2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习课件:第3章 三角函数、解三角形 6 第6讲 正弦定理和余弦定理

第三章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 1.正弦定理 a b c = = =2R(R 为外接圆的半径). sin A sin B sin C 解决以下两类问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一 步求出其他的边和角. 2.余弦定理 余弦定理:a2=b2+c2-2bc· cos A, b2=a2+c2-2ac· cos B, c2=a2+b2-2ab· cos C; b2+c2-a2 a2+c2-b2 变式:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= ; 2ab 解决以下两类问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 3.面积公式 1 1 1 S= absin C= bcsin A= acsin B. 2 2 2 4.△ABC 解的个数情况(已知 a,b,A) 无解(a<bsin A); 一解(a=bsin A 或者 a≥b); 两解(bsin A<a<b). 1.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 2 3 AC=________. BC·sin B AC BC [解析] 在△ABC 中, = ,所以 AC= sin B sin A sin A 2 3 2× 2 = =2 3. 3 2 2 3 2.在△ABC 中,若 a=2,c=4,B=60°,则 b=________. [解析] 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 b2=4+16-8=12,所以 b=2 3. 1.必明辨的 2 个易错点 (1)已知两边和其中一边对角解三角形漏解或多解. (2)在判断三角形形状时,等式两边一般不能约去公因式,应 移项提取公因式,以免漏解. 2.常用的 3 个结论 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,其中 c 为 最大边. A+B π C (1)A+B+C=π, = - . 2 2 2 (2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, A+B C sin =cos . 2 2 π ? (3)角 C 的范围是?3,π? ?,若角 A 是最小角,则角 A 的范围 π? ? 是?0,3?. 2 1.△ABC 中,a= 5,b= 3,sin B= ,则符合条件的三 2 2 角形有________ 个. 10 [解析] 因为 asin B= ,所以 asin B<b= 3<a= 5,所以 2 符合条件的三角形有 2 个. 2.在非钝角△ABC 中,a=1,b=2,S△ABC= 3 ________ . 3 ,则 c 等于 2 1 3 [解析] 由三角形面积公式得 ×1×2×sin C= , 2 2 3 即 sin C= ,又 0°<C≤90°, 2 所以 C=60°,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C =1+4-2×1×2×cos 60°=3, 所以 c= 3. 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 1 2B+C cos A= ,求 sin +cos 2A 的值. 3 2 [解] sin 2B+C 2 +cos 2A 1 = [1-cos(B+C)]+2cos2A-1 2 1 = (1+cos A)+2cos2A-1 2 1? 2 1 ? 1 = ×?1+3?+ -1=- . 2 9 9 判断三角形形状问题 在△ABC 中,若 a2+b2-c2=ab,且 2cos Asin B= sin C,试判断△ABC 的形状. 【解】 法一:利用边的关系来判断: sin C c 由正弦定理得 = , sin B b sin C c 由 2cos Asin B=sin C,有 cos A= = . 2sin B 2b b2+c2-a2 又由余弦定理得 cos A= , 2bc 2 2 2 c b +c -a 所以 = , 2b 2bc 即 c2=b2+c2-a2,所以 a2=b2,所以 a=b. 又因为 a2+b2-c2=ab. 所以 2b2-c2=b2,所以 b2=c2, 所以 b=c,所以 a=b=c. 所以△ABC 为等边三角形. 法二:利用角的关系来判断: 因为 A+B+C=180°, 所以 sin C=sin(A+B), 又因为 2cos Asin B=sin C, 所以 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以 sin(A-B)=0. 又因为 A 与 B 均为△ABC 的内角,所以 A=B, 又由 a2+b2-c2=ab, a2+b2-c2 ab 1 由余弦定理,得 cos C= = = , 2ab 2ab 2 又 0°<C<180°,所以 C=60°, 所以△ABC 为等边三角形. 判断三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出 三角形内角之间的关系进行判断. (2)利用正弦定理、 余弦定理, 化角为边, 通过代数恒等变换, 求出边与边之间的关系进行判断. b·cos C 1+cos 2C 已知△ABC 中, = ,试 c·cos B 1+cos 2B 判断△ABC 的形状. 1+cos 2C 2cos2C cos2C b·cos C [解] 由已知,得 = , 2 = 2 = 1+cos 2B 2cos B cos B c·cos B cos C b 所以 = . cos B c b sin B sin B cos C 由正弦定理知 = ,所以 = , c sin C sin C cos B 所以 sin Ccos C=sin Bcos B,即 sin 2C=sin 2B, 因为∠B、∠C 均为△ABC 的内角, 所以 2∠C=2∠B 或 2∠C+2∠B=180°, 所以∠B

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