2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高三(上)第五次月考数学试卷(文科)(Word版含解析)

2014-2015 学年河北省石家庄市正定中学高三(上)第五次月考 数学试卷(文科)

一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。每一小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的。

1.定义 A×B={z|z=xy,x∈A 且 y∈B},若 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,2},则 A×B=( )

A. {x|﹣1<x<2} B. {﹣1,2}

C. {x|﹣2<x<2} D. {x|﹣2<x<

4}

2.下列命题中,真命题是( ) A. ?x0∈R,|x0|≤0
C. a﹣b=0 的充要条件是

B. ?x∈R,ex>xe D. 若 p∧q 为假,则 p∨q 为假

3.设 a,b 表示两条不同的直线,α,β 表示两个不同的平面( )

A. 若 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b

B. 若 α⊥β,a∥β,则 a⊥α

C. 若 a⊥α,a⊥b,a∥β,则 b∥β

D. 若 α⊥β,a⊥α,b⊥β,则 a⊥b

4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为( )

A. 6

B. 5

C. 8

5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

D. 7

A. 64﹣

B. 64﹣

C. 64﹣16π

D. 64﹣

6.将函数 h(x)=2sin(2x+ )的图象向右平移 个单位向上平移 2 个单位,得到函数 f

(x)的图象,则函数 f(x)的图象( )

A. 关于直线 x=0 对称

B. 关于直线

对称

C. 关于点

对称

D. 关于点

对称

7.已知函数 f0(x)=xex,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…fn(x)=fn﹣1′(x)(n∈N*)

则 f2014′(0)=( )

A. 2013

B. 2014

C. 2015

D. 2016

8.已知数列{an}为等比数列,则 p:a1<a2<a3 是 q:a4<a5 的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知任意角 θ 以 x 轴的正半轴为始边,若终边经过点 P(x0,

y0)且|OP|=r(r>0),定义:sicosθ=
y=sicosx,有同学得到以下性质: ①该函数的值域为[﹣ , ]; ②该函数图象关于原点对称; ③该函数图象关于直线 x= 对称;

,称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数

④该函数的单调递增区间为[2k﹣ ,2k+

则这些性质中正确的个数有( )

A. 1 个

B. 2 个

],k∈Z, C. 3 个

D. 4 个

10.已知等差数列{an}的公差 d>0,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比 q 是正整数,前 n

项和为 Tn,若 a1=d,b1=d2,且

是正整数,则 等于( )

A.

B.

C.

D.

11.如图,过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,交其准线于 点 C,若|BC|= |BF|,且|AF|=4+2 ,则 p=( )

A. 1

B. 2

C.

D. 3

12.对于函数 f(x),若存在区间[m,n](m<n),使得 f(x)在区间[m,n]上的值域为[λm, λn],则称 f(x)为“λ 倍函数”,若 f(x)=ax(a>1)为“1 倍函数”,则 a 的取值范围为( )

A. (1, ) B. ( ,e)

C. (1, )

D. ( ,e)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.已知函数 f(x)=ln ,则 f( )+f( )=



14.向量 , 是单位向量,则向量 ﹣ 在 + 方向上的投影是



15.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 的取值范围是



16.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,线段 EF,GH 分别在 AB,CC1 上移动,且

EF+GH= ,则三棱锥 EFGH 的体积最大值为



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时写出证明过程或演算步骤.) 17.等比数列{an}中,an>0(n∈N*),a1a3=4,且 a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项,若 bn=log2an+1. (1)求数列{bn}的通项公式;

(2)若数列{cn}满足 cn=an+1+

,求数列{cn}的前 n 项和.

18.已知向量

,函数

(1)求函数 f(x)的对称中心; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 且 a>b,求 a,b 的值.

. ,

19.如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD.AB=AA1= (1)证明:A1C⊥平面 BB1D1D; (2)求三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积.

20.已知函数 f(x)=sinx,g(x)=x﹣ (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点 P( ,f( ))处的切线方程; (Ⅱ)证明:当 x>0 时,x>f(x)>g(x).
21.如图,已知点 A(1, )是离心率为 的椭圆 C: + =1(a>b>0)上的一点,
斜率为 的直线 BD 交椭圆 C 于 B,D 两点,且 A、B、D 三点互不重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:直线 AB,AD 的斜率之和为定值.

22.已知函数 f(x)= +lnx.
(1)求函数 f(x)在(2,f(2))处的切线方程; (2)若 g(x)=f(x)+mx 在[1,+∞)上为单调函数,求实数 m 的取值范围;

(3)若在[1,e]上至少存在一个 x0,使得 kx0﹣f(x0)> 成立,求实数 k 的取值范围.

2014-2015 学年河北省石家庄市正定中学高三(上)第五 次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。每一小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。

1.定义 A×B={z|z=xy,x∈A 且 y∈B},若 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,2},则 A×B=( )

A. {x|﹣1<x<2} B. {﹣1,2}

C. {x|﹣2<x<2} D. {x|﹣2<x<

4}

考点:集合的表示法. 专题:集合. 分析:结合给定信息,直接求解 z=xy,x∈A 且 y∈B 的取值范围即可. 解答: 解:∵A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,2}, 且 z=xy,x∈A 且 y∈B ∴﹣2<z<4, ∴A×B={x|﹣2<x<4}. 故选 D. 点评:本题重点考查了集合的元素特征,理解所给信息是解题的关键,属于中档题.

2.下列命题中,真命题是( ) A. ?x0∈R,|x0|≤0
C. a﹣b=0 的充要条件是

B. ?x∈R,ex>xe D. 若 p∧q 为假,则 p∨q 为假

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:通过特值法可判定 A、B、C 的正误,利用逻辑联接词的真值表可判断 D 的正误. 解答: 解:A,?x0=0∈R,|x0|≤0,故 A 正确; B,不妨令 x=e,则 ee=ee,故 B 错误;
C,a=b=0 时,满足 a﹣b=0,但不能推出 ,必要性不成立,故 C 错误;
D,若 p∧q 为假,则 p、q 中至少有一假,当二者中有一真一假时,p∨q 为真,故 D 错误. 综上所述,真命题是 A. 故选:A. 点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查特值法的应用与逻辑联接词的真值表的应 用,属于中档题.

3.设 a,b 表示两条不同的直线,α,β 表示两个不同的平面( )

A. 若 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b

B. 若 α⊥β,a∥β,则 a⊥α

C. 若 a⊥α,a⊥b,a∥β,则 b∥β

D. 若 α⊥β,a⊥α,b⊥β,则 a⊥b

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由面面平行的定义和性质可判断 A;由面面垂直的性质和线面平行的性质定理,可判 断 B;由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理,可判断 C;由面面垂直的定义和线面 垂直的性质和判定,即可判断 D. 解答: 解:A.若 α∥β,a?α,b?β,则 a,b 异面或平行,故 A 错; B.若 α⊥β,a∥β,则设 α∩β=m,若 a?α,由 a∥β,则 a∥m,即 a?α 可能成立,故 B 错; C.若 a⊥α,a⊥b,a∥β,则 α,β 相交,设交线为 m,过 a 作一个平面 γ,使 γ∩β=c, 由 a∥β 得 a∥c,又 a⊥α,则 c⊥α,c?β,即 β⊥α,由于 a⊥b,故 b?β,或 b∥β,或 b⊥β, 故 C 错; D.若 α⊥β,a⊥α,b⊥β,则 a,b 不平行,若 a,b 异面,则可将 a,b 平移至相交直线, 并确定一平面 γ, 设 γ∩α=m,γ∩β=n,α∩β=l.则可得到 l⊥γ,l⊥m,l⊥n,由于 α⊥β,则 m⊥n,从而 a⊥b, 故 D 正确. 故选 D. 点评:本题考查空间直线与平面的位置关系,考查两种重要的位置关系:平行和垂直,记熟 常见的线面和面面平行或垂直的定理,是迅速解题的关键.
4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为( )

A. 6

B. 5

C. 8

D. 7

考点:程序框图.
专题:算法和程序框图.
分析:根据直到型循环结构的程序框图,依次计算运行的结果,直到满足条件 T≥S,运行终 止,输出 n 值. 解答: 解:由程序框图知:第一次运行的结果是 T=22=4,n=2+1=3,S=32=9; 第二次运行的结果是 T=23=8,n=3+1=4,S=42=16; 第三次运行的结果是 T=24=16,n=4+1=5,S=52=25; 第四次运行的结果是 T=25=32,n=5+1=6,S=62=36;

第五次运行的结果是 T=26=64,n=6+1=7,S=72=49,满足条件 T≥S,运行终止,输出 n=7. 故选 D. 点评:本题流程了直到型循环结构的程序框图,读懂框图的流程是关键.
5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

A. 64﹣

B. 64﹣

C. 64﹣16π

D. 64﹣

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:几何体是正方体内挖去两个圆锥,且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆, 根据三视图判断正方体的边长,圆锥的底面半径与高,代入正方体与圆锥的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:、几何体是正方体内挖去两个圆锥,且两圆锥的底面分别是正方 体上、下面的内接圆, 两圆锥的顶点重合, ∵正方体的边长为 4,∴挖去两个圆锥的底面半径都为 2,上圆锥的高为 3,下圆锥的高为 1,

∴几何体的体积



故选:A. 点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解 答此类问题的关键.

6.将函数 h(x)=2sin(2x+ )的图象向右平移 个单位向上平移 2 个单位,得到函数 f

(x)的图象,则函数 f(x)的图象( )

A. 关于直线 x=0 对称

B. 关于直线

对称

C. 关于点

对称

D. 关于点

对称

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得 f(x)=2sin(2x﹣ )+2,
再根据正弦函数的图象的对称性得出结论.

解答: 解:将函数 h(x)=2sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得到 y=)=2sin[2

(x﹣ )+ ]=2sin(2x﹣ )的图象;

再向上平移 2 个单位,得到函数 f(x)=2sin(2x﹣ )+2 的图象.

由于当 x= 时,sin(2x﹣ )=0,可得函数(f x)=2sin(2x﹣ )+2 的图象关于点
对称, 故选:D. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题.

7.已知函数 f0(x)=xex,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…fn(x)=fn﹣1′(x)(n∈N*)

则 f2014′(0)=( )

A. 2013

B. 2014

C. 2015

D. 2016

考点:导数的运算.
专题:导数的概念及应用.
分析:求出函数的导数,计算导数的规律性,即可得到结论. 解答: 解:∵f0(x)=xex, ∴f1(x)=f0′(x)=xex+ex, f2(x)=f1′(x)=xex+2ex, f3(x)=f2′(x)=xex+3ex,
… 当 n=2015 时,f2015(x)=f2014′(x)=xex+2015ex, 此时 f2014′(0)=2015e0=2015, 故选:C
点评:本题主要考查导数的计算,根据导数的公式,得到导数的规律是解决本题的关键.

8.已知数列{an}为等比数列,则 p:a1<a2<a3 是 q:a4<a5 的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:简易逻辑.
分析:根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
解答: 解:∵数列{an}为等比数列, ∴由 a1<a2<a3 得,a1<a1q<a1q2, 若 a1>0,则 1<q<q2,解得 q>1,此时 a4<a5 成立, 若 a1<0,则 1>q>q2,解得 0<q<1,此时 a1q3<a1q4,即 a4<a5 成立, 若数列为{1,﹣1,1,﹣1,1}其中 a4=﹣1,a5=1,满足 a4<a5 成立, 但 a1<a2<a3 不成立,即必要性不成立, 则 p 是 q 的充分不必要条件.

故选:A. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的性质是解决本题的关键.

9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知任意角 θ 以 x 轴的正半轴为始边,若终边经过点 P(x0,

y0)且|OP|=r(r>0),定义:sicosθ=

,称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数

y=sicosx,有同学得到以下性质: ①该函数的值域为[﹣ , ]; ②该函数图象关于原点对称;
③该函数图象关于直线 x= 对称;

④该函数的单调递增区间为[2k﹣ ,2k+

则这些性质中正确的个数有( )

A. 1 个

B. 2 个

],k∈Z, C. 3 个

D. 4 个

考点:进行简单的合情推理. 专题:三角函数的图像与性质;推理和证明.
分析:首先根据题意,求出 y=sicosθ= sin(x﹣ ),然后根据正弦函数的图象和性质逐
一判断即可. 解答: 解:①根据三角函数的定义可知 x0=rcosx,y0=rsinx,

所以 sicosθ=

=

=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),

因为



所以

sin(x﹣ )



即该函数的值域为[﹣ , ];

②因为 f(0)= sin(

)=﹣1≠0,

所以该函数图象不关于原点对称; ③当 x= 时,

f( )= sin = ,

所以该函数图象关于直线 x= 对称;

④因为 y=f(x)=sicosθ= sin(x﹣ ),

所以由 2kπ﹣ ≤x﹣ ≤2kπ+ ,

可得 2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ,

即该函数的单调递增区间为[2k﹣ ,2k+ ],k∈Z.
综上,可得这些性质中正确的有 3 个:①③④. 故选:C. 点评:本题主要考查了三角函数的图象和性质,属于中档题,解答此题的关键是首先求出函 数 y=sicosθ 的表达式.

10.已知等差数列{an}的公差 d>0,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比 q 是正整数,前 n

项和为 Tn,若 a1=d,b1=d2,且

是正整数,则 等于( )

A.

B.

C.

D.

考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由数列{an}是以 d 为公差的等差数列,且 a1=d 求得
列{bn}是公比 q 的等比数列,且 b1=d2 求得

.再由数 ,结合

是正整数求得 q 的值,则 可求.

解答: 解:∵数列{an}是以 d 为公差的等差数列,且 a1=d, ∴a2=2d,a3=3d.


又数列{bn}是公比 q 的等比数列,且 b1=d2,







=

∵q 是正整数, ∴1+q+q2=7,解得 q=2.



∈N*. .

故选:B. 点评:本题考查了等差数列的性质,考查了等比数列的通项公式,解答此题的关键在于求得 q 的值,是中档题.

11.如图,过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,交其准线于 点 C,若|BC|= |BF|,且|AF|=4+2 ,则 p=( )

A. 1

B. 2

C.

D. 3

考点:抛物线的简单性质. 专题:常规题型;计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义 可知|BD|=a,进而推断出∠BCD 的值,求出|CF|,可得|GF|,即可求出 p 的值. 解答: 解:分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D, 设|BF|=a,则由已知得:|BC|= a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=45°, 在直角三角形 ACE 中,∵|AE|=4+2 , ∴|AC|=4 +4 ∵|AF|=4+2 , ∴|CF|=2 , ∴|GF|=2 ∴p=2, 故选:B. 点评:本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把 握.

12.对于函数 f(x),若存在区间[m,n](m<n),使得 f(x)在区间[m,n]上的值域为[λm, λn],则称 f(x)为“λ 倍函数”,若 f(x)=ax(a>1)为“1 倍函数”,则 a 的取值范围为( )

A. (1, ) B. ( ,e)

C. (1, )

D. ( ,e)

考点:函数的值域.
专题:函数的性质及应用. 分析:先根据函数的定义判断出方程 ax=x,有两个不同实数解,进而分别设出 f(x)=ax, g(x)=x,分别进行求导,通过极值的对比建立不等式求得 a 的范围. 解答: 解:∵f(x)=ax(a>1)为“1 倍函数”, ∴f(x)在区间[m,n]上的值域为[m,n], ∵a>1, ∴f(x)为增函数,





即方程 ax=x,有两个不同实数解, 设 f(x)=ax,g(x)=x, 则 f′(x)=axlna,g′(x)=1, 令 f′(x0)=g′(x0),即 lna=1,
∴a = =logae,x0=loga(logae),
如图可知 g(x0)>f(x0), ∴x0>a ,即 loga(logae)>logae, ∵a>1, ∴logae>e>0, ∴0<logea< ,
∴1<a<e , 故选:C.

点评:本题主要考查了函数的性质,导数的性质与应用.考查了学生分析能力,数形结合思 想起到了重要作用.
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知函数 f(x)=ln ,则 f( )+f( )= 0 .

考点:对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用对数的运算性质和运算法则求解.
解答: 解:∵函数 f(x)=ln ,

∴f( )+f( )=ln( 故答案为:0.

)=ln1=0.

点评:本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意对数的运算法则和运算性质的合理 运用.

14.向量 , 是单位向量,则向量 ﹣ 在 + 方向上的投影是 0 .
考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量投影的概念, 在 方向上的投影为| |cosθ= ,故求出 ,即可得到

在 方向上的投影,则本题求出( ﹣ )?( + ),问题获解.

解答: 解:∵( ﹣ )?( + )=

=1﹣1=0,

∴向量 ﹣ 在 + 方向上的投影是 0,
故答案为:0 点评:本题考查向量的投影,转化为向量的数量积和模长来运算是解决问题的关键,属于基 础题.

15.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 的取值范围是 (﹣1, ] .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.
分析:作出不等式组对应的平面区域,设 k= ,则 z= 利用 k 的几何意义即可得到结论.

解答: 解:设 k= ,则 z= ,则 k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率,
作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知,OB 对应的直线的斜率最小,





解得

,即 B(﹣1,3),

∴OB 的斜率 k=﹣3, 当过 O 的直线与直线 AC 平行时,k=﹣1, ∴﹣3≤k<﹣1,





即﹣1< ≤ , 故答案为:(﹣1, ]

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键,注意要 数形结合.

16.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,线段 EF,GH 分别在 AB,CC1 上移动,且

EF+GH= ,则三棱锥 EFGH 的体积最大值为



考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:画出图形,求出几何体的体积的表达式,利用基本不等式求出几何体体积的最大值即 可. 解答: 解:VEFGH=VH﹣EFC﹣VG﹣EFC =
=

= .(当且仅当 EF=GH= 时取得最大值). 故答案为: .

点评:本题考查几何体的体积的求法,基本不等式的应用,考查空间想象能力以及计算能力.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时写出证明过程或演算步骤.) 17.等比数列{an}中,an>0(n∈N*),a1a3=4,且 a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项,若 bn=log2an+1. (1)求数列{bn}的通项公式;

(2)若数列{cn}满足 cn=an+1+

,求数列{cn}的前 n 项和.

考点:数列的求和.

专题:等差数列与等比数列.

分析: (1)根据等比数列的性质求出 a2,由等差中项和等比数列的通项公式求出公比 q, 求出 an 和 bn; (2)由(1)和题意求出 cn,利用分组求和法、裂项相消法、等比数列的前 n 项和公式求 出数列{cn}的前 n 项和. 解答: 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,且 q>0, 在等比数列{an}中,由 an>0、a1a2=4 得,a2=2,① 又 a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项,所以 2(a3+1)=a2+a4,② 把①代入②得,2(2q+1)=2+2q2,解得:q=2 或 q=0(舍去), 所以 an=a2qn﹣2=2n﹣1, 则 bn=log2an+1=log22n=n…(4 分)

(2)由(1)得,cn=an+1+

=

=

,…(6 分)

所以数列{cn}的前 n 项和 Sn=2+22+…+2n+ [(1﹣ )+

+…+(

)]

=

+

=

…(12)

点评:本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、性质,等差中项的性质,对数的运算 性质,以及数列求和的常用方法:分组求和法、裂项相消法.

18.已知向量 (1)求函数 f(x)的对称中心;

,函数



(2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且



且 a>b,求 a,b 的值.

考点:余弦定理的应用;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

专题:计算题;解三角形.

分析: (1)通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数,两角和的正弦函数化简函数为一

个角的一个三角函数的形式,利用正弦函数的对称性求函数 f(x)的对称中心;

(2)通过 解答: 解:(1)

,求出 C 的大小,以及余弦定理求出 a,b 的值.



=

.…(4 分)



得,



∴函数 f(x)的对称中心为

.…(6 分)

(2)



∵C 是三角形内角,∴

即:

…(8 分)



即:a2+b2=7.



代入可得:

,解之得:a2=3 或 4,…(10 分)

∵a>b,∴

.…(12 分)



或 2,∴



点评:本题考查向量的数量积的应用,余弦定理以及两角和的正弦函数与二倍角公式的应

用,考查计算能力.

19.如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD.AB=AA1= (1)证明:A1C⊥平面 BB1D1D; (2)求三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离.

分析: (1)要证明 A1C⊥平面 BB1D1D,只要证明 A1C 垂直于平面 BB1D1D 内的两条相 交直线即可,由已知可证出 A1C⊥BD,取 B1D1 的中点为 E1,通过证明四边形 A1OCE1 为 正方形可证 A1C⊥E1O.由线面垂直的判定定理问题得证; (2)由已知 A1O 是三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的高,由此能求出三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积. 解答: 证明:(1)∵A1O⊥面 ABCD,且 BD,AC?面 ABCD, ∴A1O⊥BD,A1O⊥AC; 又∵在正方形 ABCD 中,AC⊥BD,A1O∩AC=O, ∴BD⊥面 A1AC,且 A1C?面 A1AC,故 A1C⊥BD. 在正方形 ABCD 中, ∵AB= , ∴AO=1, 在 Rt△ A1OA 中,∵AA1= , ∴A1O=1. 设 B1D1 的中点为 E1,则四边形 A1OCE1 为正方形, ∴A1C⊥E1O. 又 BD?面 BB1D1D,且 E10?面 BB1D1D,且 BD∩E1O=O, ∴A1C⊥面 BB1D1D; 解:(2)∵四棱锥 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心,A1O=1,A1B=AB=AA1= , ∴A1O⊥平面 ABCD,∴A1O 是三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的高,在正方形 ABCD 中,AO=1.在 Rt△ A1OA 中,A1O=1,
∴三棱柱 ABD﹣A1B1D1 的体积 V=S△ ABD?A1O= ×( )2×1=1.
点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查三棱柱的体积的求法,解题时要认真审题,注
意空间思维能力的培养.

20.已知函数 f(x)=sinx,g(x)=x﹣ (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点 P( ,f( ))处的切线方程; (Ⅱ)证明:当 x>0 时,x>f(x)>g(x).

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题:导数的概念及应用. 分析:(1)中求出斜率,代入点斜式方程即可,(2)中令 h(x)=x﹣sinx,通过求导得:h (x)是[0,+∞)上的增函数,问题得解.令 φ(x)=f(x)﹣g(x)同理可求.

解答: 解:(Ⅰ)由题意得所求切线的斜率



由切点

,得切线方程为







(Ⅱ)令 h(x)=x﹣sinx,x∈[0,+∞),h'(x)=1﹣cosx≥0, 则 h(x)是[0,+∞)上的增函数,故当 x>0 时,h(x)>h(0)=0,

所以 x﹣sinx>0,即 x>f(x).







令 u(x)=φ'(x),x∈[0,+∞),u'(x)=x﹣sinx≥0,则 u(x)是[0,+∞)上的增函数, 故当 x≥0 时,u(x)≥u(0)=0,即 φ'(x)≥0,因此 φ(x)是[0,+∞)上的增函数,

则当 x>0 时,φ(x)>φ(0)=0,即

,f(x)>g(x).

综上,x>0 时,x>f(x)>g(x). 点评:考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区 间以及根据函数的增减性得到函数的大小.

21.如图,已知点 A(1, )是离心率为 的椭圆 C: + =1(a>b>0)上的一点,
斜率为 的直线 BD 交椭圆 C 于 B,D 两点,且 A、B、D 三点互不重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:直线 AB,AD 的斜率之和为定值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (Ⅰ)根据点 A(1, )是离心率为 的椭圆 C 上的一点,建立方程,即可求
椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y= x+m,代入椭圆方程,设 D(x1,y1),B(x2,y2),直线

AB、AD 的斜率分别为:kAB、kAD,则 kAD+kAB=

,由此能导出即

kAD+kAB=0. 解答: 解:(1)由题意,可得 e= = ,

代入 A(1, )得



又 a2=b2+c2,…(2 分) 解得 a=2,b=c= ,

所以椭圆 C 的方程

.…(5 分)

(2)证明:设直线 BD 的方程为 y= 又 A、B、D 三点不重合,∴m≠0, 设 D(x1,y1),B(x2,y2),

x+m,

则由

得 4x2+2 mx+m2﹣4=0

所以△ =﹣8m2+64>0, 所以﹣2 <m<2 .

x1+x2=﹣ m,x1x2=﹣

…(8 分)

设直线 AB、AD 的斜率分别为:kAB、kAD,

则 kAD+kAB=

=2 +m?

=2 +m?

=2 ﹣2 =0 (*)

所以 kAD+kAB=0,即直线 AB,AD 的斜率之和为定值.…(12 分)

点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与 椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
22.已知函数 f(x)= +lnx.
(1)求函数 f(x)在(2,f(2))处的切线方程; (2)若 g(x)=f(x)+mx 在[1,+∞)上为单调函数,求实数 m 的取值范围; (3)若在[1,e]上至少存在一个 x0,使得 kx0﹣f(x0)> 成立,求实数 k 的取值范围.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,求出切线的斜率和切点,再由点斜式方程,即可得到切线 方程; (2)求出导数,由条件 g(x)在其定义域内为单调函数,则 mx2+x﹣1≥0 或者 mx2+x﹣1≤0 在[1,+∞)恒成立.运用分离参数,求出右边的最值即可;

(3)构造 F(x)=kx﹣lnx﹣ ﹣ ,则转化为:若在[1,e]上存在 x0,使得 F(x0)>0,
求实数 k 的取值范围. 讨论 k>0,k≤0,运用导数判断单调性,即可得到. 解答: 解:(1)函数 f(x)= +lnx 的导数

f′(x)=﹣



则在(2,f(2))处的切线斜率为:f′(2)=

=,

切点为(2,ln2 ),

则切线方程为:y﹣(ln2 )= (x﹣2),

即有



(2)g(x)=f(x)+mx= +lnx+mx,

g′(x)=﹣

+m=



∵g(x)在其定义域内为单调函数, ∴mx2+x﹣1≥0 或者 mx2+x﹣1≤0 在[1,+∞)恒成立.
∴m≥ 或者∴m≤ 在[1,+∞)恒成立.

由于﹣



∴m 的取值范围是



(3)构造 F(x)=kx﹣lnx﹣ ﹣ ,
则转化为:若在[1,e]上存在 x0,使得 F(x0)>0,求实数 k 的取值范围. ①当 k≤0 时,1≤x≤e,F(x)<0 在[1,e]恒成立, 则在[1,e]上不存在 x0,使得 kx0﹣f(x0)> 成立;

②当 k>0,F′(x)=k+



由于 1≤x≤e,则 e﹣x>0,则 F′(x)>0 在[1,e]恒成立. 故 F(x)在[1,e]递增,F(x)max=F(e)=ke﹣3﹣ ,

只要 ke﹣3﹣ >0,解得 k> ,
综上,k 的取值范围是( ,+∞). 点评:本题考查导数的运用:求切线方程,求单调性和最值,考查构造函数,运用导数判断 单调性,再求最值的方法,考查运算能力,属于中档题.


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