福建省南安一中2012-2013学年高一上学期期末数学试题(精编word)


南安一中 2012-2013 学年度高一上学期期末考

数学科试卷
本试卷考试内容为:必修 2 部分。分第 I 卷和第 II 卷,共 4 页,满分150分,考试时 间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题纸纸面清洁,不破损。考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回。

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求 1. 直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 的倾斜角是( )

A. 30° B. 120° C. 60° D. 150° 2.过空间任意一点引三条不共面的直线,它们所确定的平面个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 或 3 3.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 7 ? 0 )

)

D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )
A

4. 右图为某平面图形用斜二测画法画出的直观图,则其原来平面图形的面积是( A.4 B. 4 2 C.2 2 D.8 )
2 O 2
45?

1 5.若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C( ,m)三点共线 则m的值为 ( 2 1 1 A. B. ? C.-2 D.2 2 2
6.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成 n 对异面直线,则 n 等于 ( A. 2 B. 3 C. 6 D. 12
2 2 7. 圆 ( x ? 2) ? y ? 5 关于 y ? x 对称的圆的方程是(

B





A. ( x ? 2) ? y ? 5
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 5
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

D. x ? ( y ? 2) ? 5
2 2

8.设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m? ? , n / /? ,则 m ? n ②若 ? / / ? , ? / /? , m? ? ,则 m??

③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( A.①② B.②③ )ks5u

④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

C.③④

D.①②③④ )

9.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(
A. 2 B. 1? 2 C. 1 ?

2 2

D. 1? 2 2
2

10.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积(单位:c m ) 为( ) B.48+24 2 C.36+12 2 D.36+24 2 )

A.48+12 2

11. 直线 l : ax ? by ? 0 和圆 C : x 2 ? y 2 ? ax ? by ? 0 在同一坐标系的图形只能是 (

l
C? O

y x

y l

l
x

y

y

C?

O

C?
O x

C?
O

l
x )

A. B. C. D. 12.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 一定为△ ABC 的( A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心

第 II 卷(非选择题,共 90 分)ks5u
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 16 分 13.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为 14. 过点 A 1, ( -1)B -1, 且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是 、 ( 1) . .

15.若直线 m 被两条平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l1 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段长为 2 , 则 m 的倾斜角等于 .

16.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,

SD ? PD ? 6 , CR ? SC , AQ ? AP ,点 S , D, A, Q 及 P , D , C , R
共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使 P, Q, R, S 四点重合,则该几 何体的内切球的半径为 .ks5u

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 17.求过两直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 的交点,且满足下列条件的直线 l 的方程. (Ⅰ)和直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直; (Ⅱ)在 x 轴, y 轴上的截距相等.

18. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是侧面全等的四棱锥 P -EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. 图 (Ⅰ)求该安全标识墩的体积; (Ⅱ)证明:直线 BD ? 平面 PEG.

D 19.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中. A (Ⅰ)求异面直线 BD 与 B1C 所成的角; (Ⅱ)求证平面 ACB1 ⊥ 平面 B1D1DB . B

C

D1 C1 A1 B1

ks5u

20.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 和定点 A ? 2,1? ,由圆 O 外一点 P(a, b) 向圆 O 引切线 PQ ,切点为

Q ,且满足 PQ ? PA ,
(Ⅰ)求实数 a , b 间满足的等量关系; (Ⅱ)求线段 PQ 长的最小值.

21.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P 为侧

棱 SD 上的点. (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由.

ks5u 22. 已知圆 M : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1 ,直线 l : 2 x ? y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 M 的 切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B . (Ⅰ)若 ?APB ? 60? ,求 P 点坐标; (Ⅱ)若点 P 的坐标为 (1, 2) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C 、 D 两点,当 CD ? 2 时,求 直线 CD 的方程; (III)求证:经过 A 、 P 、 M 三点的圆与圆 M 的公共弦必过定点,并求出定点的坐标.

南安一中 2012-2013 学年度高一上学期期末考

数学科试卷参考答案
一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.A 9.B 10.A 11.D 12.A 二、填空题 13. 4 : 9 三、解答题 14. ( x ? 1)
2

? ( y ? 1) 2 ? 4

15. 135 ?

16. 6 ? 3 2

17.解:由 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 可得两直线的交点为 (1,2) ………………2 分 x? y ?3?0 ?

(Ⅰ)?直线 l 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直

?直线 l 的斜率为 3 则直线 l 的方程为 3x ? y ? 1 ? 0
(Ⅱ)当直线 l 过原点时,直线 l 的方程为 2 x ?

…ks5u……6 分

y?0

………………8 分

当直线 l 不过原点时,令 l 的方程为

x y ? ?1 a a

?直线 l 过 (1,2) ,? a ? 3
则直线 l 的方程为 x ?

y ?3? 0

………………12 分

18.解: (Ⅰ)该安全标识墩的体积为: V

?V

P ? EFGH

?V

ABCD ? EFGH

1 3 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 (cm ) ………………6 分 3
(Ⅱ)连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. PO ? 平面 EFGH , ? PO ? HF ? HF ? 平面 PEG 又 EG ? HF 又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG; ………………12 分
.

19. 解: (Ⅰ)如图, DB ∥ D1 B1 , 则 ?D1B1C 就是异面直线 BD 与 B1C 所成的角. 连接 D1C ,在 ?D1 B1C 中, D1 B1 ? B1C ? CD1 , 则 ?D1B1C ? 60? , 因此异面直线 BD 与 B1C 所成的角为 60? .………6 分 ks5u
[.C

(Ⅱ) 由正方体的性质可知 DD1 ? 面AC , 故 DD1 ? AC , 又 正方形 ABCD 中, AC ? BD , ∴ AC ? 面B1 D1 DB ; 又 AC ? 平面ACB1 , ∴ 平面 ACB1 ? 平面B1D1DB . ………………12 分

20.解: (Ⅰ)连结 OP ,因为 Q 为切点,有 PQ ? OQ ,则 PQ ? OQ ? OP ,
2 2 2

已知 PQ ? PA ,所以 a2 ? b2 ? 1 ? (a ? 2)2 ? (b ? 1)2 化简得 2 a ? b ? 3 ? 0 ………………6 分 (Ⅱ)由 2 a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2 a ? 3

6 4 2 PQ ? a2 ? b2 ? 1 ? a2 ? (?2a ? 3)2 ? 1 ? 5(a ? )2 ? 5 5 2 5 6 故当 a ? 时线段 PQ 长的最小值为 ………………12 分 5 5 21.解: (Ⅰ) BD, AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。在正方形 ABCD 中, AC ? BD , 连 设
所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD .………………4 分 ks5u (Ⅱ) 在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 设正方形边长 a ,则 SD ? 又 OD ?

2a 。

2 a ,所以 ?SDO ? 60? , 2
0

连 OP , 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 30 , 则 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 的 4

交点即为 E ,连 BN。 在 ?BDN 中 知 BN // PO , 又 由 于 NE // PC , 故 平 面 BEN // 平面PAC , 得

1 ,故 1 .………………12 分 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 2: SE:EC ? 2:
22.解: (Ⅰ)由条件可知 PM ? 2 ,设 P(a, 2a) ,则 PM ? a 2 ? (2a ? 4)2 ? 2 解得 a ? 2

6 6 12 ,所以 P(2, 4) 或 P( , ) ………………4 分 5 5 5 2 (Ⅱ)由条件可知圆心到直线 CD 的距离 d ? ,设直线 CD 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) , 2
或a ? 则

k?2 k ?1
2

?

2 ,解得 k ? ?7 或 k ? ?1 2

所以直线 CD 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 7 x ? y ? 9 ? 0 ………………8 分 (III)设 P(a, 2a) ,过 A 、 P 、 M 三点的圆即以 PM 为直径的圆, 其方程为 x( x ? a) ? ( y ? 4)( y ? 2a) ? 0 整理得 x2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 2ay ? 8a ? 0 与 x2 ? ( y ? 4)2 ? 1 ? 0 相减得

(4 ? 2a) y ? ax ? 8a ? 15 ? 0 即 (? x ? 2 y ? 8)a ? 4 y ? 15 ? 0

1 ? ?x?2 ? 4 y ? 15 ? 0 ? 由? 得? ?? x ? 2 y ? 8 ? 0 ? y ? 15 ? 4 ? 1 15 所以两圆的公共弦过定点 ( , ) ………………14 分 ks5u 2 4


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