通信原理:第3章 随机过程_图文

通信原理 1 通信原理 第3章 随机过程 2 3.1 基本概念 ? 3.1 随机过程的基本概念 ? 什么是随机过程? ? 随机过程是一类随时间作随机变化的过程,它不能 用确切的时间函数描述。是与确定信号相对的物理 过程。 可从两种不同角度看: ? 角度1:对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 是随机的时间函数 x ? x?t? ? ? ?t? 3 3.1 基本概念 【例】信道中未传输信号时,用n台示波器同时观测 并记录n台通信接收机的输出噪声波形 ? 样 间本 函函 数数。xi (t):随机过程的一次实现,是确定的时 ? 随机过程:? (t) ={x1 (t), x2 (t), …, xn (t)} 是全部样本函数的集合。 ? (t) x1(t) x2(t) … .xn(t) 0 t 4 3.1 基本概念 ? 角度2:随机过程是随机变量概念的延伸。是 随时间变化的随机变量 x ? ? ? ? ?t? ? 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。 x1(t) ?1 ?2 0 ?n t x2(t) 0 t xn(t) 0 t1 t2 t tn 5 3.1 基本概念 ? 3.1.1随机过程的分布函数(统计特性) ? 设? (t)表示一个随机过程,则它在任意时刻t1的值? (t1) 是一个随机变量,其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。 ? 随机过程? (t)的一维分布函数: F1 (x1, t1 ) ? P[? (t1 ) ? x1 ] ? 随机过程? (t)的一维概率密度函数: p1(x1, t1) ? ?F1(x1, t1) ?x1 若上式中的偏导存在的话。 6 3.1 基本概念 ? 随机过程? (t) 的二维分布函数: F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) ? P? ? (t1) ? x1,? (t2 ) ? x2 ? ? 随机过程? (t)的二维概率密度函数: p2 (x1, x2;t1,t2 ) ? ?2F2 (x1, x2;t1,t2 ) ?x1 ? ?x2 若上式中的偏导存在的话。 ? 随机过程? (t) 的n维分布函数: Fn (x1, x2 ,?, xn ;t1, t2 ,?tn ) ? P? ? (t1 ) ? x1,? (t2 ) ? x2 ,?,? (tn ) ? xn ? ? 随机过程? (t) 的n维概率密度函数: pn (x1,x2, ,xn;t1,t2, ,tn ) ? ?n Fn (x1,x2, ,xn;t1,t2, ?x1?x2 ?xn ,tn ) 7 3.1 基本概念 ? 3.1.2 随机过程的数字特征 ? 均值(数学期望): ? 在任意给定时刻t1的取值? (t1)是一个随机变量, 其均值 ? ? ? ? E ? (t1) ? ?? x1 p1(x1, t1)dx1 ? 式中 p(x1, t1) - ? (t1)的概率密度函数 ? 由于t1是任取的,所以可以把 t1 直接写为t, x1改 为x,这样上式就变为 ? E ?? (t)? ? ? ?? xp1(x, t)dx 8 3.1 基本概念 ? E?? (t)? ? ? ?? xp1( x, t)dx ? (t)的均值是时间的确定函数,常记作a(t) ,它表示 随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 : ? (t) a(t) x1 (t ) x2 (t) xn (t) t 0 9 3.1 基本概念 ? 方差 ? D[? (t)] ? E [? (t) ? a(t)]2 ? 方差常记为? 2 (t) 。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为 D?ξ ?t?? ? E?ξ 2 ?t ?? 2a?t?ξ ?t?? a2 ?t ?? ? E[ξ 2 (t)] ? 2a?t ?E?ξ ?t ??? a2 (t) ? E[ξ 2 (t)] ? a2 (t) ?? ? x ?? 2 p1 ( x, t )dx ? [a(t )]2 均方值 均值平方 所以,方差等于均方值与均值平方之差,它表示随 机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。 10 3.1 基本概念 ? 相关函数 R(t1,t2 ) ? E[? (t1)? (t2 )] ?? ? ? ? ?? ?? x1x2 p2 (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2 式中, ? (t1)和? (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变 量。可以看出,R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 ? 协方差函数 B(t1,t2 ) ? E?[? (t1) ? a(t1)][? (t2 ) ? a(t2 )]? ?? ? ? ? ?? ??[x1 ? a(t1)][x2 ? a(t2 )]p2 (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) - 在t1和t2时刻得到的? (t)的均值 p2 (x1, x2; t1, t2) - ? (t)的二维概率密度函数。 11 3.1 基本概念 ? 相关函数和协方差函数之间的关系 B(t1,t2 ) ? R(t1,t2 ) ? a(t1) a(t2 ) 若a(t1) 或 a(t2)=0,则B(t1, t2) = R(t1, t2) ? 互相关函数 R?? (t1 , t2 ) ? E[? (t1 )?(t2 )] 式中?(t)和?(t)分别表示两个随机过程。 因此,R(t1, t2)又称为自相关函数。 12 3.2 平稳随机过程 ? 3.2 平稳随机过程 ? 3.2.1 平稳随机过程的定义 ? 定义: 若一个随机过程?(t)的任意有限维概率密度与 时间起点无关,也就是说,对于任意的正整数n和 所有实数?,有 pn (x1,x2,?,xn

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