黑龙江省哈六中2014-2015学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案

哈尔滨市第六中学 2014—2015 学年度上学期期末考试

高一数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分
1 2

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 1} ,则 A ? B ? (
x

)

1? ? ? 1 ? B. ?y | 0 ? y ? 1? C. ? y | ? y ? 1? D. ? ? 2? ? ? 2 ? 2.设 a ? log2 3, b ? log3 2, c ? log2 ?log3 2? ,则 ( A. c ? b ? a B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. c ? a ? b
A. ? y | 0 ? y ? 3.在 ?ABC 中, C ? 60 , AB ? 3 , BC ? 2 ,则 A 等于( A. 135
2 2



) D. 75

B. 105 )

C. 45

4.化简 A. 1

cos 5 ? sin 5 ?( sin 40 cos 40
B. 2

C.

5.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,当 m ? 0 时, f ( x ? m) ? f ( x) ,则不等 式 f (?2 ? x) ? f ( x2 ) ? 0 的解集为( ) A. (?2,1) B. (??, ?2) ? (1, ??) C. (?1, 2) D.

1 2

D. ?1

(??, ?1) ? (2, ??)
6.将函数 y ? 3 sin(2 x ? A. 沿 x 轴向右平移 C. 沿 x 轴向右平移

?
4

) 的图象经过( )变换,可以得到函数 y ? 3 sin 2 x 的图象
B. 沿 x 轴向左平移 D. 沿 x 轴向左平移

? ?
8 4

个单位 个单位

? ?
8 4

个单位 个单位

7.已知 tan 2? ? ?2 2 ,且满足

?
4

?? ?

?
2

2 cos2
,则

?
2

? sin ? ? 1
值( )

?? ? 2 sin ? ? ? ? ?4 ?

D. 3 ? 2 2 ?? ? ? ? ? 的图象(部分)如图所示,则 8.已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? x ? R,A ? 0,? ? 0, 2? ? A. 2 B.- 2

C. ? 3 ? 2 2

f ?x ? 的解析式是 (

)

A. f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

)( x ? R) )( x ? R)

B. f ( x) ? 2sin(2? x ? D. f ( x) ? 2sin(2? x ?

? ?
6

)( x ? R) )( x ? R)

C. f ( x) ? 2sin(? x ?

?
3

3

-1-

9 . f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , 有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 且 当 x ? [ 0 , 2 时 ) ,

) ? f (2012 )?( ) f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (?2011 A. 1 ? log 2 3 B. ?1 ? log 2 3 C.-1

D.1[来源:学

10.函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) 与直线 y ? 2 的两个相邻的交点距离等于 ? ,则 ) f ( x) 的单调递增区间是( (A) [k? ? (C) [k? ?

?
12

, k? ?

?

3

, k? ?

?

5? ], k ? Z 12 ], k ? Z

(B) [k? ?

6

11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

5? ? , k? ? ], k ? Z 12 12 ? 2? ], k ? Z (D) [k? ? , k? ? 6 3

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 的图象向左


平移 ? 个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( A.

3 ? ? ? C. D. 8 4 8 ) , 12 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 x ? [? 2 , 0 时
B.

? 2

2 x )? ,若函数 1 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2) (a ? 0 且 a ? 1 )在区间 (?2, 6) 内恰有 2 4 个零点,则实数 a 的取值范围是( ) 1 A. ( ,1) B. (1, 4) C. (1,8) D. (8, ??) 4 f ( x )? (
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.关于 x 的方程 cos x ? sin x ? a ? 0 有实数解,则实数 a 的取值范围是 __________
2

14.已知方程 x ? ax ? 2a ? 0 的两个根均大于 1,则实数 a 的取值范围为 _____________
2

15 .已 知函 数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) , 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别是 角 A, B, C 的 对边 ,若

a ? 3, f ( A) ? 1 ,则 b ? c 的最大值为 ____________ ? 16.关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? )( x ? R) ,有以下命题: 3 4? ) 是偶函数; (1) y ? f ( x ? (2)要得到 g ( x) ? ?4sin 2 x 的图象,只需将 f ( x ) 的图象向 3 ? ? 右平移 个单位; (3) y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称; (4) y ? f ( x) 在 [0, ? ] 内的 12 3 5? 11? ],[ , ? ] , 其中正确命题的序号为 ______________ 增区间为 [0, 12 12

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步骤)
x x 17. (本题满分 10 分)设函数 f ( x) ? log2 (a ? b ) ,且 f (1) ? 1 , f (2) ? log 2 12 .

-2-

(1)求 a, b 的值; , 2] 时,求 f ( x) 的最 大值. (2)当 x ? [1

18. (本题满分 12 分)已知 f (? ) ? (1)化简 f (? ) ;

sin 2 (? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? tan(?? ? ? ) , sin(? ? ? ) ? tan(?? ? 3? )

1 ? ? , 且 ? ? ? , 求 cos ? ? sin ? 的值; 8 4 2 1 (3)求满足 f (? ) ? 的 ? 的取值集合. 4
(2)若 f (? ) ?

? , t a n? 是 一 元 二 次 方 程 3x ? 5 x ? 2 ? 0 的 两 根 , 且 19 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 t a n
2

? ? ? ? (0, ), ? ? ( , ? ) , (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? ? 的值.
2 2

20. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (1)求 f ( x ) 在区间 [ ?

?
6

) ?1

? ?

, ] 上的最大值和最小值及此时的 x 值; 6 4

(2)求 f ( x ) 的单调增区间;
-3-

(3)若 f (? ) ?

1 ? ,求 sin( ? 4? ) 2 6

21 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 , ,且满足

cos A ? ( 3 sin A ? cos A) ?

1 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 2, S?ABC ? 2 3 ,求 b, c 的长。

3 3 sin ?x ? (? ? 0) 在一个周期内的图象如 2 2 2 图所示, A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为等边三角形。将函数 2? f ( x) 的图象上各点的横坐标变为原来的 ? 倍,将所得图象向右平移 个单位,再向上平移 3 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象 (1)求函数 g ( x) 的解析式及函数 g ( x) 的对称中心. 2 x ? 3m[ g( x) ?1] ? m ? 2 对任意 x ? [0, 2? ] 恒成立, (2)若 3sin 2 求实数 m 的取值范围。
22. (本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? 3 cos
2

?x

?

2017 届高一上学期期末考试数学试题答案 一、选择题: 1 A 2 A 3 C 4 B 5 B 6 B 7 C 8 A 9 D 1 0 C 1 D 1 2 D 1

二、填空题:

-4-

13; [ ?1, ] 三、解答题 17、解: (1) ? —4 分

5 4

14; [8, ??)

15; 2 3

16; (2), (3), (4)

?log 2 (a ? b) ? 1
2 2

? a ? b ? 2 ?a ? 4 ————————————— ?? ?? a ? b ? 6 b ? 2 log ( a ? b ) ? log 12 ? ? ? 2 2

(2) f ( x) ? log2 (4x ? 2x ) 设 t ? 2x , t ?[2, 4] , y ? t ? t ? (t ? ) ?
2 2

1 2

1 ,———————————————————— 4

—7 分 当 t ? 4 时,即 x ? 2 时, ymax ? 12 , f ( x)max ? log2 12 ———————————————— —10 分

sin 2 ? ? cos ? ? tan ? 1 18、解; (1) f (? ) ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ——————————— (? sin ? )(? tan ? ) 2
—4 分 (2) f (? ) ? sin ? cos ? ?

1 3 2 , (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 8 4 ? ? 3 ? ? ? ,? sin ? ? cos ? , ———————————————— ? cos ? ? sin ? ? ? 4 2 2

—8 分

(3) f (? ) ?

1 1 1 ? 5? sin 2? ? ,? sin 2? ? ,? ? 2k? ? 2? ? ? 2 k? , k ? Z 2 4 2 6 6 ? 5? ?? ? [ ? k? , ? k? ], k ? Z —————————————————————————— 12 12 1 ? ? 1 , ? ? (0, ), ? ? ( , ? ) ,? tan ? ? ?2, tan ? ? 3 2 2 3


—12 分 19、解: (1)方程的两根为 ?2 和 —2 分

? tan(? ? ? ) ?
—6 分

? tan ? ? tan ? 2 ? 7 , ? ? ? ? (?? , ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? —————— 2 1 ? tan ? tan ? 10
tan ? ? tan ? ? ?1 ,—————————————————————— 1 ? tan ? tan ?

(2) tan(? ? ? ) ? —8 分

? 3? 3 ? ? ? ? ( , ) ——————10 分,?? ? ? ? ? —————————————
2 2 4

—12 分 20、解: f ( x) ? 4cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ?1 2 2 ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ————————————————— 6

— 2分 (1)

x ? [?

? ?

? ? 2? , ],? 2 x ? ? [? , ] 6 4 6 6 3
-5-

当 2x ? 当 2x ? —6 分

?
6

?

?
2

时,即 x ?

?
6

时, f ( x)max ? 2 ;

?

6

??

?
6

时,即 x ? ?

?
6

时, f ( x)min ? ?1,————————————————

(2) 2k? ? —8 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z 增区间 (k? ?

?

, k? ? ), k ? Z ——————— 3 6

?

(3) f (? ) ? 2sin(2? ?

?

? ? ? ? ? 7 sin( ? 4? ) ? sin[ ? 2(2? ? )] ? cos 2(2? ? ) ? 1 ? 2sin 2 (2? ? ) ? —————— 6 2 6 6 6 8
—12 分 21、解: (1) 3 sin A cos A ? cos A ?
2

1 ? 1 ) ? ,? sin(2? ? ) ? 6 2 6 4

? sin(2 A ? ) ? 1 ,——————————————————————————————— 6
—2 分

?

3 1 ? 1 1 sin 2 A ? (1 ? cos 2 A) ? sin(2 A ? ) ? ? , 2 2 6 2 2

A ? (0, ? ),? 2 A ?
— 4分 (2) S ? —6 分

?
6

? (?

? 11?
6 , 6

) ?2A ?

?
6

?

?
2

,? A ?

?
3

————————————

1 bc sin A ? 2 3 ,? bc ? 8 ——————————————————————— 2

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A ,?b ? c ? 4 2 , ————————
—10 分

?b ? c ? 2 2 —————————————————————————————————
—12 分 22、解: (1) f ( x) ? 3 sin(? x ? —2 分

?
3

) , T ? 4,?? ?

?
2

,? f ( x) ? 3 sin(

?

x ? ) ——— 2 3

?

1 2? ? x g ( x) ? 3 sin[ ( x ? ) ? 0 ? 1 ? 3 sin ? 1 —————————————————— 2 3 3 2 x ? k? , k ? Z ,? x ? 2k? , k ? Z ,对称中心为 (2k? ,1), k ? Z ————————————— 2

—4 分

—6 分 (2) (法一) 3sin
2

x x x ? 3m sin ? m ? 2 ? 0 ,设 sin ? [0,1] , 2 2 2

x ?2 x x t ?1 2 ? 1 ,t ?[1, 4] ,则 sin ? ,设 t ? 3sin ————————————— m? x 2 2 3 3sin ? 1 2 3sin 2
8分

-6-

1 3 ? (t ? 1)2 ? 2 2 t ? 2t ? 5 1 5 y? 9 ? ? (t ? ? 2) 在 t ?[1, 4] 上是增函数————————— t 3t 3 t
—10 分 ? t ? 1 时, ymin ? ?2 ,? m ? ?2 ————————————————————————— 12 分 (法二)设 t ? sin <1>

x , t ? [0,1] , y ? 3t 2 ? 3mt ? m ? 2 ? 0 2

m ? 0 时,即 m ? 0 时, ymin ? y(0) ? ?m ? 2 ? 0 ,? m ? ?2 2 m m m2 m ? 3m ? m ? 2 ? 0 ,无解 <2> 0 ? ? 1 时,即 0 ? m ? 2 时, ymin ? y ( ) ? 3 2 2 4 2 m 1 ? 1 时,即 m ? 2 时, ymin ? y(1) ? 3 ? 3m ? m ? 2 ? 0 , m ? <3> 综上: m ? ?2 2 4

-7-


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