [ ,1)

3 4

29、 设 f ( x ) ? (a ? ) x ? ln x .在区间 ( 1, +∞) 上函数 f ( x ) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下
2

方,求实数 a 的取值范围. 解:等价于 f ( x) ? 2ax 在 (1, ??) 上恒成立,即 g ( x) ? ( a ? ) x ? 2ax ? ln x ? 0 恒成立
2

1 2

g ?( x) ?

( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] , x

1 2

若 2a ? 1 ? 0 ,则 g ( x) 单调递减, g ( x) ? g (1) ? ?1 ,满足题意。 若 2a ? 1 ? 0 ,则 g ( x) 单调递减, g ( x) ? g (1) ? ?a ?

1 1 1 ? 0 ,解得 ? ? a ? 2 2 2

若 2a ? 1 ? 0 ,则 g ( x)max ? g (??) ? ?? ,与 g ( x) ? 0 恒成立矛盾 综上 a ? [?

1 1 , ] 2 2

注:第三种情况的精确推理如下:取 x0 ? max ? 则 g ( x0 ) ?

? 4a ? ,1? ? 1 , ? 2a ? 1 ?

1 x0 [(2a ? 1) x0 ? 4a] ? ln x0 ? 0 ,这与 g ( x) ? 0 恒成立矛盾 2

? ? ? 0? x? , z ? x ? 2 y ,则 z 的取值范围是 30、若 ? 2 ?sin x ? y ? cos x, ?
解:画图分析知 zmin ? 0 ,当点 ( x, y ) 在 y ? cos x(0 ? x ? 此时 z ? x ? 2 cos x ,求导知当 x ?



?
4

) 上游走时 z 有希望最大。

?
6

时 zmax ?

?
6

? 3 ,故 z ? [0,

?
6

? 3]

注:本题的可行域如下图所示:

2 ? (n ? 1)bn ? 2,(n ? N? ) , 31、设数列 ?bn ? 满足: b1 ? 4 ,且 bn?1 ? bn

求证: (1 ?

1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? )?? (1 ? )? ?e . b2b3 b3b4 b4b5 bn bn ?1

证明:可以用数学归纳法证明:当 n ? 2 时 bn ? n ? 1;原不等式等价于

? ln(1 ? b b
i ?2

n

1

)?

i i ?1

1 3

由于 ln(1 ?

1 1 1 ,叠加即可获证。 )? ? bnbn?1 bnbn?1 (n ? 1)(n ? 2)

32、已知函数 f ? x ? ?

sin ? x . 对于下列命题: ? x ? 1?? x2 ? 2x ? 2?
2

① 函数 f ? x ? 是周期函数; ② 函数 f ? x ? 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ? x ? 的定义域是 R,且其图象有对称轴; ④对于任意 x ? (?1,0) , f ?( x) ? 0 ( f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数) . 其中真命题的序号是 解: f (1 ? x) ?
2

. (填写出所有真命题的序号)

1 sin(? ? ? x) ? f ( x) ,故 f ( x) 的对称轴为 x ? ; 2 2 ( x ? 2 x ? 2)( x ? 1)

设 a ? x, b ? 1 ? x ,显然 a ? b ? 1 ,且 t ? ab ?
2 2 2 2 2

1 4
2 2 2

分母 ? (a ? 1)(b ? 1) ? a b ? [(a ? b) ? 2ab] ? 1 ? a b ? 2ab ? 2 ? t ? 2t ? 2 ?

25 16

从而 f ( x ) ? 得最大值。

16 1 ,仅当 x ? 时取等号,故 f ( x ) 不是周期函数,否则 f ( x ) 在无数个地方取 25 2
1 2 3 2 16 1 ?? 65 10

显然当 x ? [ , 2] 时连续函数 f ( x ) 具有最小值 f ( x0 ) ,且 f ( x0 ) ? f ( ) ? ? 当 x ? 2 时易知 f ( x ) ? ?

1 1 ,故当 x ? [ , ??) 时 f ( x)min ? f ( x0 ) 10 2

由对称性 f ( x ) 在 R 上的最小值为 f ( x0 ) 当 x ? (?1, 0) 时 t ? x(1 ? x) ? (?2,0) ,且 t ( x) 单调递增,而分母 ? g (t ) 在 (?2, 0) 单调递减 故 f ( x ) 分母为减函数,但是分子先减后增,故 f ( x ) 不是单调函数。 综上真命题为②③

1 1 1 ? ? ??? ? n ? n (其中 n ? 3, n ? N * ) 2 3 2 1 1 1 证明:设 a1 ? a2 ? ??? ? an ? 1 ? ? ? ??? ? n ; b1 ? b2 ? ??? ? bn ? n 2 3 2 1 1 1 ? ? ??? ? n ; bn ? 1 ,按照逐项比较原理只需证明 an ? bn 可求出 an ? n ?1 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? n ? n ?1 ? n ?1 ? ??? ? n ?1 ? 1 成立,得证。 而 n ?1 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2
33、证明: 1 ? 34、函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,求 a 的取值集合。
3

解:分类讨论加分离参数可破此题,答案为 a ? 4 35、设二次函数 f ( x ) ? ax ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ?? ) ,求
2

1 9 ? 的最大值 c ?1 a ? 9

解:由已知 ac ? 4 ,且 a ? 0 ,将目标对称化:设 m ? 9c, n ? a ,则本题等价转化为: 已知 mn ? 36 ,求 u ?

9 9 ? 的最大值,显然 m ? n ? 12 m?9 n?9

u?

6 9(m ? n) ? 162 9(m ? n) ? 162 45 6 ? ? 1? ? ,故所求最大值为 5 (m ? 9)(n ? 9) 9(m ? n) ? 117 9(m ? n) ? 117 5

注:对称问题结构和谐便于处理,两种重要想法:非齐次问题齐次化,非对称问题对称化。

36、 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , 若y? 阶比增函数”;若 y ?

f ( x) 在 (0, ?? ) 上为增函数, 则称 f ( x ) 为“一 x

f ( x) 在 (0, ?? ) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把所有 x2

“ 一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数” 组成的集合记为 ? 2 . 定义集合

? ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k, 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k?,
请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在, 求出 M 的最小值;若不存在,说明理由. 解: 先证明 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立: 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记 当 x ? x0 时,
f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x) ? mx2 ,这与 f ( x ) 有界矛盾。 x2 x0 2 f ( x0 ) ?m?0 x0 2

下面我们证明 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上无解: 若存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,一定存在
x3 ? x2 ? 0 ,
f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,与刚才的结果矛盾 x32 x2 2

1 构造 f ( x) ? ? ( x ? 0) , 易知 f ( x) ? ? , 任取 k ? 0 , 总存在,x0 ? 0 使得 x ? x0 时, 有 f ( x) ? k x
综上 M 的最小值为 0
C(A) ? C(B),当C(A) ? C(B) , 若 37 、 用 C(A) 表 示 非 空 集 合 A 中 元 素 个 数 , 定 义 A ? B ? ? ? ?C(B) ? C(A),当C(A) ? C(B)

A ? ?1,2? ,B ? x (x 2 ? ax)(x 2 ? ax ? 2)=0 ,且 A ? B ? 1,则实数 a 的所有取值为
解:等价于 B 中有 1 个或 3 个元素,注意到 0 ? B ,故当 B ? ?0? 时 B 中有 1 个元素,此时

?

?

a ? 0 ;当 B ? ?0, ?a, m? 时 B 中有 3 个元素,其中 m 为 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的唯一根,此时 ? ? 0 ,求出 a ? ?2 2 ,综上 a ? 0, 2 2, ?2 2

?

?

38、已知函数 f ( x) 是定义在 [?e,0) ? (0, e] 上的奇函数,当 x ? (0, e] 时, f ( x) ? ax ? ln x (其 中 e 为自然对数的底, a 为常数且 a ? R ). (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 是否存在负 实数 a , 使得当 x ?[?e,0) 时, f ( x) 的最小值是 3?如果存在, 求出负 实数 a . . 的值;如果不存在,请说明理由. ln | x | 1 ( x ? [?e,0) ? (0, e]) ,求证:当 a ? ?1 时, | f ( x) |? g ( x) ? . (3)设 g ( x) ? | x| 2

解: (1) f ( x) ? ?

?ax ? ln(? x), x ?[?e,0) ?ax ? ln x, x ? (0, e]
2

(2)结合导数分类讨论知 a ? ?e

(3)分别考察 f ( x), g ( x) 的值域知: f ( x) ? 1, g ( x ) ? 注:本题分开讨论函数值域的方法值得借鉴。

1 1 ,故 f ( x) ? g ( x) ? 2 e

39 、已知定义在 ? ??, ? 1? ? ?1 , ? ? ? 上的奇函数满足:① f ? 3? ? 1 ;②对任意的 x ? 2 均有
f ? x ? ? 0 ;③对任意的 x ? 0,y ? 0 ,均有 f ? x ? 1? ? f ? y ? 1? ? f ? xy ? 1? .

(1)求 f ? 2 ? 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f cos2 ? ? a sin? ? 3对任意的 ? ? ? 0,? ? 恒成立?若存在,求 出 a 的范围;若不存在,请说明理由. 解: (1)取 x ? y ? 1 代入得 f (2) ? 0 (2)设 x2 ? x1 ? 1,则记 x1 ? 1 ? m, x2 ? 1 ? mn ,其中 m ? 0, n ? 1

?

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (1 ? mn) ? f (1 ? m) ? f (1 ? n) ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,
故 f ( x ) 在 (1, ??) 上递增,由奇函数知 f ( x ) 在 (??, ?1) 上也递增。

f (3) ? 1 ? f (5) ? 2 ? f (9) ? 3
1 9 9 f (9) ? 3, f (2) ? 0 ? f (8 ? 1) ? f ( ? 1) ? f (1 ? 1) ? f ( ) ? ?3 ? f (? ) ? 3 8 8 8 9 f (cos2 ? ? a sin ? ) ? 3 ? 1 ? cos2 ? ? a sin ? ? 9 或 cos 2 ? ? a sin ? ? ? 8 8 17 记 t ? sin ? ? (0,1) ,则 t ? a ? t ? 或 a ? t ? 恒成立,后者不会发生。 t 8t 故1 ? a ? 9 17 17 注: lim(t ? ) ? ?? ,故 a ? t ? 恒成立不会发生。 t ?0 8t 8t
40、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 5 , an ?1 ? an ? 6an ?1 ( n ≥ 2 , n ? N * ) , (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

Z§X§X§K]

(2)求证:

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( n ? N * ). a1 a2 an 2

解: (1)根据特征方程求得 an ? 3n ? (?2)n

(2)若 n 为奇数则

1 1 1 1 ? ? n ? n?1 n?1 n an an ?1 3 ? 2 3 ? 2

3 4 ? ( )n ? 1 4 2 ? ? n?1 (n ? 3) 3 3n ?1 ( ) n ? (3n ? 2n ?1 ) 3 2

验证知当 n ? 1 时上式也成立,故

1 1 4 ? ? n ?1 对所有奇数都成立。 an an ?1 3

1 1 1 1 1 1 4 4 4 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? 2 ? 4 ? 6 ??? ? a1 a2 an a1 a2 a2 n 3 3 3 2
注:在放缩时将分子的 ?1 去掉使分子变大,将分母的正项 3 ? 2
n n ?1

去掉使分母变小。

2 41、已知集合 P ? ? x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1? , Q ? x | x ? 3x ? 10 , 若 P ? Q ,则实数 a 的

?

?

取值范围是



解:别忘记 P ? ? 的情况,答案为 (??, 2] 42、已知 A 、 B 、 C 是最大边长为 2 的 ?ABC 的三个内角,

u r ? r A? B C? u m ? ? 2sin , 4sin ? ,| m |? 10 。 2 2? ?
(1)求 tan A ? tan B 的值; (2)当 ?C 最大时,求 ?ABC 的面积。 解:(1) tan A tan B ?

3 5

(2) tan C 最大为 ? 15 ,此时 tan A ? tan B ?

15 15 ,三角形的面积为 5 5

注:由计算知 tan C ? 0 ? C 为钝角,故 C 最大,故最长边 c ? 2 43、己知 x, y ? R ,若 x ? 3 y ? k x ? y 恒成立,利用可西不等式可求得实数 k 的取
?

值范围是 解:分离参数并齐次化得: k ?

x ?3 y x? y

?

t ?3 t 2 ?1

,其中 t ?

x ?0 y

易知 f (t ) ?

t ?3 t2 ?1

的最大值为 10 ,故 k ? 10

注:本题也可以使用柯西不等式求解:

( x ? 3 y ) 2 ? (12 ? 32 )( x ? y ) ?

2

2

x ?3 y x? y

? 10

44、 己知数列

?a ? 满足 a
n

n ?1

? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则数列 ?an ?的前 2016 项的和的值
n

是___________.

? a4 k ? 2 ? a4 k ?1 ? 4k ? 1 ? 解:由已知 ?a4 k ?3 ? a4 k ? 2 ? 4k ? 2 ? a4 k ?1 ? a4 k ? 2 ? a4 k ?3 ? a4 k ? 4 ? 8k ? 6 ?a ? 4 k ? 4 ? a4 k ?3 ? 4k ? 3
故 S2016 ?

? (a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ) ? ? (8k ? 6) ? 1017072
k ?0 k ?0

503

503

注:本题整体考虑是关键,没有初始值,无法求出每个具体项。也可人为假设 a1 ? x ,则:

a2 ? x ? 1, a3 ? 1 ? x, a4 ? 4 ? x, a5 ? x, a6 ? x ? 5, a7 ? 1 ? x, a8 ? 8 ? x, a9 ? x, ???
找规律求解。 45、已知数列 ? a n ?,满足 a 2 ? 6 ,
an ?1 ? an ? 1 1 n ? N ? ,求 ? an ? 的通项公式; ? an ?1 ? an ? 1 n

?

?

解:递推关系变形为?(n ?1)an?1 ? (n ?1)an ? ?(n ?1), n ? N * 进一步变形为

an?1 an 1 1 ? ? ? ,叠加可得 an ? 2n2 ? n (n ? 1)n n(n ? 1) n n ? 1 an ?1 a ? n ? m( n ) h(n ? 1) h(n)

注:处理递推 an?1 ? f (n)an ? g (n) 的通法为将其变形为 其中 h(n), m(n) 可由待定系数法求出,且不唯一。

46、已知函数 f ( x) ? cos x, x ? (

?
2

,3? ), 若方程f ( x) ? a 有三个不同的根,且三个根从小


到大依次成等比数列,则 a 的值可能是( A ?
1 2

B

2 2

C?

3 2

D



2 2

解:画图分析知可以假设三个根为:

?
2

? d,

3? 5? ? ? d, ? d ,根据它们成等比得 d ? 2 2 6

故 a ? cos(

?
2

?

?

1 ) ? ? ,选择 A 6 2

47、已知 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在(??,0]上是增函数,在[0,2] 上是减函数, 且 f ( x) ? 0有三个根? , 2, ? (? ? 2 ? ? ) . (1)求 c 的值,并求出 b 和 d 的取值范围; (2)当 | ? ? ? | 取最小值时,求 f ( x ) 的解析式. 解: (1) c ? 0, b ? ?3, d ? 4 (2)设 f ( x) ? ( x ? ? )( x ? 2)( x ? ? ) = x 3 ? (? ? ? ? 2) x 2 ? 2?? , 对应系数相等知: ? ? ? ? ?b ? 2, ?? ? ?

d 2

? ? ?? ?

?? ? ? ?

2

? 4?? ?

?b ? 2?

2

? 2d ?

?b ? 2?

2

? 16 ? 3

当 b ? ?3 时取最小值,? f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 4

48、已知 a , b, c 均为正数,求 a2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 的最小值。
2 1 ? ? 1 1 1 ?1 1 1? 解: a ? b ? c ? 3(abc) 且 ? ? ? 3(abc) 3 ? ? ? ? ? ? 9(abc) 3 . a b c ?a b c?

1 1 1 a b c

2

2

2

2 3

2

故 a2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 故最小值为 6 3 ,当 a ? b ? c ? 34 时取等号.
1

1 1 1 a b c

2

?

2 3

? 2 27 ? 6 3

注:作为对称轮换式猜测 a ? b ? c ? x 时取等号,此时 y ? 3 x ? ( ) 最小值为 6 3
2 2

3 x

1 ? 2 x ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。 a 1 解:等价于 f ( x) ? a ln x ? 2 x ? 3 ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立。 a a a ? 2x ? 0 ,故 f ( x) 单调递减, 首先 f (1) ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,而 f '( x) ? ? 2 ? x x 1 f ( x) max ? f (1) ? 1 ? ? 0 ,故 a ? (0,1] a
49、当 x ? 1 时, a ln x ? 注:本题的关键在于根据 f (1) ? 0 得出 a 的粗略范围,为导数符号判断提供了方便。

50、已知函数 y ? f ( x) 的定义域是 R,若对于任意的正数 a ,函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a) 都是其定义域上的减函数,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是( )

解:等价于 g '( x) ? 0 恒成立,即 f '( x) ? f '( x ? a) 对任意正数 a 恒成立, 等价于 f '( x) 在 R 上单调递减,即 f ( x ) 的切线斜率越来越小,选择 B


相关文档

高中数学13大难点优质汇编
高中数学难点突破_难点13__数列的通项与求和
(新课程)高中数学二轮复习精选《必考问题13 空间线面位置关系的推理与证明》课件 新人教版
版高中数学小问题集中营专题13深化点取整问题 一道课本习题的深化120939-含答案
第13讲 函数的零点个数问题的求解方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
高中数学第一章计数原理13组合七桥问题与欧拉定理素材苏教版选修23
高中数学新体系难点13__数列的通项与求和
沈阳铁西区高中数学家教 高考数学难点突破13__数列的通项与求和
高中数学难点解析教案13 数列的通项与求和
电脑版