牛镇高中 2018-2019年度第二学期高二数学第二次月考试题答案

2018-2019 学年度第二学期牛镇高中
高二数学第二次月考测试题参考答案
总分:150 分 时间:120 分钟; 总分:150 分

2019. 4.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 答案

1 B

2 D

3 D

4 B

5 C

6 B

7 C

8 C

9 D

10 A

11 D

12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

3? 5 x3 ? 0 __. 13.___ ?x ? R , 14._______ 2 ____. 15.___ 3 ________. 16.______3_____.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17.(本小题 10 分) (1)由 x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 ,解得 2 ? x ? 5 ,所以 p : 2 ? x ? 5 ; 又 x 2 ? 4m x ? 3m2 ? 0 ,因为 m ? 0 ,解得 m ? x ? 3m ,所以 q : m ? x ? 3m . 当 m ? 4 时, q : 4 ? x ? 12 ,又 p ? q 为真, p, q 都为真,所以 4 ? x ? 5 . (5 分)

(2)由 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,即 ?q ? ?p , ?p ?? ?q ,其逆否命题为

?m ? 2 5 ? p ? q, q ?? p , 由 (Ⅰ)p : 2 ? x ? 5 ,q : m ? x ? 3m , 所以 ?3m ? 5 , 解得 ? m ? 2 3 ?m ? 0 ?
(10 分)
? a3 ? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ? ,所 ?S ? 3a ? 3 ? 2 d ? 9 ,解得 ? d ?2 3 1 ? ? 2 ?

18.(本小题满分 12 分)(文科做) (1)
1/8

以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ----6 分 (2) 由(1)知, an ? 2n ? 1 , 所以 cn ? 所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?
---1 2 分

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ( 1 ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2

18.(理科做) (1)由已知得 sn ? 2an ? 3n

①,

sn ?1 ? 2an ?1 ? 3(n ? 1)



由②-①得: an ?1 ? 2an ? 3 ,所以 an ?1 ? 3 ? 2(an ? 3)

?

an ?1 ? 3 ? 2 ┄┈┈4 分 an ? 3
a1 ? 3, a1 ? 3 ? 6 ? 0
5分

又 a1 ? s1 ? 2a1 ? 3 得

所以 ?an ? 3? 是以 6 为首项,2 为公比的等比数列.┄┈┈ (2)由(1)得 3 ? an ? 6 ? 2n ?1 ,即 an ? 3(2n ? 1) (3) bn ?
n ? ? 3 ? 2 n ? 3 ? 3? ? n ? 2 n 3

┄┈┈8 分

┄┈┈9 分

所以 Bn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n ? 2n

③ ④

2Bn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?
由④- ③得

? (n ? 1)2n ? n2n?1

Bn ? ?(2 ? 22 ? 23 ?
? Bn ? 2 ? (n ? 1)2n?1

? 2n ) ? n ? 2n?1 = ?

2 ? 2n ?1 ? n 2n?1 ? 2 ? (n ? 1)2n?1 1? 2

┄┈┈12 分

2/8

19.(本小题满分 12 分)解: (1)因为 m//n, 所以 asinB- 3b cos A =0
由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B sin A ? 0 ,又 sin B ? 0 ,从而

tan A ? 3,由于0 ? A ? ? ,? A ?

?
3 ..........6 分
2

(2)

由余弦定理,得: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2

2

2

a ? 7 , b ? 2, A ?
而由

?
3 得:

7 ? 4 ? c ? 2c,即c ? 2c ? 3 ? 0



? c ? 0,?c ? 3

1 1 3 3 3 ? S ?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2 .........12 分
20.(本小题满分 12 分)(1)设 N 为 DE 的中点,因为 M 是 EC 的中点

? MN // DC , MN ? ? AB // CD, AB ?

1 DC , 2

1 CD, 因此 AB//MN ,所以四边形 ABMN 是平行四边形,---4 分 2

AN ? 平面ADEF, ? BM // 平面ADEF. ---6 分 ? BM // AN, 因为 BM ? 平面ADEF,

(2)因为点 M 是 EC 中点, 所以 S ?DEM ?

1 S ?CDE ? 2 .----7 分 2

因为 AD ? CD, AD ? DE, 且 DE 与 CD 相交于 D

? AD ? 平面CDE ,-----8 分

? AB // CD,? AB // 平面CDE, B 到面 DEM 的距离 AD ? 2 .----10 分
?VM ? BDE ? VB ? DEM ? 1 1 4 ? S ?DEM ? AD ? ? 2 ? 2 ? .---------12 分 3 3 3

21.(本小题 12 分) 解: (1)由已知,得圆心在经过点 P(4,0)且与 y=2x﹣8 垂直的直线 上,它又在线段 OP 的中垂线 x=2 上, 所以求得圆心 C(2,1) ,半径为 .

所以圆 C 的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.....6 分 (2)①当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 5 ? 4k ? 0 . 因为|MN|=2,圆 C 的半径为
3/8

,所以圆心到直线的距离 d=2

4 ? 2k k 2 ?1

? 2 ,解得 k ?

3 3 ,所以直线 y ? x ? 2 , 4 4

②当斜率不存在时,即直线 l:x=4,符合题意 综上直线 l 为 y ?
3 x ? 2 或 x=4......12 分 4

22.(本小题 12 分) (文科做)
2 2 2 c 5 且a ? b ? c (Ⅰ)由题可知 e ? ? , 2a ? 2b ? 10 , ,解得 a ? 3,b ? 2 . a 3

故椭圆 E 的标准方程为 E :

x2 y 2 ? ?1 . 9 4

……………5 分

(Ⅱ) 解法 1: 设 P( x0 , y0 ) , 直线 PA 交 y 轴于点 C (0,y1 ) , 直线 PB 交 y 轴于点 D(0,y2 ) .
2 2 9 yo xo yo ? 4 .易知 OC与OD 同向,故 OC ? OD ? y1 ? y2 . ? ? 1 ,即 则 2 9 4 9 ? xo

2

……………7 分

0) , B(3, 0) , 所 以 得 直 线 PA 的 方 程 为 因 为 A(?3,

y ? yo x ? xo ? ,令 x ? 0 ,则 ? yo ? 3 ? xo

y1 ?

3 yo y ? yo x ? xo 3 y0 . ? ;直线 PB 的方程为 ,令 x ? 0 ,则 y2 ? 3 ? x0 3 ? xo ? yo 3 ? xo

所以 OC ? OD ? y1 ? y2 ?

9 yo ? 4 ,为定值. 2 9 ? xo

2

……………12 分

?a ? c ? 2 ? 3 ? 22.(理科做)(1)由题意得 ? c , 3 ? ? 2 ?a

? ?a ? 2 解得 ? ,∴ a 2 ? 4 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ? ?c ? 3

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ..........5 分 4

(2) (i)设直线 l 为: y ? kx ? 2 , E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) ,

4/8

? y ? kx ? 2 ? 由题意得 ? x 2 , 2 ? ? y ?1 ?4
∴ (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,
2 ∴ ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,即 k ?

3 , 4

由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?
12 ,......7 分 1 ? 4k 2

16k , 1 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

∴ xM ? ? ∴ kOM ?

8k 2 y ? kxM ? 2 ? , 2 , M 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 yM 1 ? ? ,∴ k ? kOM ? ? ,∴直线 OM 与 l 的斜率乘积为定值......9 分 4 xM 4k

(ii)由(i)可知:
EF ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

? 4 1? k 2 ?

4k 2 ? 3 (1 ? k 2 )(4k 2 ? 3) , ? 4 (1 ? 4k 2 )2 1 ? 4k 2
2 1? k 2


又点 O 到直线 l 的距离 d ?

1 1 2 ?4 ∴ ?OEF 的面积 S ?OEF ? ? d ? EF ? ? 2 2 1? k 2
2 令 4k ? 3 ? t ,则 t ? 0 ,

(1 ? k 2 )(4k 2 ? 3) 4 4k 2 ? 3 ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

∴ S ?OEF ?

4t 4 4 ? ? ? 1 ,当且仅当 t ? 2 时等号成立, 4 4 t ?4 t? t
2

此时 k ? ?

7 ,且满足 ? ? 0 ,∴ ?OEF 面积的最大值是 1 ,此时 l 的斜率为 2

?

7 ..12 分 2

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