2015年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科) Word版含解析


2015 年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科)
一、选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A={x∈R|﹣3<x<2},B={x∈R|x ﹣4x+3≥0},则 A∩B=( A. (﹣3,1]
2

) 时, .

B. (﹣3,1) C. 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π)且 .则函数 y=f(x)﹣cosx 在上的零点个数为

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知函数 (Ⅰ)求 的值; .

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间. 16.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 的中点,F 为 AA1 的中点. (I)求证:AD1⊥平面 A1B1E; (II)求证:DF∥平面 AB1E; (III)若二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 45°,求 AB 的长.

17.为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名 志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是: . (Ⅰ)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在,不等式 成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x.我们把|f(x0)﹣g(x0)| 的值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域的所有偏差 都大于 2.

2015 年北京市顺义区高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A={x∈R|﹣3<x<2},B={x∈R|x ﹣4x+3≥0},则 A∩B=( ) A. (﹣3,1] B. (﹣3,1) C. =﹣4,b1=a2=﹣4×2+5=﹣3, 所以 =﹣3?(﹣4)
2 n﹣1 2

,|bn|=|﹣3?(﹣4)
n﹣1 n

n﹣1

|=3?4

n﹣1



所以|b1|+|b2|+…+|bn|=3+3?4+3?4 +…+3?4

=3?

=4 ﹣1,

故选 B. 点评:本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前 n 项和公式,考查学生的运算能力, 属中档题.

6.设变量 x,y 满足约束条件

,则 2

3x﹣y

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象根据截距的大小 进行判断,先设出目标函数 z=3x﹣y 的取值范围,最后根据指数函数的性质即可得出 2 取值范围.
3x﹣y



解答: 解:∵变量 x,y 满足约束条件



设目标函数为:z=3x﹣y, 直线 4x﹣y+1=0 与 x+2y﹣2=0 交于点 A(0,1) , 直线 2x+y﹣4=0 与 x+2y﹣2=0 交于点 C(2,0) , 直线 4x﹣y+1=0 与 2x+y﹣4=0 交于点 B( ,3) ,

分析可知 z 在点 B 处取得最小值,zmin=3× ﹣1=﹣ , z 在点 C 处取得最大值,zmax=3×2﹣0=6, ∴﹣ ≤3x﹣y≤6,



≤2

3x﹣y

≤64.

故选:C.

点评:本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.解题的关键是准 确理解目标函数的几何意义. 7.已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上的动点,点 Q 是 AC 边上的动点,且 ,则 A. B. C. 的最大值为( ) D.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的运算法则和数量积即可化为关于 λ 的二次函数, 利用二次函数的单调性即可 得出最大值. 解答: 解:如图所示, = = = ﹣
2

+(λ﹣1)

+

=(λ﹣λ +1)×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1 = = , (0≤λ≤1) .



时,则

的最大值为



故选 D.

点评:熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键. 8.设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny﹣1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ,则△ AOB 的面积 S 的最小值为( ) A. B. 2 C. 3 D. 4

考点:点到直线的距离公式;三角形的面积公式. 专题:计算题. 分析:由距离公式可得 ,面积为 S= ? ,可得 = ,由基本不等式可得答案.

解答: 解:由坐标原点 O 到直线 l 的距离为

=



化简可得



令 x=0,可得 y= ,令 y=0,可得 x= , 故△ AOB 的面积 S= ? 当且仅当|m|=|n|= = ≥ =3,

时,取等号,

故选 C 点评:本题考查点到直线的距离公式,涉及基本不等式的应用和三角形的面积,属基础题. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上) 9. 的展开式中含 x 的项的系数为 36 (用数字作答) .
5

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题.

分析:先求出 Tr+1=

的展开式的通项为 = ,然后令 9﹣2r=5 可求 r,代入即可求解 的展开式的通项为

解答: 解:由题意可得, Tr+1= 令 9﹣2r=5 可得 r=2 即展开式中含 x 的项的系数为
5

=

=36

故答案为:36 点评:本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项,属于基础试题 10.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ,△ ABC 的面积 S= .

,则 sinC=

考点:正弦定理;三角形的面积公式;同角三角函数间的基本关系. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用同角三角函数的基本关系求得 sinA,利用正弦定理求得 a 的值,再由余弦定理求 出 c,再由正弦定理求得 sinC 的值.从而求得△ ABC 的面积 S= 解答: 解:△ ABC 中,由 cosA= ,可得 sinA= 即 ,解得 a= . .由正弦定理可得 的值. ,

再由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA,即

2

2

2

=25+c ﹣10c? ,解得 c=

2



再由正弦定理可得

,即

,解得 sinC=



故△ ABC 的面积 S= 故答案为 ,

= .

=



点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 11.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上的点,且 DF=CF= AF=2BF,若 CE 与圆相切,且 CE= ,则 BE= . ,

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题. 分析:利用相交弦定理可得 BF?AF=DF?FC,解出 BF;再利用切割线定理可得 CE =BE?EA, 解得 BE. 解答: 解:由相交弦定理得 BF?AF=DF?FC, ∵ ∴ , ,解得 BF=1,∴AF=2.
2

∵CE 与圆相切, 2 ∴由切割线定理可得 CE =BE?EA, ∴ 故答案为 . 点评:熟练掌握相交弦定理和切割线定理是解题的关键. 12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为 92m ,则 h= 4 m.
2

,∵BE>0,解得 BE= .

考点:由三视图求面积、体积. 分析:由题可知,图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱,利用表面积,求出 h 即可. 解答: 解:由题可知,三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱, 几何体的表面积是:两个底面积与侧面积的和, 所以: 解得 h=4. =92,

故答案为:4. 点评:本题考查三视图与几何体的关系,几何体的表面积的求法,考查空间想象能力与计算 能力.

13.已知双曲线

的离心率为

,顶点与椭圆

的焦

点相同,那么该双曲线的焦点坐标为

,渐近线方程为



考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求得椭圆的焦点,求得双曲线的顶点,从而可得几何量,即可求得双曲线的焦点坐标、 渐近线方程. 解答: 解:∵椭圆 的焦点为(± ,0) ,离心率为 , 0) ,

∴双曲线的顶点为(± ∴a= ∴c=2 , ,∴b= ,

= ,渐近线方程为 . .

∴该双曲线的焦点坐标为 故答案为:

点评:本题考查椭圆、双曲线的几何性质,考查双曲线的标准方程,属于基础题. 14.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f′(x)是 f(x)的导函数.当 x∈时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π)且 (x)﹣cosx 在上的零点个数为 6 . 考点:根的存在性及根的个数判断;导数的运算. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据 x∈时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π)且 确定函数的单调性,再利用函数的图形,即可得到结论. 解答: 解:∵x∈(0,π) 且 x≠ ∴x∈(0, ) ,函数单调增,x∈( 时, (x﹣ )f′(x)<0 时, , 时, .则函数 y=f

,π) ,函数单调减.

∵x∈时,0<f(x)<1,

在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标系中作出 y=cosx 和 y=f(x)

草图如下, 由图知 y=f(x)﹣cosx 在上的零点个数为 6 个. 故答案为:6. 点评:本题考查函数的单调性,考查函数的零点,考查函数的周期性与奇偶性,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知函数 (Ⅰ)求 的值; .

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间. 考点:二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的单调性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (I)把 x= 直接代入函数的解析式,化简求得 f( )的值. ) ,从而求得 f(x)

(II)由 cosx≠0,得 x≠kπ+ 的最小正周期.再由 2kπ+

, (k∈z ) .化简函数的解析式为 sin(2x+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,x≠kπ+

,k∈z,求得 x 的范围,即可求得函

数的减区间. 解答: 解: (I)由函数的解析式可得

=

+ =0+ = .…(4 分)

(II)∵cosx≠0,得 x≠kπ+

, (k∈z )

故 f(x)的定义域为{x|x≠kπ+ 因为 = sin2x﹣ + =

, (k∈z )}. =sinx( sin2x+ cos2x=sin(2x+ =π. ,k∈z, cosx﹣sinx)+ = ) , sin2x﹣sin x+
2

所以 f(x)的最小正周期为 T= 由 2kπ+ 得 kπ+ ≤2x+ ≤x≤kπ+ ≤2kπ+

,x≠kπ+

,x≠kπ+

,k∈z, ,kπ+ ) , (kπ+ ,kπ+ ) ,k∈z.…(13 分)

所以,f(x)的单调递减区间为 (kπ+

点评:本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性,属于中档题. 16.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 的中点,F 为 AA1 的中点. (I)求证:AD1⊥平面 A1B1E; (II)求证:DF∥平面 AB1E; (III)若二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 45°,求 AB 的长.

考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)利用长方体的性质可得 A1B1⊥AD1.由于侧面四边形 ADD1A1 为正方形,可得 对角线 A1D⊥AD1,利用线面垂直的判定定理即可证明; (II)取 AB1 的中点为 N,连接 NF.利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理即可 得到四边形 NEDF 为平行四边形,再利用线面平行的判定定理即可证明结论; (III)通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得出. 解答: (I)证明:在长方体体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∵A1B1⊥平面 A1ADD1, ∴A1B1⊥AD1. ∵AA1=AD, ∴四边形 ADD1A1 为正方形,

∴A1D⊥AD1, 又 A1B1∩A1D=A1, ∴AD1⊥平面 A1B1D. 又 ,

∴四边形 A1B1CD 为平行四边形. 又 E 在 CD 上, ∴AD1⊥平面 A1B1E; (II)取 AB1 的中点为 N,连接 NF. ∵F 为 AA1 的中点,∴ ∵E 为 CD 的中点,∴ 而 ∴ , , , ,

因此四边形 NEDF 为平行四边形, ∴DF∥NE,而 NE?平面 AB1E,DF?平面 AB1E. ∴DF∥平面 AB1E. (III)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,设 AB=a, 则 A(0,0,0) ,D(0,1,0) ,D1(0,1,1) ,E 则 , , ,B1(a,0,1) . .

由(I)可知 AD1⊥平面 A1B1E, ∴ 是平面 A1B1E 的一个法向量. ,

设平面 AB1E 的一个法向量为



,得



令 x=1,则 ∴

,z=﹣a, .



=

=



因为二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 45°,





解得 a=1, 即 AB 的长为 1.

点评:熟练掌握长方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理 和平行四边形的判定定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、通过建立空 间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角解决二面角的方法是解题的关键. 17.为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名 志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是: . (Ⅰ)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在,不等式 成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x.我们把|f(x0)﹣g(x0)| 的值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域的所有偏差 都大于 2. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;其他不等式的解法. 专题:新定义. 分析: (Ⅰ)分别求得切点处的导数值,可得方程,进而可得 a 值,不等式可化为 m<x﹣ ,令 h(x)=x﹣ 即可; (Ⅱ)可得 a= ,进而可得|f(x)﹣g(x)|=|e ﹣lnx|,通过构造函数 q(x)=e ﹣x﹣1,可得 e ﹣1>x …①,构造 m(x)=lnx﹣x+1,可得 lnx+1<x…②,由①②得 e ﹣1>lnx+1, x x 即 e ﹣lnx>2,还可得 e >lnx,综合可得结论. 解答: 解: (Ⅰ)函数 y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0,2a+1) , x 又 f′(x)=2ae ,∴f′(0)=2a, 函数 y=g(x)的图象与直线 y=1 的交点为(2a,1) , 又 g′(x)= ,g′(2a)=
x x x x

,求导数可得函数 h(x)在上是减函数,从而可得 m<h(5)

由题意可知,2a=

,即 a =

2

又 a>0,所以 a= …(3 分) 不等式 即 m<x﹣ ∵x>0,∴
x

可化为 m<x﹣ ,令 h(x)=x﹣ ≥ ,

f(x)+ )e ,
x

,则 h′(x)=1﹣(

又 x>0 时,e >1,∴( ∴h(x)在(0,+∞)上是减函数 即 h(x)在上是减函数 因此,在对任意的 x∈,不等式 只需 m<h(5)=5﹣ ,

)e >1,故 h′(x)<0

x

成立,

所以实数 m 的取值范围是(﹣∞,5﹣

)…(8 分)

(Ⅱ)证明:y=f(x)和 y=g(x)公共定义域为(0,+∞) ,由(Ⅰ)可知 a= , ∴|f(x)﹣g(x)|=|e ﹣lnx| x x 令 q(x)=e ﹣x﹣1,则 q′(x)=e ﹣1>0, ∴q(x)在(0,+∞)上是增函数 x 故 q(x)>q(0)=0,即 e ﹣1>x …① 令 m(x)=lnx﹣x+1,则 m′(x)= ,
x

当 x>1 时,m′(x)<0;当 0<x<1 时,m′(x)>0, ∴m(x)有最大值 m(1)=0,因此 lnx+1<x…② x x 由①②得 e ﹣1>lnx+1,即 e ﹣lnx>2 x 又由①得 e >x+1>x x 由②得 lnx<x﹣1<x,∴e >lnx x ∴|f(x)﹣g(x)|=e ﹣lnx>2 故函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于 2…(13 分) 点评:本题考查利用导数研究函数的单调性,以及切线的方程,涉及新定义,属中档题.


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