等比数列复习


等比数列复习
1、等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个 常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 注意(1)、q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即

(2)、由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0. (3)、公比 q 可为正数、负数,特别当 q=1 时,为常数列 a1,a1,……; q=-1 时,数列为 a1,-a1,a1,-a1,……. (4)、要证明一个数列是等比数列,必须对任意 n∈N+, an+1÷an=q,或 an÷an-1=q(n≥2)都成立. 2、等比数列的通项公式 由 a2=a1q,a3=a2q=a1q ,a4=a3q=a1q ,……,归纳出 an=a1q -1.此式对 n=1 也成立. 3、等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4、等比数列的判定方法 (1)、an=an-1·q(n≥2),q 是不为零的常数,an-1≠0 (2)、an =an-1·an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0) (3)、an=c·q (c,q 均是不为零的常数) 5、等比数列的性质 设{an}为等比数列,首项为 a1,公比为 q. (1)、当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,{an}是递增数列;当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,{an}是递减数 列;当 q=1 时,{an}是常数列;当 q<0 时,{an}是摆动数列. (2)、an=am·q
n-m n 2 2 3 n

{an}是等比数列.

{an}是等比数列. {an}是等比数列.

(m、n∈N*).

(3)、当 m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有 am·an=ap·aq. (4)、{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积.

(5)、数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;若{bn}是公比为 q′的等比数列,则 数列{an·bn}是公比为 qq′的等比数列;数列 是公比为 的等比数列;{|an|}是公比为|q|的等比数列.

(6)、在{an}中,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为 qk+1. (7)、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为 lgq 的等差数列. (8)、{an}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为 q 的等比数列. (9)、若 m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap 成等比数列.

6、等比数列的前 n 项和公式

由此得 q≠1 时等比数列{an}的前 n 项和的公式

.

因为 an=a1q

n-1

,所以上面公式还可以写成

.

当 q=1 时,Sn=na1. 7、等比数列前 n 项和的一般形式 一般地,如果 a1,q 是确定的,那么

8、等比数列的前 n 项和的性质 (1)、若某数列前 n 项和公式为 Sn=a
n-1

(a≠0,±1),则{an}成等比数列.
n

(2)、若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+q ·Sm.

(3)、在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),则 (4)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列. 二、举例讲解 1、利用等比数列的通项公式进行计算. 【例 1】 在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8 ①求通项公式,②求 a1a3a5a7a9. 解析:①设公比为 q,则由已知得

【例 2】 有四个数,前三个成等差,后三个成等比,首末两项和 37,中间两项和 36,求这四个数.

解析 1:按前三个数成等差可设四个数为:a-d,a,a+d,

,由已知得:

解析 2:按后三个数成等比可设四个数为 2a-aq,a,aq,aq , 由已知得:

2

解析 3:依条件设四个数分别为 x,y,36-y,37-x,

2、利用等比数列的性质解题. 【例 3】等比数列{an}中, (1)、已知 a 2 ? 4, a5 ? ?

1 ,求通项公式.(2)、已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 2

3、如何证明所给数列是否为等比数列. 【例 4】 设{an}是等差数列, bn ? ( ) n ,已知 b1 ? b2 ? b3 ?
a

1 2

21 1 , b1b2 b3 ? ,求等差数列的通项 an. 8 8

4、利用等比数列的前 n 项和公式进行计算. 【例 5】 若数列{an}成等比数列,且 an>0,前 n 项和为 80,其中最大项为 54,前 2n 项之和为 6560,求 S100=? 5、利用 an,Sn 的公式及等比数列的性质解题. 【例 6】 数列{an}中,a1=1,且 anan+1=4n,求前 n 项和 Sn. 解析:由已知得 anan+1=4
n

……①
n+1

an+1an+2=4

……②

a1≠0,②÷①得 ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…;

.

a2,a4,a6,…,a2n,…都是公比 q=4 的等比数列,a1=1,a2=4. ①当 n 为奇数时,


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