广东省深圳市罗湖区翠园中学2014-2015学年高二下学期期末复习数学文科试卷1

翠园中学高二文科下学期期末数学复习题一
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A. 1

2 对应的点与原点的距离是 1? i
B.

2

C. 2

D. 2 2

2.已知 a, b ? R ,则“ log3 a ? log3 b ”是 “ ( ) ? ( ) ”的
a b

1 2

1 2

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知直线 l 、 m ,平面 ?、? ,则下列命题中假命题是 A.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? C.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m B.若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ?

3) 的距离小 2,则点 P 的轨迹方程为 4.若点 P 到直线 y ? ?1 的距离比它到点 (0,
A. x ? 12 y
2

B. y ? 12 x
2

C. x ? 4 y
2

D. x ? 6 y
2

y

5.已知 f ? x ? ? a ? b 的图象如图所示,则 f ? 3? ?
x

O D. 3 3 ? 3 或 ?3 3 ? 3 · -2

· 2

x

A. 2 2 ? 2 6.若

B.

3 ?3 9

C. 3 3 ? 3

a ? 0, b ? 0 ,则不等式 ? a ?

A. ?

1 1 ? x ? 0 或0 ? x ? a b 1 1 C. x ? ? 或 x ? b a

1 ? b 等价于 x 1 1 B. ? ? x ? b a 1 1 D. x ? ? 或 x ? a b

7.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? 15 , S 5 ? 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 的直线的斜率 A.4 B.

1 4

C.-4

D.-14
20

8. 某师傅需用合板制作一个工作台,工作台由主体和附属两部分组成, 主体部分全封闭,附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙,其 大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸,做成的工 作台用去的合板的面积为(制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计) A. 40000cm
2

80 80 正视图 侧视图

B. 40800cm
2

2

80

C. 1600(22 ? 17)cm

D. 41600cm

2

俯视图

9.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a 与 b 的“向量积” : a?b 是一个向量,它的模

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? sin ? ,若 a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3 ,则 a ? b ?

?

?

?

?

A. 3

B.2

C. 2 3

D.4

10.已知函数: f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f ( x) 满足条件:

? f (2) ? 12 为事件为 A,则事件 A 发生的概率为 ? ? f (?2) ? 4
A.

1 4

B.

5 8

C.

1 2

D.

3 8

二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题) 11.某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本, 已知座位号分别为 6,30,42 的同学都在样本中,那么样本中另一位同 学的座位号应该是 . .

12.右图是一程序框图,则其输出结果为

13.路灯距地面为 6m,一个身高为 1.6m 的人以 1.2m/s 的速度从路灯的正 底下,沿某直线离开路灯,那么人影长度 S(m)与人从路灯的正底下离开路 灯的时间 t ( s ) 的关系为 ,人影长度的变化速度 v 为 (m/s) .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

? y ? sin ? ? (? 为参数)与直线 x ? a 有两个不 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 ? 1 1 x ? ? cos 2 ? ? ? 2 2
同的公共点,则实数 a 的取值范围是_________________. 15.(几何证明选讲选做题)如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上, 且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD ? AB 于 D 点,则 PC= , CD= .
C

A

O

D

B

P

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已知:函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若函数 f ( x ) 的图象过点 (? , ) ,

6 5

?
4

?? ?

3? ? .求 f ( ? ? ) 的值. 4 4

17. (本小题满分 13 分)
? 如图, 已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面为正方形的长方体,?AD1 A 点P 1 ?4, 1 ? 60 ,AD

A

D C P

是 AD1 上的动点. (1)试求四棱锥 P ? A 1B 1C1D 1 体积的最大值; (2)试判断不论点 P 在 AD1 上的任何位置,是否都有平面

B

A1 D1 B1 C1

B1PA1 垂直于平面 AA1D1 ?并证明你的结论。

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、大小完全相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6 六 个球的口袋中,甲先模出一个球,记下编号,放回后乙再模一个球,记下编号,如果两个编 号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢。 (1)求甲赢且编号和为 8 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由。

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F, 左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B, 过 F,B,C b2

三点作圆 P,其中圆心 P 的坐标为 (m, n) . (1) 若 FC 是圆 P 的直径,求椭圆的离心率; (2)若圆 P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程.

20.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? ( x2 ? 3,1),b ? (x ,? y ), (其中实数 y 和 x 不同时为零) ,当 | x |? 2 时,有

?

?

? ? ? ? a ? b ,当 | x |? 2 时, a // b .
(1) 求函数式 y ? f ( x) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (3)若对 ?x ? (??, ?2] ?[2, ??) ,都有 mx ? x ? 3m ? 0 ,求实数 m 的取值范围.
2

21. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数

f ( x) ?

(x ? 2 1 ) g, ? x( 0

) ?, x 4数 ( 列 1{a )n } 满 足 a1 ? 2 , 且

(an?1 ? an ) g ( n a ?)

.) f (n ? a

(1)试探究数列 {an ? 1} 是否是等比数列? (2)试证明

?a
i ?1

n

i

? 1? n ;

(3)设 bn ? 3 f (an ) ? g (an?1 ) ,试探究数列 {bn } 是否存在最大项和最小项?若存在求出 最大项和最小项,若不存在,说明理由.

一.选择题:BACAC

DADBC

解析:

2 2 ? 1 ? i ,复数 对应的点为 ?1, ?1? ,它与原点的距离是 2 ,故选 B. 1? i 1? i 1 a 1 b 1 a 1 b 2. log3 a ? log3 b ? a ? b ? ( ) ? ( ) ,但 ( ) ? ( ) ? ? log3 a ? log3 b .故选 A. 2 2 2 2
1. 4.把直线 y ? ?1 向下平移二个单位,则点 P 到直线 y ? ?3 的距离就相等了,故点 P 的轨迹 为抛物线,它的方程为 x 2 ? 12 y ,选 A.

b ? ?3 , 5. 依题意知,f ? 0? ? 1 ? b ? ?2 , 又 f ? 2? ? a ? 3 ? 0 , a ? 3 ,f ? x ? ?
2

? 3?

x

? 3,

f ? 3? ? 3 3 ? 3 ,故选 C.
6 .当 x ? 0 时, ? a ? D. 7.∵ ?an ? 是等差数列, a4 ? 15 , S 5 ? 55 ,∴ a1 ? a5 ? 22 , 2a3 ? 22, a3 ? 11 , ∴ k PQ ?

1 1 1 1 ? b 等价于 x ? ,当 x ? 0 时, ? a ? ? b 等价于 x ? ? ,故选 x b x a

a4 ? a3 ? 4 ,故选 A. 4?3
2 2

8.由三视图知该工作台是棱长为 80 cm 的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合 板,如右图示,则用去的合板的面积 S ? 6 ? 80 ? 80 ? 20 ? 2 ? 41600cm 故选 D. 9.? a ? b ? 2, a ? b ? ?2 3,? cos ? ?

?

?

? ?

?2 3 3 1 ?? ,? sin ? ? , 2? 2 2 2

? ? 1 ? a ? b ? 2 ? 2 ? ? 2 ,故选 B. 2
10.由 ?

? f (2) ? 12 ?2b ? c ? 8 ,可得: ? 知满足事件 A 的区域的面积 ? f (?2) ? 4 ?2b ? c ? 0

b (0,4)

c=4 b=4 (4,2) 2b-c=0 c

1 S (a) ? ?16 ? 8 ,而满足所有条件的区域 ? 的面积: S (?) ? 16 ,从而, 2
得: P( A) ?

S (a) 8 1 ? ? ,故选 C. S (?) 16 2
5 24 ;13. ;14. 0 ? a ? 1 ;15. 2 3 、 3 . 11 55

0

(4,0) b=-0.5c+4

二.填空题: 11. 18;12.

解析:11.按系统抽样的方法,样本中 4 位学生的座位号应成等差数列,将 4 位学生的座位 号按从小到大排列,显然 6,30 不可能相邻,也就是中间插有另一位同学,其座位号为(6+ 30)÷2=18,故另一位同学的座位号为 18.

12



S?

1 1 1 1 ? ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 9 ?11

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 9 11 ? ?

?

1? 1? 5 1? ? 2? ? 11? ? 11

13.设人经过时间 ts 后到达点 B,这时影长为 AB=S,如图由平几的知识

S 1.6 1.6 ? 1.2 24 ? t = t ,由导数的意义知人影长度 ,S ? 1.2t ? S 6 6 ? 1.6 55 1.6 ?1.2 24 ? 的变化速度 v= S '(t ) ? (m/s) 6 ? 1.6 55
可得

? y ? sin ? ? (? 为参数)为抛物线段 y2 ? x(0 ? x ? 1) 14.曲线 ? 1 1 x ? ? cos 2 ? ? ? 2 2
借助图形直观易得 0 ? a ? 1 15.由切割线定理得 PC ? PB ? PA ? 12 ,? PC ? 2 3 ,
2

y

x=a

x o 1

C

连结 OC,则 OC ? 三.解答题:

1 1 OP ,??P ? 30? ,? CD ? PC ? 3 2 2

A

O

D

B

P

16.解: (1) f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? 2(sin x ?

? 2 2 ? cos x ? ) ? 2sin( x ? ) ---3 分 4 2 2

∴函数的最小正周期为 2? ,值域为 { y | ?2 ? y ? 2} 。--------------------------------------5 分 (2)解法 1:依题意得: 2sin(? ? ∵

?

?
4

?? ?

3? . 4

∴0 ?? ?

?
4

?

?

6 ? 3 ) ? , sin(? ? ) ? , ---------------------------6 分 4 5 4 5 2 ,

∴ cos(? ?

?

? 3 4 ) = 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? -----------------------------------------8 分 4 4 5 5
? ?

f ( ? ? ) = 2sin[(? ? ) ? ] 4 4 4
∵ sin[(? ?

?

?

? ? ? ? ? 2 3 4 7 2 ) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin = ( ? )? 4 4 4 4 4 4 2 5 5 10
7 2 ------------------------------------------------------------------------------13 分 5

∴ f(

?
4

??) =

解法 2:依题意得: sin(? ?

?

3 3 2 ) ? , 得 sin ? ? cos ? ? ----①-----------7 分 4 5 5



?
4

?? ?

3? . 4

∴0 ?? ?

?
4

?

?
2

,

∴ cos(? ?

?

? 3 4 ) = 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? ---------------------------------9 分 4 4 5 5
)= 4 4 2 得 sin ? ? cos ? ? -----------②----------------10 分 5 5

由 cos(? ?

?
4

①+②得 2sin ? ?

? 7 2 7 2 ,∴ f ( ? ? ) = -------------------------13 分 4 5 5

解法 3:由 sin(? ?

?
4

)?

3 3 2 得 sin ? ? cos ? ? ,--------------------7 分 5 5 18 7 , sin 2? ? ,--------------------------9 分 25 25

两边平方得 1 ? sin 2? ?

3? ? 3? 7 ? ? 0 知 ? 2? ? ? . ∴ ? 2? ? 由 sin 2? ? 4 4 2 2 25 2 24 2 ∴ cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? --------------------------------------11 分 25 1 ? cos 2? 49 2 2 ? 由 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ,得 sin ? ? 2 50


?

?? ?

∴ sin ? ?

? 7 2 7 2 ∴ f ( ??) = .---------------------------------13 分 4 10 5

17.解: (1)∵ ABCD ? A1B1C1D1 是长方体 ∴侧面 AA1D1 ? 底面 A1B1C1D1 ∴四棱锥 P ? A 1B 1C1D 1 的高为点 P 到平面 A 1B1C1D 1 的距离---------------------2 分 当点 P 与点 A 重合时,四棱锥 P ? A 1B 1C1D 1 的高取得最大值,这时四棱锥 P ? A 1B 1C1D 1 体积 最大----------------------------------------------------------------------------------------------------3 分
? 在 Rt△AA 1D 1 中∵ ?AD 1A 1 ? 60 ∴ AA 1 ? AD 1 sin 60 ? 2 3 ,------------- 4 分
?

A1D1 ? AD1 cos60? ? 2 ---------------------------------------------------5 分
∴ (VP ? A1B1C1D1 ) max ?

1 8 S? A1B1C1D1 ? AA1 ? 3 -----------------------------------7 分 3 3

(2)不论点 P 在 AD1 上的任何位置,都有平面 B1PA 1 垂直于平面 AA 1D 1 .-------8 分

证明如下:由题意知, B1 A 1 ? A 1D 1, B 1A 1 ? A 1A 又? AA 1?A 1D 1 ? A 1 又 A1 B1 ? 平面 B1PA 1

? B1 A1 ? 平面 AA1D1

? 平面 B1PA1 ? 平面 AA1D1 .------------------- 13 分

18.解: (1)设“两个编号和为 8”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2)共 5 个,又甲、乙两人取出的数字共有 6×6=36(个)等可能的 结果, 故 分 (2)这种游戏规则是公平的。----------------------------------------------------------------------------7 分 设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C,则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 18 个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) 所 以 甲 胜 的 概 率

P ( A) ?

5 -----------------------------------------------------------------6 36

P( B) ?

18 1 ? 36 2

, 乙 胜 的 概 率

P(C ) ? 1 ?

1 1 ? 2 2



P ( B ) ---------------------------11 分
所以这种游戏规则是公平的。 ---------------------------------------------------------------------------------12 分 19.解: (1)由椭圆的方程知 a ? 1 ,∴点 B(0, b) , C (1, 0) , 设 F 的坐标为 (?c, 0) , ∵FC 是 ? P 的直径,∴ FB ? BC ∵ k BC ? ?b, k BF ?
2 2

y B(0,b)

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)

b c
2

∴ ?b ?

b ? ?1 -------------------------2 分 c

∴ b ? c ? 1 ? c , c ? c ? 1 ? 0 -------------------------------------------------3 分 解得 c ?

5 ?1 -----------------------------------------------------------------------5 分 2 c 5 ?1 ? ---------------------------------6 分 a 2

∴ 椭圆的离心率 e ?

(2)∵ ? P 过点 F,B,C 三点,∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上,

FC 的垂直平分线方程为 x ?

1? c --------①-----------------------------------7 分 2

∵BC 的中点为 ( , ) , kBC ? ?b ∴BC 的垂直平分线方程为 y ? 由①②得 x ?

1 b 2 2

b 1 1 ? ( x ? ) -----②---------------------9 分 2 b 2

1? c b2 ? c 1? c b2 ? c ,y? ,n ? ,即 m ? --------------------11 分 2 2b 2 2b

1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 ∵P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上,∴ 2 2b
∵1 ? b ? 0 ∴ b ? c --------------------------------------------------13 分
2

2 2 由 b ? 1? c 得 b ?

1 2

∴椭圆的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 ------------------------------------------------------------------14 分 20.解: (1)当 | x |? 2 时,由 a ? b 得 a ? b ? ( x2 ? 3) x ? y ? 0 ,

?

?

? ?

|2 ? 且 x ? 0 )------------------------------------------------------2 分 (| x y ? x3 ? 3x ;
当 | x |? 2 时,由 a // b .得 y ? ?

? ?

x --------------------------------------4 分 x ?3
2

? x3 ? 3x, (?2 ? x ? 2且x ? 0) ? ∴ y ? f ( x) ? ? x ---------------------------5 分 .( x ? 2或x ? ?2) ? 2 ?3 ? x
2 (2)当 | x | ? 2 且 x ? 0 时,由 y ' ? 3 x ?3 <0,解得 x ? (?1,0) ? (0,1) ,---------------------------6

分 当 | x |? 2 时, y ' ?

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 ? x2 ? ? 0 ------------------------------8 分 (3 ? x 2 )2 (3 ? x 2 )2

∴函数 f ( x ) 的单调减区间为(- 1 ,0)和(0, 1) -----------------------------------------------9 分
2 ( 3 ) 对 ?x ? (??, ?2] ?[2, ??) , 都 有 mx ? x ? 3m ? 0 即 m( x ? 3) ? ? x , 也 就 是
2

m?

x 对 ?x ? (??, ?2] ?[2, ??) 恒成立,-------------------------------------------11 分 3 ? x2

由(2)知当 | x |? 2 时, f '( x) ?

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 ? x2 ? ?0 (3 ? x 2 )2 (3 ? x 2 )2

∴函数 f ( x ) 在 (-?,-2] 和 [2,+?) 都单调递增-----------------------------------------------12 分

?2 2 ? 2 , f (2) ? ? ?2 3? 4 3? 4 x ? 0 ,∴当 x ? (??, ?2] 时, 0 ? f ( x) ? 2 当 x ? ?2 时 f ( x ) ? 3 ? x2
又 f ( ?2) ? 同理可得,当 x ? 2 时,有 ?2 ? f ( x) ? 0 , 综上所述得,对 x ? (??, ?2] ?[2, ??) , f ( x ) 取得最大值 2; ∴实数 m 的取值范围为 m ? 2 .----------------------------------------------------------------14 分 21.解: (1)由 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 得 4(an?1 ? an )(an ?1) ? (an ?1)2 ? 0

(an ?1)(4an?1 ? 4an ? an ?1) ? 0
∴ an ?1 ? 0 或 4an?1 ? 4an ? an ?1 ? 0 --------------------------------------2 分 ∵ a1 ? 2 ,∴ an ?1 ? 0 不合舍去-------------------------------------------3 分 由 4an?1 ? 4an ? an ?1 ? 0 得 4an?1 ? 3an ? 1

3 (an ? 1) 4 3 ∴数列 {an ? 1} 是首项为 a1 ? 1 ? 1,公比为 的等比数列----------------------5 分 4 3 1 〔方法 2:由 4an?1 ? 3an ?1得 an ?1 ? an ? 4 4 3 1 当 n ? 2 时 an ? an ?1 ? 4 4
方法 1:由 4an?1 ? 3an ? 1得 an ?1 ? 1 ?

3 1 an ? 1 4 an ?1 ? 4 ? 1 3 ? ? (n ? 2) ∴ an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 4
∴数列 {an ? 1} 是首项为 a1 ? 1 ? 1,公比为

3 的等比数列〕 4 3 的等比数列 4

(2)证明:由(1)知数列 {an ? 1} 是首项为 a1 ? 1 ? 1 ,公比为 ∴ an ? 1 ? ( )
n

3 4

n ?1

,∴ an ? ( )

3 4

n ?1

? 1 --------------------------------------7 分

3 [1 ? ( )n ] 3 3 2 3 n?1 4 ? n ? 4[1 ? ( 3 ) n ] ? n ------------9 分 ∴ ? ai ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n = 3 4 4 4 4 i ?1 1? 4 3 n 3 3 n 3 1 ? ∵对 ?n ? N , 有 ( ) ? ,∴ 1 ? ( ) ? 1 ? ? 4 4 4 4 4

∴ 4[1 ? ( ) ] ? n ? 1 ? n ,即
n

3 4

?a
i ?1

n

i

? 1 ? n ----------------------------------------------------10 分

(3)由 bn ? 3 f (an ) ? g (an ?1) 得 bn ? 3(an ?1)2 ? 4(an?1 ?1) ∴ bn ? 3[( ) 分 令u ? ( )

3 4

n ?1 2

3 3 3 ] ? 4( ) n = 3{[( ) n ?1 ]2 ? ( ) n ?1} ------------------------------11 4 4 4 1 2
2

3 4

n ?1

,则 0 ? u ? 1 , bn ? 3(u 2 ? u) = 3[(u ? ) ? ]

1 4

∵函数 bn ? 3[(u ? ) ? ] 在 [ ,1] 上为增函数,在 (0, ) 上为减函数-------------------12
2

1 2

1 4

1 2

1 2



3 3 2 9 27 ,当 n ? 3 时, u ? ( ) ? ,当 n ? 4 时 u ? , 4 4 16 64 27 1 9 3 1 27 1 9 ? ? ? ? 1 ,且 | ? |?| ? | ∵ 64 2 16 4 2 64 2 16
当 n ? 1 时 u ? 1 ,当 n ? 2 时 u ? ∴当 n ? 3 时, bn 有最小值,即数列 {bn } 有最小项,最小项为

9 9 189 b3 ? 3[( ) 2 ? ] ? ? --------------------------------------------------------13 分 16 16 256
当 n ? 1 即 u ? 1 时, bn 有最大值,即数列 {bn } 有最大项,最大项为 b1 ? 3(1 ?1) ? 0 .-----14 分


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