山西省祁县中学高二数学4月月考试题文

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

山西省祁县中学 2017-2018 学年高二数学 4 月月考试题 文
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.(1-i) ·i =( ) A.2-2i B.2+2i C.-2 D.2
2

2.复数集是由实数集和虚数集构成的,而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分 ;虚数 集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分,则可选用( A. 结构图 C.流程图或结构图中的任意一个 B. 流程图 D.流程图和结构图同时用 ) )来描述之.

?x ? a ? ?b ? 的关系是( 3.样本点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ) 的样本中心与回归直线 y
A. 在直线附近 B.在直线左上方 C. 在直线右下方 D. 在直线上

4.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有下表关系 x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

? ? 6.5x ? 17.5 ,当广告支出 5 万元时,随机误差的效应(残差) y 与 x 的线性回归方程为 y
为( A. 40 ) B.20 C.30 ) D. 10

5.下面使用类比推理,得到的结论正确的是( A.直线 a,b,c,若 a//b,b//c,则 a//c.

类比推出:向量 a , b , c ,若 a / /b , b / / c ,则 a / / c . B.同一平面内,直线 a,b,c,若 a⊥c,b⊥c,则 a//b. 类比推出:空间中,直线 a,b,c,若 a⊥c,b⊥c,则 a//b. C. 以点 (0, 0) 为圆心, r 为半径的圆的方程为 x ? y ? r .
2 2 2

类比推出:以点 (0,0,0) 为球心, r 为半径的球面的方程为 x ? y ? z ? r .
2 2 2 2

D. 实数 a , b ,若方程 x ? ax ? b ? 0 有实数根,则 a ? 4b .
2

2

类比推出:复数 a , b ,若方程 x ? ax ? b ? 0 有实数根,则 a ? 4b .
2

2

1

6.下面是一段演绎推理: 大前提:如果直线平行于平面,则这条直线平行于平面内的所有直线; 小前提:已知直线 b∥平面 α ,直线 a? 平面 α ; 结论:所以直线 b∥直线 a. A.大前提正确,结论错误 C.大、小前提正确,只有结论错误 在这个推理中( )

B.大前提错误,结论错误 D.小前提与结论都是错误的 )

7.如果曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 x ln 3 ? y ? 3 ? 0 ,那么( A. f ?( x0 ) ? 0 B. f ?( x0 ) ? 0 C. f ?( x0 ) ? 0

D. f ?( x ) 在 x ? x0 处不存在
y
f ?( x )

8.已知函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x) 的图象如右图所示, 那么函数 f ( x ) 的图象最有可能的是( )
y y y

O -1

1

2 y

x

O -2 1 2 x -2 O

1 2 x

-2 O

1 2 x

-2 O 1 2 x

A

B

C

D

9.用反证法证明数学命题时, 首先应该做出与命题结论相反的假设, 否定 “自然数 a , b , c 中 恰有一个偶数”时正确的反设为 ( A.自然数 a , b , c 都是奇数 C.自然数 a , b , c 都是偶数 10. 设 f ( x) ? ) B. 自然数 a , b , c 至少有两个偶数或都是奇数 D. 自然数 a , b , c 至少有两个偶数

x , a, b ? (0, ??) ,且 a ? b ,则( 1? 1? x
B. f (

)

a?b 2ab )? f( ) ? f ( ab ) 2 a?b a?b 2ab ) ? f ( ab ) ? f ( ) C. f ( 2 a?b
A. f (
3

2ab a?b ) ? f ( ab ) ? f ( ) a?b 2 2ab a?b )? f( ) D. f ( ab ) ? f ( a?b 2
)

11. 若关于 x 的方程 x -3x+m=0 在[0,2]上有根,则实数 m 的取值范围是( A. [-2,0] B.[0,2]
2

C. [-2,2]

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

12. 若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是 单调函数, 则实 ..

2

数 k 的取值范围是( ) A. k ?

3 2

B. k ? ?

1 2

C. 1 ? k ?

3 2

D. ?

1 3 ?k? 2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.若复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 为纯虚数,则实数 m ? ____________. 14.将 x ? 4 x ? 5 分解成一次因式的积为___________________.
2

cos( ? ?x) ? cos 6 6 的值为 15. lim ?x ?0 ?x

?

?

. ,则第 2007 个数字是

16.观察下列数字的排列规律: 011222000011111222222

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 复数 z ? ?1 ? i ? a2 ? 3a ? 2 ? i ( a ? R ) , (1)若 z ? z ,求 | z | ; (2)若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限,求 a 的范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3 在 x ? 1 处取得极值,且在 (0, ?3) 点处的切线与直线
2

2 x ? y ? 0 平行.
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ? xf ( x) ? 4 x 的单调递增区间.

19.(本小题满分 12 分)

3

用综合法或分析法证明: (1)如果 a

? 0, b ? 0 ,则 lg

a ? b lg a ? lg b ? ; 2 2

(2)求证:

6? 5?2 2?

7 .

20.(本小题满分 12 分) 在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司为推广线下分店,计划在 S 市 A 区开设分店, 为了确定在该区设分店的个数, 该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到 下列表格.记 x 表示在各区开设分店的个数, y 表示这 x 个分店的年收入之和.

(1) 该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系,求 y 关于 x 的线性回归 方程; (2) 假设该公司在 A 区获得的总年利润 z (单位:百万元)与 x , y 之间的关系为

z ? y ? 0.05x2 ? 1.4 ,请结合(1)中的线性回归方程,估算该公司在 A 区开设多少个分
店时,才能使 A 区平均每个分店的年利润最大?

? ? x ? x ?? y ? y ? b ? 参考公式:回归直线方程为 y ? bx ? a ,其中 , a ? y ? bx . x ? x ? ? ?
n i ?1 i i n 2 i ?1 i

21.(本小题满分 12 分) 进入高二,同学们的学习越来越紧张,学生休息和锻炼的时间也减少了。学校为了提高 学生的学习效率,鼓励学生加强体育锻炼。某中学高二某班有学生 50 人。现调查该班学生 每周平均体育锻炼时间的情况,得到如下频率分布直方图。其中数据的分组区 间为:

?0,2?, ? 2,4?, ? 4,6?, ? 6,8?, ?8,10?, ?10,12?
4

现全班学生中有 40%是女生,其中 3 个女生的每周平均体育锻炼时间不超过 4 小时。 若每周平均体育锻炼时间超过 4 小时称为经常锻炼,问: (1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)有没有 90%的把握说明,经常锻炼是否与性别有关?

n(ad ? bc) 2 附: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K ≥k0) k0

2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

22.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? x2 . (1)求函数 h( x) ? f ( x) ? x ? 1 的最大值; (2)对于任意 x1 , x2 ? (0 , ? ?) ,且 x1 ? x2 ,是否存在实数 m 使得

mg ( x1 ) ? mg ( x2 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x1 ) 恒为正数?若存在,求 m 的取值范围,若不存在,说
明理由.

5

答案 一、选择题 DADDCB ABBCCC 二、填空题 —1 (x+2-i)(x+2+i)

?

1 2

2

三、解答题
2 2 17.解: z ? a ? 3a ? 2 ? 1 ? a i ,

?

?

2 (1)由 z ? z 知, 1 ? a ? 0 ,故 a ? ?1 .当 a ? 1 时, z ? 0 ;当 a ? ?1 时, z ? 6 .
2 ? ? a ? 2或a ? 1 ? a ? 3a ? 2 ? 0 (2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于 0,即 ? ,即 , ? 2 ? ? ?1 ? a ? 1 ?1 ? a ? 0

所以 ?1 ? a ? 1 . 18.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 ,可得 f ' ( x) ? 2ax ? b .

? f ' (1) ? 0, ? 由题设有 ? ' ? ? f (0) ? ?2.
所以 f ( x) ? x ? 2x ? 3 .
2

即?

?2a ? b ? 0, ?b ? ?2.

解得 a ? 1 , b ? ?2 .

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
3 2

(Ⅱ)由题意得 g ( x) ? xf ( x) ? 4 x ? x ? 2 x ? x ,
2 所以 g?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ? (3x ?1)( x ?1) .令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

1 , x2 ? 1 . 3

x
g ' ( x)
g ( x)

1 (??, ) 3

1 3
0

?

1 ( ,1) 3 ?

1

(1, ??)

0

?

所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ) , (1, ??) .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 19. 解: (1)证明: ∵

1 3

a ? 0, b ? 0

∴a ?b ? 2

ab

…… 3 分

(当且仅当 a ? b 时,取“ ? ”号) 即:

a?b ? ab ? 0 …… 4 分 2



y ? lg x 在 (0,??) 上增函数

…… 5 分
6

所以

lg

a ? b lg a ? lg b ? 2 2

…… 7 分

(2)证明:要证 只需证

6? 5?2 2? 7 ?2 2? 5

7
…… 9 分 …… 12 分

6?

只需证: 2

42 ? 2 40
n i ?1 i

只需证: 42 ? 40
i

? ? x ? x ?? y ? y ? ? 8.5 ? 0.85 ,a ? y ? bx ? 4 ? 4 ? 0.85 ? 0.6 . 20.解: (1) x ? 4 ,y ? 4 , b? 10 ? ? x ? x?
n 2 i ?1 i

∴ y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.85 x ? 0.6 . (2) z ? y ? 0.05x2 ? 1.4 ? ?0.05x2 ? 0.85x ? 0.8 ,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

A 区平均每个分店的年利润 t ?

z 0.8 80 ? ? ? ?0.05 x ? ? 0.85 ? ?0.01? 5 x ? ? ? 0.85 , x x x ? ?

∴ x ? 4 时, t 取得最大值.

┄┄┄┄┄┄…… 12 分

故该公司应在 A 区开设 4 个分店时,才能使 A 区平均每个分店的年利润最大. 21.解: 由已知可知,不超过 4 小时的人数为:50×0.05×2=5 人,其中女生有 3 人,所以 男生有 2 人,因此经常锻炼的女生有 50×40%-3=17 人,男生有 30-2=28 人 所以 2×2 列联表为: 男生 经常锻炼 不经常锻炼 小计 所以 28 2 30
2

女生 17 3 20
2

小计 45 5 50

k

50? ?28? 3 ? 2 ?17? 25 ? ? <2.706 30? 20? 45? 5 27
1 1? x ?1 ? ………………2 分 x x

所以没有 90%的把握说明,经常锻炼与否与性别有关。 22. 解: 由题设知: h( x) ? ln x ? x ? 1 ( x ? 0) , h '( x) ?

当 x ? (0 ,1) 时 h '( x) ? 0 ,当 x ? (1, ? ?) 时 h '( x) ? 0 ; ∴ h( x) 在 (0 , 1) 上为增函数,在 (1, ??) 上为减函数;……………………4 分 ∴ [h( x)]max ? h(1) ? 0 ……………………5 分 (Ⅱ)由题设知: mg ( x1 ) ? mg ( x2 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x1 ) ? 0 恒成立,

7

即 mg ( x1 ) ? x1 f ( x1 ) ? mg ( x2 ) ? x2 f ( x2 ) 恒成立,设 ? ( x) ? mg ( x) ? xf ( x) , 则有 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 恒成立, 即 ? ( x) ? mg ( x) ? xf ( x) 在 (0 , ? ?) 为减函数;……………………7 分 ∴ ? '( x) ? mg '( x) ? f ( x) ? xf '( x) ? 2mx ? ln x ? 1 ? 0 在 (0 , ? ?) 恒成立, ∴m ? ?

ln x ? 1 在 (0 , ? ?) 恒成立,……………………9 分 2x ln x ? 1 ln x 设 u ( x) ? ? ,得 u '( x ) ? 2x 2 x2

∴当 x ? (0 ,1) 时 u '( x) ? 0 ,当 x ? (1, ? ?) 时 u '( x) ? 0 ; ∴ u ( x) 在 (0 , 1) 上为减函数,在 (1, ??) 上为增函数; 得 [u ( x)]min ? u (1) ? ? ∴m ? ?

1 ……………………11 分 2

1 ……………………12 分 2

8


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