沾化区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

沾化区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题 一、选择题
1. 已知函数 f(x)=x4cosx+mx2+x(m∈R),若导函数 f′(x)在区间[﹣2,2]上有最大值 10,则导函数 f′ (x)在区间[﹣2,2]上的最小值为( ) A.﹣12 B.﹣10 C.﹣8 D.﹣6

2. 若 A.

,则下列不等式一定成立的是( ) B.

C.

D.

3. 已知圆 M 过定点 (0,1) 且圆心 M 在抛物线 x2 ? 2 y 上运动,若 x 轴截圆 M 所得的弦为| PQ |,则弦长

| PQ |等于( )

A.2

B.3

C.4

D.与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质,对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高,

难度较大.

4.

双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? 0, b ? 0? 的左右焦点分别为 F1、F2 ,过 F2 的直线与双曲线的右支交于

A、B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2 ? (



A.1? 2 2

B. 4 ? 2 2

C. 5 ? 2 2

D. 3 ? 2 2

5. 集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩B=( )

A.{x|x<1} B.{x|﹣1≤x≤2} C.{x|﹣1≤x≤1} D.{x|﹣1≤x<1}

6. 已知等差数列{an}中,an=4n﹣3,则首项 a1 和公差 d 的值分别为(



A.1,3

B.﹣3,4

C.1,4

D.1,2

7. 对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当 m,

n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合 M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈

N*}中的元素个数是(



A.10 个B.15 个C.16 个D.18 个

8. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,

.若

,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为

A[ ]

B[

]

C[ ]

D[

]

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9. 自主招生联盟成行于 2009 年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京 派”联盟.在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况,得到如下结果:
①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟 根据上述调查结果,下列结论错误的是( ) A.没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D.报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟

10.设集合 A ? ?x? R || x |? 2? , B ? ?x ?Z | x ?1? 0?,则 A B ? ( )

A.?x |1? x ? 2? B.?x |? 2 ? x ?1? C. ??2, ?1,1, 2?

D. ?1, 2?

【命题意图】本题考查集合的概念,集合的运算等基础知识,属送分题.

11.在等比数列{an}中,a1 ? an ? 82 , a3 ? an?2 ? 81 ,且数列{an}的前 n 项和 Sn ? 121 ,则此数列的项数 n
等于( )

A.4

B.5

C.6

D.7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式,对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一

定要求,难度中等.

12.若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆

=1(a>b>0)上的一点,且

=0,

tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为(



A.

B.

C. D.

二、填空题

13.已知向量 a ? (1, x),b ? (1, x ?1), 若 (a ? 2b) ? a ,则| a ? 2b |? ( )

A. 2

B. 3

C.2

D. 5

【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思

维能力与计算能力.

14.对于|q|<1(q 为公比)的无穷等比数列{an}(即项数是无穷项),我们定义 Sn(其中 Sn 是数列{an}

的前 n 项的和)为它的各项的和,记为 S,即 S= Sn= ,则循环小数 0. 的分数形式是



15.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E、F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过直线 EF 的平面分别 与棱 BB′、DD′交于 M、N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′;

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②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小;

③四边形 MENF 周长 l=f(x),x∈0,1]是单调函数;

④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 v=h(x)为常函数;

以上命题中真命题的序号为



16.在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ=sinθ 与 ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,

极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为



17.若正方形 P1P2P3P4 的边长为 1,集合 M={x|x=

且 i,j∈{1,2,3,4}},则对于下列命题:

①当 i=1,j=3 时,x=2;

②当 i=3,j=1 时,x=0;

③当 x=1 时,(i,j)有 4 种不同取值;

④当 x=﹣1 时,(i,j)有 2 种不同取值;

⑤M 中的元素之和为 0.

其中正确的结论序号为

.(填上所有正确结论的序号)

??x+y-5≤0 ? 18.若 x,y 满足约束条件 2x-y-1≥0,若 z=2x+by(b>0)的最小值为 3,则 b=________.
??x-2y+1≤0
三、解答题
19.已知函数 f(x)= x2﹣ax+(a﹣1)lnx(a>1).
(Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ) 若 a=2,数列{an}满足 an+1=f(an). (1)若首项 a1=10,证明数列{an}为递增数列; (2)若首项为正整数,且数列{an}为递增数列,求首项 a1 的最小值.

第 3 页,共 14 页

20.已知直线 l:

(t 为参数),曲线 C1:

(θ 为参数).

(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

倍,得到曲线 C2,设点 P 是

21.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等 的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形 状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

22.已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,

,过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,

G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥EC.

(1)求证:FG∥面 BCD;

(2)设四棱锥 D﹣ABCE 的体积为 V,其外接球体积为 V′,求 V:V′的值.

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23.如图,在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,BC=2,E 是 PD 的中点. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)求二面角 E﹣AC﹣D 所成平面角的余弦值.
24.已知等差数列{an}中,其前 n 项和 Sn=n2+c(其中 c 为常数), (1)求{an}的通项公式; (2)设 b1=1,{an+bn}是公比为 a2 等比数列,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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沾化区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由已知得 f′(x)=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1, 令 g(x)=4x3cosx﹣x4sinx+2mx 是奇函数, 由 f′(x)的最大值为 10 知:g(x)的最大值为 9,最小值为﹣9, 从而 f′(x)的最小值为﹣9+1=﹣8. 故选 C. 【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质.属于常规题,难度不大.

2. 【答案】D 【解析】 因为 , 有可能为负值,所以排除 A,C,因为函数 故选 D

为减函数且

,所以

,排除 B,

答案:D

3. 【答案】A
【解析】过 M 作 MN 垂直于 x 轴于 N ,设 M (x0, y0 ) ,则 N (x0,0) ,在 Rt?MNQ 中,| MN |? y0 , MQ 为 圆的半径, NQ 为 PQ 的一半,因此
| PQ |2 ? 4 | NQ |2 ? 4(| MQ |2 ? | MN |2) ? 4[x02 ? ( y0 ?1)2 ? y02] ? 4(x02 ? 2y0 ?1) 又点 M 在抛物线上,∴ x02 ? 2 y0 ,∴| PQ |2 ? 4(x02 ? 2y0 ?1) ? 4 ,∴| PQ |? 2 .

4. 【答案】C

【解析】

试 题 分 析 : 设 A 1F? A? B ,m则 B 1F? 2 m, 2A?F ? 2m , 2a ?B F2 ?, 2因m 为 a

AB ? AF2 ? BF2 ? m ,所以 m ? 2a ?

2m ? 2a ? m ,解得 4a ?

2m ,所以 AF2

? ? ???1?

2 2

? ???

m

,在直角

三角形

AF1F2

中,由勾股定理得

4c2

?

? ??

5 2

?

2

? ??

m2

,因为

4a

?

2m ,所以

4c2

?

? ??

5 2

?

2

? ??

?

8a2

,所以

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e2 ? 5 ? 2 2 .
考点:直线与圆锥曲线位置关系. 【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系,考查双曲线的定义,考查解三角形.由于题目给定的条件是 等腰直角三角形,就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题,往往要考查圆锥曲线 的定义,本题考查双曲线的定义:动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方 程,从而求出离心率的平方.111.Com] 5. 【答案】D
【解析】解:A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x<1}={x|﹣1≤x≤2,且 x<1}={x|﹣1≤x<1}. 故选 D. 【点评】本题考查了交集,关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分.
6. 【答案】C
【解析】解:∵等差数列{an}中,an=4n﹣3, ∴a1=4×1﹣3=1,a2=4×2﹣3=5. ∴公差 d=a2﹣a1=5﹣1=4. ∴首项 a1 和公差 d 的值分别为 1,4. 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其首项 a1 和公差 d 的求法,属于基础题.
7. 【答案】B 【解析】解:a※b=12,a、b∈N*, 若 a 和 b 一奇一偶,则 ab=12,满足此条件的有 1×12=3×4,故点(a,b)有 4 个; 若 a 和 b 同奇偶,则 a+b=12,满足此条件的有 1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6 共 6 组,故点(a,b)有 2×6 ﹣1=11 个, 所以满足条件的个数为 4+11=15 个. 故选 B
8. 【答案】B 【解析】当 x≥0 时,

f(x)=



由 f(x)=x﹣3a2,x>2a2,得 f(x)>﹣a2;

当 a2<x<2a2 时,f(x)=﹣a2;

由 f(x)=﹣x,0≤x≤a2,得 f(x)≥﹣a2。

∴当 x>0 时,



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∵函数 f(x)为奇函数,

∴当 x<0 时,



∵对?x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x),

∴2a2﹣(﹣4a2)≤1,解得:



故实数 a 的取值范围是



9. 【答案】D

【解析】集合 A 表示报考“北约”联盟的学生,集合 B 表示报考“华约”联盟的学生,

集合 C 表示报考“京派”联盟的学生,集合 D 表示报考“卓越”联盟的学生,

?A B ??

由题意得

??B ??D ???U

? D

C C ?

? B

?

,∴

?A ??B ???U

?D ?C D?

B



A D

B=C

选项 A. B D ? ? ,正确;

选项 B. B ? C ,正确;

选项 C. A ? D ,正确.

10.【答案】D
【解析】由绝对值的定义及 | x |? 2 ,得 ? 2 ? x ? 2 ,则 A ? ?x |? 2 ? x ? 2? ,所以 A B ? ?1, 2?,故选 D.

11.【答案】B

12.【答案】A 【解析】解:∵ ∴
∵Rt△PF1F2 中,

,即△PF1F2 是 P 为直角顶点的直角三角形. ,



= ,设 PF2=t,则 PF1=2t



又∵根据椭圆的定义,得 2a=PF1+PF2=3t

∴此椭圆的离心率为 e= =

=

=

=2c,

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故选 A 【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查 了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题.

二、填空题

13.【答案】A









14.【答案】



【解析】解:0. = +

+…+=

=,

故答案为: . 【点评】本题考查数列的极限,考查学生的计算能力,比较基础.
15.【答案】 ①②④ .
【解析】解:①连结 BD,B′D′,则由正方体的性质可知,EF⊥平面 BDD′B′,所以平面 MENF⊥平面 BDD′B′, 所以①正确. ②连结 MN,因为 EF⊥平面 BDD′B′,所以 EF⊥MN,四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的,所以要使面积 最小,则只需 MN 的长度最小即可,此时当 M 为棱的中点时,即 x= 时,此时 MN 长度最小,对应四边形 MENF 的面积最小.所以②正确. ③因为 EF⊥MN,所以四边形 MENF 是菱形.当 x∈[0, ]时,EM 的长度由大变小.当 x∈[ ,1]时,EM 的 长度由小变大.所以函数 L=f(x)不单调.所以③错误. ④连结 C′E,C′M,C′N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以 C′EF 为底,以 M,N 分别为顶点的两个 小棱锥.因为三角形 C′EF 的面积是个常数.M,N 到平面 C'EF 的距离是个常数,所以四棱锥 C'﹣MENF 的 体积 V=h(x)为常函数,所以④正确. 故答案为:①②④.

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【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式,本题巧妙的把立体几何问题和 函数进行的有机的结合,综合性较强,设计巧妙,对学生的解题能力要求较高.
16.【答案】 (1,2) .

【解析】解:由 2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ, 即 y=2x2. 由 ρcosθ=1,得 x=1.

联立

,解得:



∴曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2). 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.

17.【答案】 ①③⑤

【解析】解:建立直角坐标系如图:

则 P1(0,1),P2(0,0),P3(1,0),P4(1,1).

∵集合 M={x|x=

且 i,j∈{1,2,3,4}},

对于①,当 i=1,j=3 时,x=

=(1,﹣1)?(1,﹣1)=1+1=2,故①正确;

对于②,当 i=3,j=1 时,x=

=(1,﹣1)?(﹣1,1)=﹣2,故②错误;

对于③,∵集合 M={x|x=

且 i,j∈{1,2,3,4}},



=(1,﹣1),

=

=(0,﹣1),

=

=(1,0),



?

=1;

?

=1;

?

=1;

?

=1;

∴当 x=1 时,(i,j)有 4 种不同取值,故③正确;

④同理可得,当 x=﹣1 时,(i,j)有 4 种不同取值,故④错误;

⑤由以上分析,可知,当 x=1 时,(i,j)有 4 种不同取值;当 x=﹣1 时,(i,j)有 4 种不同取值,当 i=1,

j=3 时,x=2 时,当 i=3,j=1 时,x=﹣2;

当 i=2,j=4,或 i=4,j=2 时,x=0,

∴M 中的元素之和为 0,故⑤正确.

综上所述,正确的序号为:①③⑤,

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故答案为:①③⑤.

【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的坐标运算,建立直角坐标系,求得

=(1,

﹣1),

=

=(0,﹣1),

=

=(1,0)是关键,考查分析、化归与运算求解能力,属于

难题.

18.【答案】 【解析】

约束条件表示的区域如图, 当直线 l:z=2x+by(b>0)经过直线 2x-y-1=0 与 x-2y+1=0 的交点 A(1,1)时,zmin=2+b,∴2+b =3,∴b=1. 答案:1
三、解答题

19.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)∵





(x>0),

当 a=2 时,则

在(0,+∞)上恒成立,

当 1<a<2 时,若 x∈(a﹣1,1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,a﹣1)或 x∈(1,+∞),则 f′(x)>0, 当 a>2 时,若 x∈(1,a﹣1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,1)或 x∈(a﹣1,+∞),则 f′(x)>0, 综上所述:当 1<a<2 时,函数 f(x)在区间(a﹣1,1)上单调递减, 在区间(0,a﹣1)和(1,+∞)上单调递增; 当 a=2 时,函数(0,+∞)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>2 时,函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(0,1)和(a﹣1,+∞)上单调递增.

(Ⅱ)若 a=2,则

,由(Ⅰ)知函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,

(1)因为 a1=10,所以 a2=f(a1)=f(10)=30+ln10,可知 a2>a1>0, 假设 0<ak<ak+1(k≥1),因为函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,

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∴f(ak+1)>f(ak),即得 ak+2>ak+1>0, 由数学归纳法原理知,an+1>an 对于一切正整数 n 都成立, ∴数列{an}为递增数列. (2)由(1)知:当且仅当 0<a1<a2,数列{an}为递增数列,

∴f(a1)>a1,即

(a1 为正整数),



(x≥1),则



∴函数 g(x)在区间

上递增,

由于

,g(6)=ln6>0,又 a1 为正整数,

∴首项 a1 的最小值为 6. 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间,同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用,考查运算能 力,属于中档题.

选做题:本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做,则 按所做的前两题计分.【选修 4-2:矩阵与变换】 20.【答案】

【解析】解:(I)l 的普通方程为 y= (x﹣1),C1 的普通方程为 x2+y2=1,

联立方程组

,解得交点坐标为 A(1,0),B( ,﹣ )

所以|AB|=

=1;

(II)曲线 C2:

(θ 为参数).

设所求的点为 P( cosθ, sinθ),

则 P 到直线 l 的距离 d=

= [ sin(

)+2]

当 sin(

)=﹣1 时,d 取得最小值



21.【答案】

【解析】解:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),则 a= (1)S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800,

∴当 x=15 时,S 取最大值.

(2)V=a2h=2

(﹣x3+30x2),V′=6

x(20﹣x),

x,h=

(30﹣x),0<x<30.

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由 V′=0 得 x=20, 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0; ∴当 x=20 时,包装盒容积 V(cm3)最大,

此时,



即此时包装盒的高与底面边长的比值是 .

22.【答案】

【解析】解: (1)证明:取 AB 中点 H,连接 GH,FH, ∴GH∥BD,FH∥BC, ∴GH∥面 BCD,FH∥面 BCD ∴面 FHG∥面 BCD, ∴GF∥面 BCD
(2)V=

又外接球半径 R=

∴V′=

π

∴V:V′=
【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积,其中根据 E 点三条棱互相垂直,故 棱锥的外接球半径与以 AE,CD,DE 为棱长的长方体的外接球半径相等,求出外接球半径是解答本题的关键 点.

23.【答案】

【解析】解:(1)∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD ∵AD⊥CD,PA、AD 是平面 PAD 内的相交直线,∴CD⊥平面 PAD ∵CD?平面 PDC, ∴平面 PDC⊥平面 PAD; (2)取 AD 中点 O,连接 EO, ∵△PAD 中,EO 是中位线,∴EO∥PA ∵PA⊥平面 ABCD,∴EO⊥平面 ABCD, ∵AC?平面 ABCD,∴EO⊥AC 过 O 作 OF⊥AC 于 F,连接 EF,则 ∵EO、OF 是平面 OEF 内的相交直线, ∴AC⊥平面 OEF,所以 EF⊥AC ∴∠EFO 就是二面角 E﹣AC﹣D 的平面角

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由 PA=2,得 EO=1, 在 Rt△ADC 中,设 AC 边上的高为 h,则 AD×DC=AC×h,得 h=

∵O 是 AD 的中点,∴OF= × =

∵EO=1,∴Rt△EOF 中,EF=

=

∴cos∠EFO= =

【点评】本题给出特殊的四棱锥,叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值,着重考查了平面与平面所成角的 求法和线面垂直的判定与性质等知识,属于中档题.

24.【答案】

【解析】解:(1)a1=S1=1+c,a2=S2﹣S1=3,a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

因为等差数列{an},所以 2a2=a1+a3 得 c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4

分)

∴a1=1,d=2,an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6

分)

(2)a2=3,a1+b1=2∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣(8 分)



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12

分) 【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法,考查学生的运算求解能力,属中档题.

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