【优化指导】2015年高中数学 2.3.1平面向量基本定理课时跟踪检测 新人教A版必修4

【优化指导】2015 年高中数学 2.3.1 平面向量基本定理课时跟踪检 测 新人教 A 版必修 4
难易度及题号 基础 1、3 2、4 5 7、10 11 中档 6、8、9 稍难

考查知识点及角度 基底及用基底表示向量 向量夹角问题 综合问题

1.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中不能作为一组 基底的是( ) B.e1-2e2 和 e2-2e1 D.e1+e2 和 e1-e2

A.e1 和 e1+e2 C.e1-2e2 和 4e2-2e1 1 解析:∵e1-2e2=- (4e2-2e1), 2

∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线.故不能作为基底,其余三组均为不共线. 答案:C → → 2.在等腰直角△ABC 中,AB⊥AC,则AB与BC的夹角是( A.135° C.60° B.90° D.45° )

→ → 解析: 作线段 AB 的延长线 AD, 则∠DBC 是AB与BC的夹角, 又∠DBC=180°-∠ABC=180° -45°=135°. 答案:A → → 3.在如图所示的平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M → 为 BC 的中点,则MN=________.(用 a,b 表示) → → → 1→ 1→ 解析:MN=MC+CN= AD- AC 2 4 1 1 1 1 = b- (a+b)=- a+ b. 2 4 4 4 1 1 答案:- a+ b 4 4 4.已知向量 a,b,c 满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则 a

与 b 的夹角等于______. → → → 解析:作BC=a,CA=b,则 c=a+b=BA(如图所示),则 a 与 b 的夹角为 180°-∠C. ∵|a|=1,|b|=2,c⊥a, ∴∠C=60°. ∴a 与 b 的夹角为 120°. 答案:120° 5.已知向量 a,b 的夹角为 60°,试求下列向量的夹角: (1)-a,b; 2 (2)2a, b. 3 解:由向量夹角的定义,如图.

→ → 6.在平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b.

→ → (1)如图 1,如果 E,F 分别是 BC,DC 的中点,试用 a,b 分别表示BF,DE. → (2)如图 2,如果 O 是 AC 与 BD 的交点,G 是 DO 的中点,试用 a,b 表示AG. → → → → 1→ 解:(1)BF=BC+CF=AD+ CD 2 1 → 1→ =AD- AB=- a+b. 2 2 →

DE=DC+CE=AB- AD=a- b.
→ → → (2)BD=AD-AB=b-a, ∵O 是 BD 的中点,G 是 DO 的中点, → 3→ 3 ∴BG= BD= (b-a). 4 4 3 → → → ∴AG=AB+BG=a+ (b-a) 4 1 3 = a+ b. 4 4

→ → →

1→ 2

1 2

→ → → → → → 7.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为 120°,OA → → → → → → → 与OC的夹角为 30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2 3,若OC=λ OA+μ OB(λ 、 μ ∈R),求 λ +μ 的值. 解:如图,利用向量加法的平行四边形法则,



OC=OD+OE=4OA+2OB,
∴λ =4,μ =2.∴λ +μ =6.

→ →





8.如图所示,已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,EF 与

AC 交于点 G,若AB=a,AD=b,用 a,b 表示AG=______.
→ → → → → → 解析:AG=AE-GE=AB+BE-GE 1 1→ =a+ b- FE 2 2 1 1 1→ =a+ b- × DB 2 2 2 1 1 3 3 =a+ b- (a-b)= a+ b. 2 4 4 4 3 3 答案: a+ b 4 4 → → → 9.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λ AE+μ AF,其中 λ 、μ ∈R,则 λ +μ =______. → → 解析:设AB=a,AD=b, → 1 则AE= a+b, 2 →







AF=a+ b.
→ 又∵AC=a+b, 2 → 2 → → ∴AC= (AE+AF).即 λ =μ = , 3 3 4 ∴λ +μ = . 3

1 2

4 答案: 3 1 → → → 1 10.如图,在?OACB 中,OA=a,OB=b,BD= BC,OD 与 BA 相交于 E,求证:BE= BA. 3 4

→ → 证明:设BE=λ BA. → → → → → 则OE=OB+BE=OB+λ BA → → → =OB+λ (OA-OB) → → =λ OA+(1-λ )OB=λ a+(1-λ )b.



OD=OB+BD= a+b.
→ → ∵O、E、D 三点共线,∴OE与OD共线. ∴ λ 1-λ 1 1 = .∴λ = .即 BE= BA. 1 1 4 4 3

→ →

1 3

11.如图,已知△ABC 的面积为 14 cm ,D、E 分别为边 AB、BC 上的点,且 AD∶DB=BE∶EC=2∶1,求△APC 的面积. → → 解:设AB=a,BC=b 为一组基底, 2 → 1 → 则AE=a+ b,DC= a+b. 3 3 ∵点 A、P、E 与 D、P、C 分别共线, 2 → → ∴存在 λ 和 μ ,使AP=λ AE=λ a+ λ b, 3 →

2

DP=μ DC= μ a+μ b.
→ → → ?2 1 ? 又∵AP=AD+DP=? + μ ?a+μ b, ?3 3 ? 2 1 ? ?λ =3+3μ , ∴? 2 ? ?3λ =μ 6 ? ?λ =7, ?? 4 ? ?μ =7.

→ 1 3

4 4 2 ∴S△PAB= S△ABC=14× =8(cm ). 7 7

? 6? 2 ∴S△PBC=14×?1- ?=2(cm ). ? 7?
故 S△APC=14-8-2=4(cm ).
2

1.平面向量基本定理的实质:平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两 个向量和的形式;而且基底一旦确定,这种分解是唯一的. 2.平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可 以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决. 3.求两个非零向量夹角,要注意两向量一定是有公共起点;两向量夹角的范围是[0, π ].


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